第7章 第9讲 空间向量的应用(二)(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习讲义聚焦空间向量应用，覆盖异面直线所成角、线面角、面面角等核心考点，按“定义-公式-应用”逻辑梳理知识，通过考点解析、方法归纳、真题精讲、分层训练四环节，帮助学生构建空间角求解体系，突破向量法应用难点。 讲义突出数学思维与数学语言培养，如通过建系训练提升空间观念，结合例题归纳向量法三步解题流程，设置基础巩固与综合提升分层练习。精准对接高考题型，助力学生高效掌握空间角计算技巧，为教师把控复习节奏提供系统教学支持。

第9讲　空间向量的应用(二) 课标要求　1.了解利用空间向量求空间角的方法．　2.会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角、二面角． 空间向量与空间角的关系 (1)异面直线所成的角：设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝. 提醒　两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． (2)直线与平面所成的角：如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，θ为l与α所成的角，则sin θ＝|cos 〈a，n〉|＝＝. (3)平面与平面的夹角：设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝. 1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，则直线l与平面α所成的角等于(　　) A．40° B．50° C．130° D．以上均错 解析：选A．因为直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，所以直线l与平面α所成的角等于130°－90°＝40°. 2．在空间直角坐标系中，已知点O(0，0，0)，A(0，2，1)，B(0，2，0)，C(1，0，0)，则直线OA与BC所成角的余弦值是(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选C .＝(0，2，1)，＝(1，－2，0)，直线OA与BC所成角的余弦值是＝＝＝. 3．(多选)已知直线l的方向向量为a，平面α，β的法向量分别为n，m，则下列命题为真命题的是(　　) A．若m⊥n，则α⊥β B．若l∥α，则a⊥n C．若cos 〈a，n〉＝，则直线l与平面α所成的角的大小为 D．若cos 〈m，n〉＝，则平面α与β的夹角大小为 解析：选ABD．若m⊥n，则α⊥β，故A为真命题；若l∥α，则a⊥n，故B为真命题； 因为直线与平面所成角的取值范围为，若cos 〈a，n〉＝，则a与n的夹角为，所以直线l与平面α所成的角的大小为，故C为假命题； 因为两平面夹角的取值范围为， 若cos 〈m，n〉＝，则平面α与β的夹角大小为，故D为真命题． 4．已知向量m＝(1，2，－1)，n＝(t，1，－t)，且m⊥平面α，n⊥平面β，若平面α与平面β的夹角的余弦值为，则实数t的值为________． 解析：因为m＝(1，2，－1)，n＝(t，1，－t)，所以m·n＝2＋2t，|m|＝，|n|＝，由题意得，|cos 〈m，n〉|＝＝，化简得5t2－6t＋1＝0，解得t＝或t＝1. 答案：或1 5．(选择性必修第一册P43T10改编)设M，N分别是正方体ABCD-A′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中点，则直线MN与平面A′BCD′所成角的正弦值为________． 解析：建系如图，设正方体棱长为2， 则M(2，2，1)，N(1，2，2)，B(2，2，0)，A′(2，0，2)，C(0，2，0)，则＝(－1，0，1)，＝(0，－2，2)，＝(－2，0，0).设平面A′BCD′的法向量为n＝(x，y，z)，故 则x＝0，令z＝1，得y＝1，所以n＝(0，1，1). 设直线MN与平面A′BCD′所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝. 答案： 题型一　异面直线所成的角 [例1] 如图，已知圆锥的底面半径r＝2，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧AB的中点，点P为母线SA的中点． (1)求此圆锥的侧面积； (2)求异面直线PQ与SO所成角的余弦值． 