第7章 第8讲 空间向量的应用(一)(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学讲义聚焦空间向量应用，覆盖方向向量、法向量及线线、线面、面面平行垂直的向量表示，点到线、点到面距离的向量求法等高考核心考点。按“概念-关系-距离”逻辑架构知识，通过考点梳理（表格归纳位置关系）、方法指导（证明步骤、距离公式）、真题训练（例题与对点练习），帮助学生系统突破空间向量应用难点。 资料突出空间观念与数学思维培养，创新采用“建系-求向量-运算推理”三步教学法，如例1通过建立坐标系用向量数量积证明线线垂直，例3结合法向量求点面距离。设置基础题、多选题、解答题分层练习，配合素养小结提炼方法，助力学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第8讲　空间向量的应用(一) 课标要求　1.理解直线的方向向量及平面的法向量．　2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；能用向量方法证明立体几何中有关线面的位置关系．　3.了解利用空间向量求空间距离的方法，能用空间向量求点到线、点到面的距离． 1．直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的方向向量． (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量． (3)方向向量和法向量均是非零向量且不唯一． 2．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔ ∃k∈R，使得n1＝kn2 l1⊥l2 n1⊥n2⇔ n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α n∥m⇔∃k∈R，使得n＝km 平面α，β的法向量分别为m1，m2 α∥β m1∥m2⇔∃k∈R，使得m1＝km2 α⊥β m1⊥m2⇔m1·m2＝0 3.空间距离的向量求法 (1)点P到直线l的距离 如图1，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝． 提醒　两条平行直线之间的距离转化为一条直线上的任意一点到另一条直线的距离． (2)点P到平面α的距离 如图2，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．因此PQ＝＝． 提醒　直线与平面、平面与平面之间的距离均可转化为点到平面的距离． 1．已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的法向量可以是(　　) A．(1，1，1)　　 B．(－1，，1) C． D．(－1，0，1) 解析：选A．＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)，设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)， 则则x＝y＝z，只有A选项符合． 2．若平面α过点A(2，3，0)且该平面的一个法向量为n＝(2，1，1)，则点P(－4，－9，30)到平面α的距离为(　　) A． B． C．2 D．2 解析：选A．＝(－6，－12，30)，点P(－4，－9，30)到平面α的距离d＝＝＝. 3．(多选)已知点P是△ABC所在平面外一点，若＝(－2，1，4)，＝(1，－2，1)，＝(4，2，0)，则下列结论正确的有(　　) A．AP⊥AB B．AP⊥BP C．BC＝ D．AP∥BC 解析：选AC．对于A，因为·＝－2－2＋4＝0，所以A正确；对于B，因为＝＋＝(2，－1，－4)＋(1，－2，1)＝(3，－3，－3)，所以·＝3＋6－3＝6≠0，所以AP，BP不垂直，所以B 不正确；对于C，因为＝－＝(6，1，－4)，所以||＝＝，所以C正确；对于D，＝(1，－2，1)，＝(6，1，－4)，而≠λ(λ∈R)，所以AP不平行于BC，所以D不正确． 4．(选择性必修第一册P33T1改编)若l∥α，且m＝(2，t，1)为直线l的一个方向向量，n＝为平面α的一个法向量，则实数t的值为________． 解析：由题意知m·n＝2＋＋2＝0，解得t＝－8. 答案：－8 5．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝4，M为底面ABCD的中心，则点C到直线A1M的距离为________． 解析：以点A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(0，0，4)，M(1，1，0)，C(2，2，0)，＝(1，1，－4)，＝(2，2，－4)， 所以点C到直线A1M的距离为 d＝ ＝＝. 答案： 题型一　利用空间向量证明平行与垂直 [例1] (2026·咸阳月考)如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点． (1)求证：A1E⊥BD； (2)若平面A1BD⊥平面EBD，求证：E为CC1的中点． 