专题01 幂指对函数综合七重难点题型（高效培优专项训练）高一数学沪教版必修第一册

专题01 幂指对函数综合七重难点题型 题型一 函数比较大小 题型二 函数与集合综合 题型三 求函数参数值或范围 题型四 求分段函数的值域及参数 题型五 指对方程、指对不等式 题型六 函数实际应用 题型七 新定义与压轴 题型一：函数比较大小 1．设，，，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】法一：由， ， 又函数为增函数，且，故，即， 又，故. 法二：由函数在上单调递增，故， 由函数在上单调递减，故， 即有，故， 又，故. 故选：B. 2．已知，，，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 又因为， ， 所以. 故选：D 3．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，函数在上为增函数，，A错误； 由，则函数在上为增函数， 所以，即，B正确； 由，C错误； ， 函数为上为增函数，则， 所以，即，D错误. 故选：． 4．（25-26高一上·上海·期末）若实数，实数，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A：考虑幂函数在上单调递增， 因，，可以得到，故A正确； B：考虑指数函数，在时单调递增， 因，可以得到，故B不正确； C：考虑对数函数，当，时单调递增， 由，可以得到，故C不正确； D：由， 因为实数，而实数， 所以，则，即，故D不正确. 故选：A 5．（24-25高一上·上海金山·阶段检测）已知，以下不等关系不一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，故A正确； 当时，，故B错误； 因为为增函数，， 则，故C正确； 因为， 所以，故D正确． 故选：B． 6．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，函数在上单调递增，而，于是得，即， 函数在单调递增，并且有， 则， 于是得，即，则， 又函数在单调递增，且，则有， 所以. 故选：C 题型二： 三种函数与集合综合 7．（24-25高一上·上海普陀·期末）若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设， 对于，有，可得， 所以或， 故. 故选：D 8．已知，，，，，，，，则下列关于集合，，关系的表述 __． 【答案】 【详解】，，，，， ，，，， ，，，， ． 故答案为：． 9．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，，则______． 【答案】 【详解】由题意，， 所以， 故答案为： 10.全集，，，则__． 【答案】 【详解】，， ，因为，则． 故答案为：. 11．已知，那么__． 【答案】 【详解】解：因为， 所以. 故答案为：. 题型三：求函数参数值或范围 12.已知函数，对于任意的都能找到，使得，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【详解】时，，， 时，，， 于任意的都能找到，使得，则， 所以，解得． 故答案为：． 13．（25-26高一上·上海·期中）已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标是________． 【答案】 【详解】因为为指数函数，所以， 且底数，，求解可得：， ，根据对数函数恒有， 所以令，求解得， 所以， 因此的图像经过定点． 14．已知函数的图象过定点，函数也经过点，则的值为________． 【答案】 【详解】令x﹣2＝0，得x＝2，y＝a0+1＝2， ∴定点A（2，2）， 把点A（2，2）代入函数y＝logmx，得：logm2＝2， ∴m2＝2，即m， 又∵m＞0且m≠1， ∴m， 故答案为． 15．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【详解】当时，； 当时，当，， 又，，使得， 所以， 所以，解得； 当时，当，， 又，，使得， 所以， 所以，解得. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 16．已知函数，，若对于任意，存在，使得，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【详解】因为，所以，所以，即， 由，则，即， 因为对于任意，存在，使得， 所以，则，解得，即. 故答案为：. 17．已知函数，（，且），若对任意，存在，使得成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【详解】根据题意知，. 