【解】　(1)因为圆锥的底面半径r＝2，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，可得SA＝4，所以圆锥的侧面积为π×2×4＝8π. (2)连接OQ，由题意，以O为原点，OQ所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，OS所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图， 由题意可得SO＝2， 则S(0，0，2)，O(0，0，0)，A(0，2，0)，Q(2，0，0)，P(0，1，)， 则＝(0，0，－2)，＝(2，－1，－)， 所以cos 〈，〉＝＝＝. 设异面直线PQ与SO所成的角为θ，θ∈，则cos θ＝|cos 〈，〉|＝，故异面直线PQ与SO所成角的余弦值为. 【素养小结】　用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 (1)选择合适的基底或建立空间直角坐标系； (2)求出两直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)根据异面直线所成角的范围，从而得出异面直线所成的角． [对点训练] (2026·秦皇岛模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，PB＝BA＝AD＝3，BC＝5，点E在棱PA上． (1)若E为PA的中点，证明：BE⊥PD； (2)若两条异面直线CD，BE所成角的余弦值为，求的值． 解：(1)证明：因为PB⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥PB，因为AD∥BC，AB⊥BC，所以AB⊥AD，又AB，PB⊂平面PAB，AB∩PB＝B，所以AD⊥平面PAB.因为BE⊂平面PAB，所以AD⊥BE，因为PB＝BA，E为PA的中点，所以BE⊥PA，又AD，PA⊂平面PAD，AD∩PA＝A，所以BE⊥平面PAD，因为PD⊂平面PAD，所以BE⊥PD. (2)如图，以B为坐标原点，以BC，BA，BP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则 B(0，0，0)，A(0，3，0)，C(5，0，0)，D(3，3，0)，P(0，0，3)，＝(0，0，3)，＝(0，3，－3)，＝(－2，3，0). 设＝m(0≤m≤1)， 则＝＋＝＋m＝(0，0，3)＋(0，3m，－3m)＝(0，3m，3－3m). 设异面直线CD与BE所成的角为θ， 则cos θ＝|cos 〈，〉|＝＝ ＝＝， 整理得3m2＋2m－1＝0，解得m＝或m＝－1(舍去)，所以＝，所以＝2. 题型二　直线与平面所成的角 [例2] (2025·北京卷)如图，在四棱锥P­ABCD中，△ACD与△ABC均为等腰直角三角形，∠ADC＝90°，∠BAC＝90°，E为BC的中点． (1)若F，G分别为PD，PE的中点，求证：FG∥平面PAB； (2)若PA⊥平面ABCD，PA＝AC，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 【解】　(1)证明：取PA，PB的中点N，M，连接FN，MN，GM， 因为△ACD与△ABC均为等腰直角三角形且∠ADC＝90°，∠BAC＝90°，不妨设AD＝CD＝2， 所以AC＝AB＝2，所以BC＝4.因为E，F分别为BC，PD的中点， 所以FN＝AD＝1，BE＝2， 所以GM＝BE＝1.由题意知∠DAC＝45°，∠ACB＝45°， 所以AD∥BC，所以FN綉GM， 所以四边形FGMN为平行四边形， 所以FG∥MN， 因为FG⊄平面PAB，MN⊂平面PAB， 所以FG∥平面PAB. (2)因为PA⊥平面ABCD，AB，AC⊂平面ABCD，∠BAC＝90°，所以PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，以A为原点，AC，AB，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AD＝CD＝2，则A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(2，0，0)，D(，－，0)，P(0，0，2)， 所以＝(0，2，0)，＝(，，0)，＝(－2，0，2). 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)， 所以 即 取x＝1，则y＝－1，z＝1，所以n＝(1，－1，1). 设直线AB与平面PCD所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝， 即直线AB与平面PCD所成角的正弦值为. 本题源于人教A版选择性必修第一册P49T14：在正四棱锥S­ABCD中，O为顶点S在底面内的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD.