第7章 一题一课 空间几何体的截面问题(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习讲义聚焦空间几何体截面问题，涵盖截面作法（直接法、延长线法、平行线法）、形状判断、面积周长计算及最值探究等核心考点，按“方法梳理—题型探究—真题演练”逻辑展开，通过例题精讲、技法总结、分层练习帮助学生构建解题框架。 讲义以“空间观念”和“逻辑推理”为核心，创新采用“一题一课”模式，如例1通过延长线法确定截面交点，例4将空间最值转化为平面距离问题，强化直观想象与数学抽象能力。设置基础巩固到综合应用分层练习，配合即时反馈，助力教师精准把控复习节奏，提升学生空间几何应考能力。

　　　　　　　　　　　　　　一题一课　空间几何体的截面问题 在立体几何中，截面是指用一个平面去截几何体所得到的平面图形．截面问题在高中数学中十分常见，多面体中截面的作法常有以下方法： (1)直接法：有两点在多面体的同一个面上，连接这两点即为多面体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程． (2)延长线法：若直线相交，但在多面体中未体现，可以通过作延长线的方法找到交点，然后借助交点找到交线． (3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到多面体与截面的交线． 如图所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′. (1)要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？ (2)所画的线与平面AC是什么位置关系？ 感悟　作截面应遵循如下三个原则：(1)在同一平面上的两点可引直线；(2)凡是相交的直线都要画出它们的交点；(3)凡是相交的平面都要画出它们的交线．解答与截面相关题需要把握其中的两点：一是画出截面的形状；二是影响截面形状的因素，与几何体、截取方式密切相关．对应常见题型有判断截面的形状、求截面的面积、周长及相关的最值等问题．下面我们从其他角度对截面问题进行探究！ 探究一　截面的形状的判断 [例1] 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E是线段BB1上靠近B1的三等分点，点F是线段D1C1上靠近D1的三等分点，则平面AEF截正方体ABCD­A1B1C1D1形成的截面图形为(　　) A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【解析】　如图，设AB＝6，分别延长AE，A1B1交于点G，此时B1G＝3，连接FG交B1C1于点H，连接EH，设平面AEF与平面DCC1D1的交线为l，则F∈l， 因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1，平面AEF∩平面ABB1A1＝AE，平面AEF∩平面DCC1D1＝l，所以l∥AE，设l∩D1D＝I，则FI∥AE， 此时△FD1I∽△ABE，故ID1＝，连接AI，所以五边形AIFHE为所求截面图形． 【答案】　C 【技法点拨】　多面体中的截面，一定是封闭的平面图形，并且截面的各边一定在已知多面体的表面上，这是判断多边形是不是截面的直观依据． 探究二　截面的计算 角度1　截面的面积 [例2] 在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，则经过A1，D，E三点的正方体的截面面积为(　　) A． B．3 C． D． 【解析】　正方体ABCD­A1B1C1D1中，A1D∥平面CBB1C1，则平面A1DE与平面CBB1C1的唯一交线与A1D平行．取BC中点F，连接EF，DF，A1E，A1D，则四边形A1DFE即为经过A1，D，E三点的正方体的截面，梯形A1DFE中，A1D∥EF，A1D＝2，EF＝，A1E＝DF＝，则梯形的高为＝，所以梯形A1DFE的面积为×(＋2)×＝. 【答案】　A 角度2　截面的周长 [例3] 在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝6，M，N分别是AB，AD的中点，则平面MNC1截该四棱柱所得截面的周长为(　　) A．14 B．18 C．10＋6 D．10＋10 【解析】　直线MN分别与CB，CD的延长线交于点T，E，连接C1T，C1E，分别与BB1，DD1交于点F，Q，连接FM，QN，故五边形C1QNMF即为平面MNC1截该四棱柱所得截面， 其中M，N分别是AB，AD的中点，故AM＝AN＝BT＝BM＝2， ＝＝，故BF＝CC1＝2，由勾股定理得MF＝＝2，MN＝＝2， 同理可得QN＝MF＝2，又D1Q＝B1F＝4，故C1Q＝C1F＝＝4， 故平面MNC1截该四棱柱所得截面的周长为2×3＋4×2＝14. 【答案】　A 角度3　截面中的最值 [例4] 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，Q是侧面BCC1B1内一点，若A1Q∥平面AEF，则线段A1Q长度的最小值为(　　) A． B． C． D． 【解析】　如图所示，分别取棱BB1，B1C1的中点M，N，连接MN，BC1， 因为M，N，E，F为所在棱的中点，所以MN∥BC1，EF∥BC1， 所以MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以MN∥平面AEF. 连接NE，A1N，A1M， 因为AA1∥NE，AA1＝NE， 所以四边形AENA1为平行四边形， 所以A1N∥AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF， 所以A1N∥平面AEF，又A1N∩MN＝N， A1N，MN⊂平面A1MN， 所以平面A1MN∥平面AEF， 因为Q是侧面BCC1B1内一点，且A1Q∥平面AEF，则Q必在线段MN上(不含端点)， 在Rt△A1B1M中， A1M＝＝＝， 同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N＝， 所以△A1MN为等腰三角形， 设MN的中点为O，当Q为MN中点O时，A1Q⊥MN，此时A1Q最短，A1Qmin＝A1O＝＝＝. 