时，函数的最小值. 当时，在上的最小值为， 则由，解得； 当时，在上的最小值为， 则，解得，与求交集，无解. 故实数的取值范围为. 故答案为： 题型四：求分段函数的值域及参数 18.函数的值域为__________. 【答案】 【详解】解：由于函数， 故当时，． 当时，． 综上可得，，故函数的值域为， 故答案为：． 19．（24-25高一·上海·阶段检测）已知常数，设若对任意，在中满足的值有且只有一个，则的最小值为________． 【答案】4 【详解】当时，，值域为； 当时，，值域为. 当时，外层使用： ①时，， 此时，值域为； 时，， 此时，值域为 ②当时，外层使用： 时，， 此时，值域为； 时，， 此时，值域为 当时，唯一解来自，此时有唯一解； 当时，存在两个解：一个来自，另一个来自； 当时，存在两个解和；当时，解唯一； 因此，当时，方程有且仅有一个解， 所以的最小值为4． 故答案为：4. 20．若函数的值域为，则实数m的取值范围为________. 【答案】 【详解】当时，， 因为函数在时是单调递增函数， 所以有，即， 当时， ，根据指数复合函数的单调性的性质可知： 函数在时，单调递减，在时，单调递增， 当时，由，可得，即， 因为函数的值域为，所以有， 即必有，而，所以不成立； 当时，此时，而， 因为函数的值域为， 所以必有，，而， 所以， 故答案为： 21．若函数的值域是，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【详解】试题分析：当时，，又因为函数的值域为，所以当时，能取遍的所有实数，由得，所以应填. 22．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程有且只有7个不同实数根，则实数的取值范围是______； 【答案】 【详解】由题意，在和上是减函数，在和上是增函数， 时，函数取得极大值，时，函数取得极小值，    时，， 关于的方程有且只有7个不同实数根， 设，则方程必有两个根，，其中，， ，则，即 故答案为： 23．已知函数在上存在最小值，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】当时，在上单调递减，在存在最小值， 当时，在上单调递增， 若在上存在最小值，则只需满足， ， 故答案为：. 24．（25-26高一·上海·期中）已知函数在上没有零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】当时，则，所以， 由在上无零点，即在无解， 即在无解，可得； 当时，可得，由在上无零点，即在无解， 即在无解，可得或， 所以要使函数在上没有零点，则实数的取值范围为. 题型五 指对方程、指对不等式 25．方程的解集为________ 【答案】 【详解】由题意知，，即， 所以，有， 即，解得或， 当时，有，得或(舍去)， 解得； 当时，有，即，得或(舍去) 解得， 所以方程的解集为： 故答案为： 26．（25-26高一上·上海·期中）已知，是方程的两实根（其中），求下列两个不等式的解集: (1)； (2)． 【详解】（1）由题意，所以不等式即为，即， 所以，所以不等式的解集为. （2）因为，所以，所以原不等式可化为， 即，所以，所以不等式的解集为. 27．（24-25高一上·上海·期末）已知函数． (1)讨论函数的定义域； (2)当时，解关于的不等式：． 【详解】（1）由，得， 当时，； 当时，； 所以的定义域是当时；当时，． （2）当时，任取，且， 则，所以． 因为，所以，即． 故当时，在上是增函数． ∵，∴， ∵，∴， 又∵，∴，即不等式的解为. 28．（25-26高一上·上海嘉定·期中）（1）已知指数函数在区间上的最大值与最小值之和等于，求实数的值. （2）已知幂函数的图像关于轴对称，且在上严格递减. 若，求实数的取值范围； （3）若对于恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）指数函数在区间上单调， 所以，即或 （2）由题意可知，， 又因为，所以或， 当时，，为偶函数， 当时，，为偶函数， ，的定义域为， ∴，即， 解之得 （3）令，易知其定义域内单调递增，所以， 则， 即在上恒成立， 又易知在上单调递增，则， 所以. 29．（25-26高一上·上海松江·期中）已知函数. (1)若将的图象向下平移（）个单位长度，所得函数图象经过点，求的值； (2)若，解关于的方程； (3)若，且，解关于的不等式. 【详解】（1）将的图象向下平移（）个单位长度所得图象对应的函数为， 将点代入上式，得 解得 （2）当时，， 所以原方程为， 由，得，又，所以， 所以， 即， 所以，考虑到，解得， 所以． （3）由， 得， 所以且， 所以且． 当时，， 由得， 由，得， 所以； 当时，，， 由得， 由，得， 所以． 