【证明】　(1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为a，则B(a，a，0)，A1(a，0，a)，D(0，0，0).设E(0，a，e)(0≤e≤a)，则＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a，0)， 因为·＝a2－a2＋(e－a)·0＝0， 所以⊥，即A1E⊥BD. (2)设平面A1BD和平面EBD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2). 由(1)知＝(a，a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，e)， 所以即 令x1＝1，则y1＝z1＝－1，则n1＝(1，－1，－1)， 所以即 令x2＝1，则y2＝－1，z2＝， 则n2＝. 由平面A1BD⊥平面EBD，得n1⊥n2. 所以2－＝0，即e＝. 所以当平面A1BD⊥平面EBD时，E为CC1的中点． 【素养小结】　利用空间向量证明平行、垂直的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用已知图形中的垂直关系； (2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面等要素； (3)通过空间向量的坐标运算研究平行、垂直关系； (4)根据运算结果证明相关问题． [对点训练] 如图，在五面体ABCDEF中，EA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AD∥EF，AB＝AD＝AE＝4，BC＝3，EF＝2，M，N分别为BE，CF的中点，连接AM, MN，ND. (1)求证：BE⊥平面AND； (2)线段CD上是否存在点P，使得DE∥平面AMP？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明： 如图，以A为原点，，，的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系Axyz，由题意可得，A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，3，0)，D(0，4，0)，E(0，0，4)，M(2，0，2)， 因为AD∥BC，AD∥EF，所以EF∥BC， 又M，N分别为BE，CF的中点， 所以MN∥BC∥AD，所以M，N，D，A四点共面，设平面AND的法向量为n1＝(x，y，z)，＝(0，4，0)，＝(2，0，2)， 由得y＝0， 令x＝1，则z＝－1，所以n1＝(1，0，－1)， ＝(－4，0，4)，易知∥n1， 所以BE⊥平面AND. (2)存在点P，使得DE∥平面AMP，且＝，证明如下： 设P(x，y，z)，＝λ，λ∈[0，1]， 所以(x－4，y－3，z)＝λ(－4，1，0)， 则P(4－4λ，3＋λ，0)， 设平面AMP的法向量为n2＝(a，b，c)， ＝(2，0，2)，＝(4－4λ，3＋λ，0)， 由 得 令a＝1，则b＝，c＝－1，所以n2＝(1，，－1)，又因为＝(0，－4，4)，DE∥平面AMP， 所以·n2＝0，解得λ＝，所以＝， 即线段CD上存在点P，当＝时，DE∥平面AMP. 题型二　空间距离 考向1　点到直线的距离 [例2] (1)(2026·安阳模拟)如图，在三棱锥S-ABC中，SA，SB，SC两两垂直，SC＝3，SB＝2，SA＝1，点D为线段SC上靠近点C的三等分点，点E为△ABC的重心，则点E到直线BD的距离为(　　) A． B． C． D． (2)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝AA1＝2，P为线段A1B1的中点，Q为线段C1P上一点，则△BCQ面积的取值范围为________． 【解析】　(1)根据题意，以S为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则B(2，0，0)，D(0，2，0)，A(0，0，1)，C(0，3，0)， 又点E为△ABC的重心，所以E(，1，)， 则＝(，－1，－)，＝(2，－2，0)， 则cos 〈，〉＝ ＝＝＝， 则sin 〈，〉＝＝， 所以点E到直线BD的距离为||·sin 〈，〉＝×＝. (2)由直三棱柱可得BB1⊥平面ABC，而AB⊥BC，所以BB1，AB，BC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，B(0，0，0)，C(2，0，0)，C1(2，0，2)，P(0，1，2)，设＝λ＝λ(－2，1，0)＝(－2λ，λ，0)，其中λ∈[0，1]，故Q(2－2λ，λ，2)，而＝(－2λ，λ，2)，＝(－2，0，0)，故Q到直线BC的距离为d＝＝＝，因为λ∈[0，1]，故d∈[2，]，故S△BCQ＝d·BC＝d∈[2，]. 