【答案】　C 【技法点拨】　几何体的截面的相关计算，关键在于根据公理作出所求的截面，再运用解三角形的相关知识解决． 1．已知正方体ABCD­A1B1C1D1，点E是上底面A1B1C1D1上任意一点，过A，C，E三点作平面截正方体，则截面形状不可能是(　　) A．等边三角形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 解析：选C．如图， 当E在A1C1上，截面形状为矩形，当E与B1，D1重合，截面形状为等边三角形， 当E在除上述两种情况外的其他位置，截面形状为等腰梯形． 2．如图，在四棱锥P­ABCD中，BC∥AD，AD＝2BC，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于F点，设CP＝λCF，则λ＝(　　) A．3 B．2 C． D． 解析：选A．延长DC，AB交于G，连接GP，连接GE交PC于点F， 则由BC∥AD，AD＝2BC，得C是DG中点， 因为E是PD中点，所以F是△PDG的重心，所以CF＝CP，即λ＝3. 3．已知正四面体棱长为4，所有与它四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得的截面面积之和为(　　) A．4 B．4 C．12＋4 D．16＋4 解析：选C．如图1，E，F，G分别为正四面体棱的中点，此时它的四个顶点到截面EFG的距离相等，则△EFG是边长为2的等边三角形，S△EFG＝.这样的截面有4个；如图2，E，F，M，N分别为正四面体棱的中点，此时它的四个顶点到截面EFMN的距离相等，四边形EFMN是边长为2的正方形，S正方形EFMN＝4，这样的截面有3个，所以满足条件的截面的面积之和为12＋4. 4．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝，BC＝BB1＝1，E为线段B1C的中点，F是棱C1D1上的动点，若点P为线段BD1上的动点，则PE＋PF的最小值为(　　) A． B．1＋ C． D． 解析：选A．如图， 根据题意，截面ABC1D1是边长为的正方形，E为BC1的中点． F点在C1D1上，在线段D1A上取点F′，使得D1F＝D1F′. 根据正方形的对称性，则PF＝PF′，所以PE＋PF＝PE＋PF′，表示点E沿着折线E­P­F′到直线AD1的距离． 取AD1的中点M，则EM⊥AD1，根据垂线段最短可得，PE＋PF′≥EM＝. 所以PE＋PF的最小值为. 5．已知三棱柱ABC­A1B1C1中，M，N分别为棱BB1，A1C1的中点，过A，M，N作三棱柱的截面交B1C1于点E，且B1E＝2，则B1C1＝________． 解析：连接AM并延长与A1B1的延长线交于点P，连接NP与B1C1交于点E，连接C1P，因为AM与NE相交于点P，所以A，M，N，E四点共面， 因为M是BB1的中点，且AA1＝BB1，AA1∥BB1，所以MB1＝AA1，MB1∥AA1， 所以MB1是△AA1P的中位线，则B1是A1P的中点， 又因为N为A1C1的中点，所以NB1∥C1P，NB1＝C1P， 易知△NEB1∽△PEC1，则＝＝，所以B1C1＝3B1E＝6. 答案：6 6．如图，多面体ABCD-A1B1C1D1是用平面α截底面边长AB＝2，侧棱长AA′＝4的长方体A′B′C′D′­ABCD剩下的一部分几何体，其中DD1＝AA1＝CC1＝3BB1＝3，点E在线段CC1上，平面BED1交线段AA1于点F，则截面四边形BED1F的周长的最小值为________． 解析：由题意，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面ADD1A1∩平面BED1＝D1F，平面BCC1B1∩平面BED1＝BE，所以D1F∥BE，同理可得BF∥D1E， 所以四边形BED1F为平行四边形，则周长l＝2(BE＋ED1)，将CC1所在侧面展开如图，当B，E，D1三点共线时，BE＋ED1最小，最小值为＝＝5，所以截面四边形BED1F的周长的最小值为10. 答案：10 7．如图，棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，Q分别在棱BC，CC1上，CP＝x，CQ＝y，x∈[0，1]，y∈[0，1]，且x2＋y2≠0，过A，P，Q三点的平面截正方体ABCD­A1B1C1D1得到截面多边形，有下列四个说法： ①x＝y时，截面一定为等腰梯形； ②x＝1时，截面一定为矩形且面积最大值为； ③存在x，y使截面为六边形； ④存在x，y使BD1与截面平行． 其中正确的有________．(填序号) 解析：对于①，x＝y＝1时，截面为矩形，故①错误；对于②，当x＝1时，点P与点B重合，设过A，P，Q三点的平面交D1D于M，因为平面AA1D1D∥平面BB1C1C，平面ABQM∩平面BB1C1C＝BQ，平面ABQM∩平面AA1D1D＝AM，故PQ∥AM，且AB⊥PQ，此时截面为矩形，当点Q与点C1重合时面积最大，此时截面面积S＝1×＝，故②正确；对于③，截面只能为四边形、五边形，故③错误；对于④，当x＝，y＝时，延长B1B交QP延长线于N，连接AN，画出截面APQM如图所示，连接MN， 此时因为BP＝CP，BN∥CQ，故Rt△BPN≌Rt△CPQ，则BN＝CQ＝，由面面平行的截面性质可得△ADM∽△PCQ，AD＝2PC，故MD＝2QC＝，此时MD1＝，故MD1＝BN且MD1∥BN， 故四边形MD1BN为平行四边形，故MN∥BD1，因为MN⊂平面APQM，BD1⊄平面APQM，所以BD1∥平面APQM，即BD1与截面平行，故④正确． 答案：②④ 学科网（北京）股份有限公司 $