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 题型六 函数实际应用 30．（24-25高一上·上海·随堂练习）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量低于的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量大于等于且小于的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了，如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时36%的速度减少，那么他至少经过________小时才能驾驶汽车．（参考数据：，） 【答案】5 【详解】设他至少经过个小时才能驾驶汽车，则， ， ， 他至少经过5个小时才能驾驶汽车， 故答案为：5． 31．（24-25高一上·上海·随堂练习）2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似（如图所示）．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为________．（参考数据：，） 【答案】6 【详解】设石片第n次“打水漂”时的速率为，则． 由，得，则， 即，则，故至少需要“打水漂”的次数为6． 故答案为：6. 32．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为．关于下列说法正确的命题序号是________． （1）这个指数函数的底数为3； （2）浮萍每月增加的面积都相等； （3）第4个月时，浮萍面积不超过； （4）若浮萍曼延到、、所经过的时间分别是、、，则． 【答案】（1）（4） 【详解】，将代入，即，则，则（1）正确； 因为 所以浮萍每月增加的面积是上一个月增加的面积的3倍，不相等，故（2）错误； 令，代入，解得，则（3）错误； 令，求得；令，求得；令，求得； 则，则（4）正确. 故答案为：（1）（4）. 33．某商店每次订购商品的手续费W（万元）主要由管理费和运输费组成，其中管理费固定为a（万元），运输费的基础值为b（万元），随订购数量x（万件）的增加按确定的比率k减少，故可通过函数模型来描述订购手续费W与订购数量x的变化关系.现已知变化过程中部分数据如下表所示： x（万件） 1 2 3 4 W 80 73 66.7 61.03 (1)求出商品订购手续费W（万元）关于订购数量x（万件）的函数解析式； (2)考虑到店铺良性发展和资金情况，若要求本次订购产生的手续费不超过40万元，则至少需要订购多少万件商品?（参考数据：，） 【详解】（1）由题可得，由随订购数量x（万件）的增加按确定的比率k减少，可得，则，则，则解析式为： （2）由（1）可得 . 则至少需要订购9万件商品. 34．（25-26高一上·上海·期中）某体育用品商店开展促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润（单位：万元）随销售收入（单位：万元）的变化情况如下表所示： (万元) 2 3 5 (万元) (1)根据表中数据，分别用模型（且）与建立关于的函数解析式； (2)已知当时，，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由.（参考数据：） 【详解】（1）对于模型（且）， 将表格中数据代入可得， 解得； 所以； 对于模型， 将表格中数据代入可得， 解得； 所以； （2）当时，模型对应的； 模型对应的， 当时，显然， 所以模型更合理. 35．（25-26高一上·上海·期中）为帮助同学们更合理地安排课余时间，高二的学长针对“各类课余活动对学习效率的影响”开展了专项调研.调研中，学长们通过小游戏测试学生注意力的恢复情况，以此量化学习效率的变化情况.研究发现，运动对注意力提升的效果存在明显规律：初始阶段，注意力恢复速度较快；但随着运动时长增加，恢复效果的提升速率会逐渐变缓.若设运动时长为（单位：分钟，），相对“未运动状态”的注意力恢复效果为，则当运动时长（即未运动）时，（表示恢复效果与未运动时一致）. 以下是调研收集到的部分数据： 0 10 30 1 1.5 1.7 (1)请从以下三个函数模型中，选择最符合上述规律的模型，并求出关于的具体函数解析式（参数精确到0.1）：①；②；③. (2)某个篮球场开放时间：18：00-19：00，曹同学和张同学小组都想通过运动恢复学习效率，所以他们商量轮流使用篮球场，请用（1）的函数模型解释，若两个小组都希望学习效率恢复效果（即注意力恢复对应的值）提升到1.6以上，则曹同学小组使用篮球场的时长范围是多少？（结果精确到1分钟） 【详解】（1）模型①:假设；， 当时，不是，故①不符合题意； 模型②:假设；时， 当时，不是，故②不符合题意； 模型③:假设；时符合， 当时，得， 当时，，故③符合题意； 最符合上述规律的是模型③，. （2）由题意，所以分钟， 因为单调递增，故，当且仅当. 