求直线BC与平面PAC所成的角． 相似度　两道题目都围绕四棱锥展开，在空间几何图形的基础架构上相似；均是考查直线与平面所成的角，整体问题的设置方向有相似之处． 变式点　教材习题是正四棱锥，在利用其对称性方面有独特的解题思路；高考真题是基于底面中等腰直角三角形的边长关系建系求解线面角的相关问题．真题还可以从改变线面平行的对象及线面角的相关条件入手，进行如下变式． [变式1]　在本例(1)条件不变的情况下，若H为PC的中点，求证：DH∥平面PAB. 证明：由本例(1)可知，AD∥BC，且AD＝BC，连接HM，AM，易得HM∥BC，HM＝BC， 所以AD∥HM且AD＝HM， 所以四边形DHMA为平行四边形， 所以DH∥MA， 因为DH⊄平面PAB，MA⊂平面PAB， 所以DH∥平面PAB. [变式2]　若本例(2)中PA＝2AC，其余条件不变，求直线BD与平面PCD所成角的正弦值． 解：因为PA⊥平面ABCD，∠BAC＝90°，所以以A为原点，AC，AB，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AD＝CD＝2，则B(0，2，0)，C(2，0，0)，D(，－，0)，P(0，0，4)， 所以＝(，－3，0)，＝(，，0)，＝(－2，0，4). 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)， 所以所以 取x＝2，则y＝－2，z＝1，所以n＝(2，－2，1). 设直线BD与平面PCD所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝＝＝，即直线BD与平面PCD所成角的正弦值为. 【素养小结】　利用空间向量求线面角的解题步骤 题型三　平面与平面的夹角(二面角) [例3] (2026·上海模拟)如图，已知一个由半圆柱与多面体ABB1A1C构成的几何体，平面ABC与半圆柱的下底面共面，且AC⊥BC，P为半圆弧A1B1上的动点(P与A1，B1不重合). (1)证明：平面PA1B1⊥平面PBB1； (2)若四边形ABB1A1为正方形，且AC＝BC＝1，∠PB1A1＝，求二面角P­A1B1­C的余弦值． 【解】　(1)证明：在半圆柱内，BB1⊥平面PA1B1，PA1⊂平面PA1B1，所以BB1⊥PA1. 因为A1B1为上底面对应圆的直径，所以PA1⊥PB1， 又PB1∩BB1＝B1，PB1⊂平面PBB1，BB1⊂平面PBB1， 所以PA1⊥平面PBB1，因为PA1⊂平面PA1B1，所以平面PA1B1⊥平面PBB1. (2)根据题意以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为AC＝BC＝1，∠PB1A1＝， 所以C(0，0，0)，A1(0，1，)，B1(1，0，)，P(1，1，)， 所以＝(0，1，)，＝(1，0，)，易知平面PA1B1的一个法向量为n1＝(0，0，1)， 设平面CA1B1的法向量为n2＝(x，y，z)， 则令z＝1，则x＝－，y＝－，所以n2＝(－，－，1)，所以|cos 〈n1，n2〉|＝＝， 由图可知，二面角P­A1B1­C为钝角， 所以二面角P­A1B1­C的余弦值为－. 【素养小结】　利用空间向量求平面与平面夹角的步骤 [对点训练] (2026·巴中模拟)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱A1A⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝1，BC＝2，A1A＝1，点D是AB的中点． (1)证明：AC1∥平面CDB1； (2)求平面CDB1与平面CC1B1夹角的正切值． 解：(1)证明：连接BC1，与CB1相交于点E，连接DE， 易知E是BC1的中点，因为D是AB的中点，所以DE∥AC1， 因为DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1， 所以AC1∥平面CDB1. (2)易知AC，BC，CC1两两垂直，以AC，BC，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则C(0，0，0)，D(，1，0)， B1(0，2，1)， 则＝(，1，0)，＝(0，－2，－1)， 设平面CDB1的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝2，则y＝－1，z＝2，所以n＝(2，－1，2)， 易知平面CC1B1的一个法向量为m＝(1，0，0)， 所以|cos 〈m，n〉|＝＝， 所以sin 〈m，n〉＝＝， 所以|tan〈m，n〉|＝＝， 设平面CDB1与平面CC1B1的夹角为θ，则tan θ＝|tan 〈m，n〉|＝，所以平面CDB1与平面CC1B1夹角的正切值为. 学科网（北京）股份有限公司 $