【答案】　(1)B　(2)[2，] 【素养小结】　用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)求直线的方向向量； (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度； (3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 考向2　点到平面的距离 [例3] 在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点．求： (1)点A1到平面AEC1的距离； (2)点B到平面AEC1的距离． 【解】　(1)以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D所在的直线分别为x轴、y轴、 z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B(1，1，1)，A1(1，0，0)，C1(0，1，0)，E， 所以＝，＝. 设点A1到平面AEC1的距离为d，平面AEC1的法向量为n＝(x，y，z)， 则 取z＝1，则x＝1，y＝2，所以n＝(1，2，1). 又＝(0，，0)， 故d＝＝＝. (2)由(1)可知，平面AEC1的一个法向量为n＝(1，2，1)，＝(0，1，0)，故点B到平面AEC1的距离为＝＝. 母题探究1　在本例条件下，若F为线段AB的中点，求直线FC到平面AEC1的距离． 解：因为E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点，易证FC∥EC1，又因为EC1⊂平面AEC1，FC⊄平面AEC1，所以FC∥平面AEC1，根据直线与平面平行的性质知，直线FC到平面AEC1的距离就是点F到平面AEC1的距离． 由本例(1)可知，A(1，0，1)，F，平面AEC1的一个法向量为n＝(1，2，1)，又＝，故点F到平面AEC1的距离为＝＝. 母题探究2　在本例条件下，若F为线段AB的中点，求平面FCB1到平面AEC1的距离． 解：易证FB1∥平面AEC1，由母题探究1知FC∥平面AEC1，又FB1∩FC＝F，FB1，FC⊂平面FCB1，所以平面FCB1∥平面AEC1，由平面与平面平行的性质可知，平面FCB1到平面AEC1的距离，就是点F到平面AEC1的距离，由母题探究1可知平面FCB1到平面AEC1的距离为＝＝. 【素养小结】　用向量法求点面距离的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系； (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标； (3)求向量：求出相关向量的坐标(，平面α的法向量n)； (4)求距离：d＝. [对点训练] 1.(2026·淄博模拟)在四棱锥S-ABCD中，＝(4，－1，0)，＝(0，3，0)，＝(－3，1，－4)，则三棱锥S-ABD的体积为(　　) A．5 B．6 C．8 D．9 解析：选C．设平面ABD的法向量为m＝(x，y，z)， 则 则可取m＝(0，0，1)， 则点S到平面ABD的距离为d＝＝＝4，又·＝－3，||＝3， 则点B到直线AD的距离为 ＝＝4， 则S△ABD＝×4×3＝6， 故三棱锥S-ABD的体积为S△ABD·d＝×6×4＝8. 2．(2025·东城一模)如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，平面ADE⊥平面CDE，AD⊥DE，AD＝DE＝DC＝1，BF∥DE. (1)证明：FC∥平面ADE； (2)已知点E到平面AFC的距离为，且AC＝CE，求BF的长． 解：(1)证明：由四边形ABCD为平行四边形，得AD∥BC， 又AD⊂平面ADE，BC⊄平面ADE，则BC∥平面ADE，又BF∥DE，同理BF∥平面ADE， 由BC∩BF＝B，BC，BF⊂平面BCF，则平面BCF∥平面ADE， 又FC⊂平面BCF，则FC∥平面ADE. (2)因为平面ADE⊥平面CDE，AD⊥DE，平面ADE∩平面CDE＝DE，AD⊂平面ADE， 所以AD⊥平面CDE，因为CD⊂平面CDE，则AD⊥CD， 由AD⊥DE，AD⊥CD，AD＝DE＝DC＝1， 则△ADE≌△ADC，又AC＝CE，故AC＝AE＝CE， 所以△ADE≌△ADC≌△EDC，则CD⊥DE， 综上，AD⊥DE，AD⊥CD，CD⊥DE， 以D为原点，，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz，所以A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(0，0，1)， 令BF＝x(x＞0)，则F(1，1，x)， 故＝(0，1，x)，＝(1，0，x)，＝(－1，0，1)， 设m＝(a，b，c)是平面AFC的法向量， 则 取a＝x，则m＝(x，x，－1)， 由题设＝＝，可得4x2－4x＋1＝0，解得x＝， 所以BF＝. 学科网（北京）股份有限公司 $