设曹同学小组使用篮球场的时长为，张同学小组使用篮球场的时长为， 则且，故分钟，又 所以曹同学小组使用篮球场的时长范围是分钟到分钟. 36．（24-25高一上·上海奉贤·期中）漫漫暑期，某制冷杯成了畅销商品．该制冷杯遵循牛顿冷却定律，即如果某液体的初始温度为（单位：℃），则经过1分钟后，温度T满足，其中为室温，h为参数．为观察制冷杯的降温效果，小侯把一杯的茶水放在的房间，10分钟后茶水降温至 (1)若欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要多少分钟？（精确到个位） (2)某企业生产制冷杯每月的成本s（万元）由两部分构成：①固定成本（与产品的数量无关）20万元；②材料成本：万元，其中x（万套）为每月产品的产量．则当每月产量为多少时，平均每万套的成本最低？最低为多少？ 【详解】（1）由题意可得，解得， 设经过分钟，这杯茶水由降温至，则， 解得， 故欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要8分钟. （2）设平均每一万套所需的成本费用为万元， 则有， 当且仅当，即时取等号， 所以该企业每月产量20万套时，一万套的成本最低，一万套的最低成本为12万元. 37．（24-25高一上·上海·课堂例题）声音强度（分贝）由公式给出，其中为声音能量．能量小于时，人听不见声音．强度大于60分贝时属于噪音，其中70分贝开始损害听力神经，90分贝以上就会使听力受损，而一般的人待在100分贝至120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪． (1)求时的声音强度； (2)求噪音的能量范围； (3)当能量达到多少时，人会暂时性失聪？ 【详解】（1）当时，代入公式，可得（分贝）． （2）噪音的强度大于60分贝，代入公式可得， 解得． 故噪音的能量范围为． （3）人在100分贝至120分贝的空间内会暂时失聪．令， 解得，令，解得， 所以当能量达到时会暂时失聪． 38．用打点滴的方式治疗“支原体感染”病患时，血药浓度（血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度）随时间变化的函数符合，其函数图象如图所示，其中为与环境相关的常数，此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合，其中c为停药时的人体血药浓度． (1)求出函数的解析式； (2)一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？（如果计算结果不是整数，保留小数点后一位） 【详解】（1）由图象可知，图象经过，两点，将两点代入， 则，解得， 所以； （2）由题意，可知有治疗效果的浓度在4到15之间， 所以浓度为15时为最迟停止注射时间， 故，解得， 浓度从15降到4为最长间隔时间， 故，即， 两边同时取以2为底的对数，则， 即 ， 所以， 所以最迟隔16小时停止注射，为保证治疗效果， 最多再隔7.7小时开始进行第二次注射． 39．某科研小组对面积为8000平方米的某池塘里的一种生物的生长规律进行研究，一开始在此池塘投放了一定面积的该生物，观察实验得到该生物覆盖面积y（单位：平方米）与所经过月数的下列数据： 0 2 3 4 4 25 62.5 156.25 为描述该生物覆盖面积y（单位：平方米）与经过的月数的关系，现有以下三种函数模型供选择：；；. (1)试判断哪个函数模型更适合，并求出该模型的函数解析式； (2)约经过几个月，此生物能覆盖整个池塘? (3)经过4个月的研究掌握该生物生长规律后，科研小组需改善池塘生态，现有两种方案： 方案一：加入能抑制该生物生长的某种化学物质，使其覆盖面积y与经过的月数的关系变为； 方案二：在4月底集中打捞一次，使其覆盖面积减少到4平方米，生物增长速度不变. 问如何评价这两种方案，并说明理由. 【详解】（1）显然函数刻画的是增长速度越来越快的变化规律， 函数刻画的是增长速度越来越慢的变化规律， 由表中数据知该生物增长的速度越来越快，因此函数不符合题意， 若选择函数模型，则有，解得，，， 当时，，当时，，所给数据均满足函数； 若选择函数模型，则，，解得， ，而当时，，与给定的数据相差太大，不符合题意， 所以函数模型更适合，函数解析式，. （2）由（1）知，，，设约经过个月，此生物能覆盖整个池塘， 则，解得 . 所以约经过9个月此生物能覆盖整个池塘. （3）依题意，方案二的函数模型为， 当时，方案二的函数模型对应的值依次为， 方案一的函数模型对应的值依次为， 方案一的增长速度比方案二的小，方案二在第5到9月生物量较方案一小，10月开始方案一生物量较小， 方案二再经过13个月此生物能覆盖整个池塘，由，解得， 方案一再经过15个月此生物能覆盖整个池塘. 40.20世纪30年代，里克特（C．F．Richter）制定了一种表明地震能量大小的尺度，是我们平常所说的里氏震级，其计算公式为： ．其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离所造成的偏差） (1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震振幅是0.001，计算此次地震的震级．（精确到0.1级） (2)5级地震给人带来的震撼已经比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1倍） 【详解】（1）由题可知： ， 因此此次地震的震级约为里氏4.3级. （2）由得，即， 当时，地震的最大振幅为， 当时，地震的最大振幅为， 所以两次地震的最大振幅之比为， 即7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的约398倍. 题型七 新定义与压轴 41.．（25-26高一上·上海·期中）若函数满足：“对于区间上的任意实数，，，恒成立，”则称为完美函数.在下列四个函数中，完美函数是（    ） A． B． C．      D．       【答案】A 【详解】对于A：， ∵，， ∴，∴A选项正确； 对于B：，∴B选项错误； 对于C：取，，∴C选项错误； 对于D：， ∵，，∴， ∴，D选项错误； 故选：A． 42．（24-25高一·上海奉贤·期末）函数图象上存在点，使得不等式成立，则称函数为“向心函数”，下列四个选项中，是向心函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，由，得函数不是向心函数，A不是； 对于B，点在函数图象上，且成立，函数是向心函数，B是； 对于C，由，得函数不是向心函数，C不是； 对于D，由，得函数不是向心函数，D不是. 故选：B 43．（25-26高一上·上海普陀·期末）记表示不超过的最大整数，例如，．已知函数（，且），若的图象上恰有5对点关于原点对称，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【详解】当时，；当时，；当时，；； 作出的部分图象，作出的图象以及和它关于原点对称的函数的图象， 因为的图象上恰有5对点关于原点对称，所以与恰有5个公共点， 所以，解得. 故答案为：    44．（25-26高一上·上海闵行·期末）定义表示不大于的最大整数，例如．已知，，．若对任意的，存在大于1的实数，使得能作为三角形的三边长，则的取值范围为___________． 【答案】 【详解】设，则，且， 则， 由于，，所以为和的加权平均数， 所以的取值范围是， 若对任意的，存在大于1的实数，使得能作为三角形的三边长，等价于且恒成立， 由于恒成立， 则等价于恒成立， 即且， 即，, 当时，，满足，但不满足，舍去， 当时，，不满足，舍去， 当时，，不满足，舍去， 当时，，满足，也满足， 当时，，满足，也满足， 当时，，满足，也满足， 当时，，满足，但不满足，舍去 当时，，满足，但不满足，舍去， 当时，，不满足， 综上，，则的取值范围为 故答案为： 45．（24-25高一上·上海·期中）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使得在上的取值范围是，则称为“半缩函数”.若函数为“半缩函数”，则实数的取值范围是__________ 【答案】 【详解】因为函数为“半缩函数”， 所以存在，使得在上的取值范围是， 由复合函数的单调性可知，在上单调递增， 所以，即， 所以， 所以有两个不等的实数根， 令，当时，关于的方程有两个不相等的正实数根， 可得，解得； 当时，关于的方程在上有两个不相等的正实数根， 所以，无解； 所以. 故答案为： 46．（25-26高一上·上海宝山·期末）如果函数满足：对于任意，均有，其中为常数，则称函数在D上具有性质. (1)分别判断函数，，是否在上具有性质，并说明理由. (2)设函数在具有性质，对任意的实数，求证：函数具有性质. (3)若在闭区间上具有，且，求证：对任意的都有. 【详解】（1）函数在上具有性质，函数，在上不具有性质，理由如下： 对于函数，对于任意，， 故不等式成立，所以函数在上具有性质， 对于函数，，则， 不满足，所以函数在上不具有性质， 对于函数，则， 不满足，所以函数在上不具有性质， (2)函数在上具有性质， 即对于任意，均有成立， 故对任意的实数，，则， 设，则 ， 故函数具有性质； (3)若在闭区间上具有，且， 则对于任意，， 当时，则， 当时，不妨设，则， 由，得， 由三角不等式可得：， 由于在闭区间上具有，则， 得到， 所以， 由于，则， 得到， 所以当时，有. 综上，对任意的，都有. 47．（25-26高一上·上海·期末）已知函数.如果存在非零常数和非零常数，对于任意，有，且恒成立，则称函数是上的“级递减类周期函数”，类周期为；如果存在非零常数和非零常数，对于任意，有，且恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，类周期为. (1)已知，判断函数是不是上的“2级递减类周期函数”，类周期为1，并说明理由. (2)已知是上的“级类周期函数”，类周期；且在上严格单调递增.当时，，试写出当时，函数的解析式，并求实数的取值范围. (3)已知是上的“1级类周期函数”，类周期，且在区间中存在唯一，使为函数的最大值，是否存在非零实数，，函数是上的“级类周期函数”，且类周期为?若存在，求出所有必定满足条件的；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）的定义域为，且， ， ， ，， 函数是上的“2级递减类周期函数”，类周期为1； （2）是上的“级类周期函数”，类周期， ，， 当时，， 当时，，，， ，， 即， 当时，，，， ，， 即， 当时，，， ， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 在上严格单调递增， ，，实数的取值范围为； (3)不存在，理由如下： 是上的“1级类周期函数”，类周期， ， 假设存在非零实数，使得是上的“级类周期函数”， 且类周期为，即对于任意的，恒有， 中存在唯一，使为函数的最大值，， 则对于任意的，恒有成立， 即对于任意的，恒有成立， ，，， ，， ，， 由函数有界性可知，此等式不成立， 故不存在这样的值，符合题意. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 幂指对函数综合七重难点题型 题型一 函数比较大小 题型二 函数与集合综合 题型三 求函数参数值或范围 题型四 求分段函数的值域及参数 题型五 指对方程、指对不等式 题型六 函数实际应用 题型七 新定义与压轴 题型一：函数比较大小 1．设，，，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 3．若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·上海·期末）若实数，实数，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·上海金山·阶段检测）已知，以下不等关系不一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 6．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型二： 三种函数与集合综合 7．（24-25高一上·上海普陀·期末）若集合，则（   ） A． B． C． D． 8．已知，，，，，，，，则下列关于集合，，关系的表述 __． 9．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，，则______． 10.全集，，，则__． 11．已知，那么__． 题型三：求函数参数值或范围 12.已知函数，对于任意的都能找到，使得，则实数的取值范围是___________. 13．（25-26高一上·上海·期中）已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标是________． 14．已知函数的图象过定点，函数也经过点，则的值为________． 15．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是___________. 16．已知函数，，若对于任意，存在，使得，则实数的取值范围为__________. 17．已知函数，（，且），若对任意，存在，使得成立，则实数的取值范围是_____. 题型四：求分段函数的值域及参数 18.函数的值域为__________. 19．（24-25高一·上海·阶段检测）已知常数，设若对任意，在中满足的值有且只有一个，则的最小值为________． 20．若函数的值域为，则实数m的取值范围为________. 21．若函数的值域是，则实数的取值范围是___________． 22．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程有且只有7个不同实数根，则实数的取值范围是______； 23．已知函数在上存在最小值，则的取值范围是______. 24．（25-26高一·上海·期中）已知函数在上没有零点，则实数的取值范围是______. 题型五 指对方程、指对不等式 25．方程的解集为________ 26．（25-26高一上·上海·期中）已知，是方程的两实根（其中），求下列两个不等式的解集: (1)； (2)． 27．（24-25高一上·上海·期末）已知函数． (1)讨论函数的定义域； (2)当时，解关于的不等式：． 28．（25-26高一上·上海嘉定·期中）（1）已知指数函数在区间上的最大值与最小值之和等于，求实数的值. （2）已知幂函数的图像关于轴对称，且在上严格递减. 若，求实数的取值范围； （3）若对于恒成立，求实数的取值范围. 29．（25-26高一上·上海松江·期中）已知函数. (1)若将的图象向下平移（）个单位长度，所得函数图象经过点，求的值； (2)若，解关于的方程； (3)若，且，解关于的不等式. 题型六 函数实际应用 30．（24-25高一上·上海·随堂练习）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量低于的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量大于等于且小于的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了，如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时36%的速度减少，那么他至少经过________小时才能驾驶汽车．（参考数据：，） 31．（24-25高一上·上海·随堂练习）2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似（如图所示）．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为________．（参考数据：，） 32．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为．关于下列说法正确的命题序号是________． （1）这个指数函数的底数为3； （2）浮萍每月增加的面积都相等； （3）第4个月时，浮萍面积不超过； （4）若浮萍曼延到、、所经过的时间分别是、、，则． 33．某商店每次订购商品的手续费W（万元）主要由管理费和运输费组成，其中管理费固定为a（万元），运输费的基础值为b（万元），随订购数量x（万件）的增加按确定的比率k减少，故可通过函数模型来描述订购手续费W与订购数量x的变化关系.现已知变化过程中部分数据如下表所示： x（万件） 1 2 3 4 W 80 73 66.7 61.03 (1)求出商品订购手续费W（万元）关于订购数量x（万件）的函数解析式； (2)考虑到店铺良性发展和资金情况，若要求本次订购产生的手续费不超过40万元，则至少需要订购多少万件商品?（参考数据：，） 34．（25-26高一上·上海·期中）某体育用品商店开展促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润（单位：万元）随销售收入（单位：万元）的变化情况如下表所示： (万元) 2 3 5 (万元) (1)根据表中数据，分别用模型（且）与建立关于的函数解析式； (2)已知当时，，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由.（参考数据：） 35．（25-26高一上·上海·期中）为帮助同学们更合理地安排课余时间，高二的学长针对“各类课余活动对学习效率的影响”开展了专项调研.调研中，学长们通过小游戏测试学生注意力的恢复情况，以此量化学习效率的变化情况.研究发现，运动对注意力提升的效果存在明显规律：初始阶段，注意力恢复速度较快；但随着运动时长增加，恢复效果的提升速率会逐渐变缓.若设运动时长为（单位：分钟，），相对“未运动状态”的注意力恢复效果为，则当运动时长（即未运动）时，（表示恢复效果与未运动时一致）. 以下是调研收集到的部分数据： 0 10 30 1 1.5 1.7 (1)请从以下三个函数模型中，选择最符合上述规律的模型，并求出关于的具体函数解析式（参数精确到0.1）：①；②；③. (2)某个篮球场开放时间：18：00-19：00，曹同学和张同学小组都想通过运动恢复学习效率，所以他们商量轮流使用篮球场，请用（1）的函数模型解释，若两个小组都希望学习效率恢复效果（即注意力恢复对应的值）提升到1.6以上，则曹同学小组使用篮球场的时长范围是多少？（结果精确到1分钟） 36．（24-25高一上·上海奉贤·期中）漫漫暑期，某制冷杯成了畅销商品．该制冷杯遵循牛顿冷却定律，即如果某液体的初始温度为（单位：℃），则经过1分钟后，温度T满足，其中为室温，h为参数．为观察制冷杯的降温效果，小侯把一杯的茶水放在的房间，10分钟后茶水降温至 (1)若欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要多少分钟？（精确到个位） (2)某企业生产制冷杯每月的成本s（万元）由两部分构成：①固定成本（与产品的数量无关）20万元；②材料成本：万元，其中x（万套）为每月产品的产量．则当每月产量为多少时，平均每万套的成本最低？最低为多少？ 37．（24-25高一上·上海·课堂例题）声音强度（分贝）由公式给出，其中为声音能量．能量小于时，人听不见声音．强度大于60分贝时属于噪音，其中70分贝开始损害听力神经，90分贝以上就会使听力受损，而一般的人待在100分贝至120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪． (1)求时的声音强度； (2)求噪音的能量范围； (3)当能量达到多少时，人会暂时性失聪？ 38．用打点滴的方式治疗“支原体感染”病患时，血药浓度（血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度）随时间变化的函数符合，其函数图象如图所示，其中为与环境相关的常数，此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合，其中c为停药时的人体血药浓度． (1)求出函数的解析式； (2)一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？（如果计算结果不是整数，保留小数点后一位） 39．某科研小组对面积为8000平方米的某池塘里的一种生物的生长规律进行研究，一开始在此池塘投放了一定面积的该生物，观察实验得到该生物覆盖面积y（单位：平方米）与所经过月数的下列数据： 0 2 3 4 4 25 62.5 156.25 为描述该生物覆盖面积y（单位：平方米）与经过的月数的关系，现有以下三种函数模型供选择：；；. (1)试判断哪个函数模型更适合，并求出该模型的函数解析式； (2)约经过几个月，此生物能覆盖整个池塘? (3)经过4个月的研究掌握该生物生长规律后，科研小组需改善池塘生态，现有两种方案： 方案一：加入能抑制该生物生长的某种化学物质，使其覆盖面积y与经过的月数的关系变为； 方案二：在4月底集中打捞一次，使其覆盖面积减少到4平方米，生物增长速度不变. 问如何评价这两种方案，并说明理由. 40.20世纪30年代，里克特（C．F．Richter）制定了一种表明地震能量大小的尺度，是我们平常所说的里氏震级，其计算公式为： ．其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离所造成的偏差） (1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震振幅是0.001，计算此次地震的震级．（精确到0.1级） (2)5级地震给人带来的震撼已经比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1倍） 题型七 新定义与压轴 41.．（25-26高一上·上海·期中）若函数满足：“对于区间上的任意实数，，，恒成立，”则称为完美函数.在下列四个函数中，完美函数是（    ） A． B． C．      D．       42．（24-25高一·上海奉贤·期末）函数图象上存在点，使得不等式成立，则称函数为“向心函数”，下列四个选项中，是向心函数的为（   ） A． B． C． D． 43．（25-26高一上·上海普陀·期末）记表示不超过的最大整数，例如，．已知函数（，且），若的图象上恰有5对点关于原点对称，则实数的取值范围是_____． 44．（25-26高一上·上海闵行·期末）定义表示不大于的最大整数，例如．已知，，．若对任意的，存在大于1的实数，使得能作为三角形的三边长，则的取值范围为___________． 45．（24-25高一上·上海·期中）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使得在上的取值范围是，则称为“半缩函数”.若函数为“半缩函数”，则实数的取值范围是__________ 46．（25-26高一上·上海宝山·期末）如果函数满足：对于任意，均有，其中为常数，则称函数在D上具有性质. (1)分别判断函数，，是否在上具有性质，并说明理由. (2)设函数在具有性质，对任意的实数，求证：函数具有性质. (3)若在闭区间上具有，且，求证：对任意的都有. 47．（25-26高一上·上海·期末）已知函数.如果存在非零常数和非零常数，对于任意，有，且恒成立，则称函数是上的“级递减类周期函数”，类周期为；如果存在非零常数和非零常数，对于任意，有，且恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，类周期为. (1)已知，判断函数是不是上的“2级递减类周期函数”，类周期为1，并说明理由. (2)已知是上的“级类周期函数”，类周期；且在上严格单调递增.当时，，试写出当时，函数的解析式，并求实数的取值范围. (3)已知是上的“1级类周期函数”，类周期，且在区间中存在唯一，使为函数的最大值，是否存在非零实数，，函数是上的“级类周期函数”，且类周期为?若存在，求出所有必定满足条件的；若不存在，请说明理由. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $