第7章 第7讲 空间向量的概念与运算(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习讲义聚焦空间向量的线性运算、共线与共面向量定理、数量积运算及应用等核心考点，按概念-定理-坐标运算的逻辑层次组织知识点，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建知识体系，突破向量夹角、模及垂直证明等难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义以数学思维和数学语言为特色，如通过基底表示向量证明四点共面培养推理能力，坐标运算强化符号表达。设置分层练习和母题探究，如数量积应用中结合正四面体求夹角，确保高效复习，助力学生提升空间向量综合应用能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第7讲　空间向量的概念与运算 课标要求　1.掌握空间向量的线性运算. 　2.理解共线向量定理与共面向量定理，并能解决相关问题．　3.掌握空间向量的数量积运算，能利用向量的数量积解决向量的夹角、模以及两向量的垂直问题．　4.会用向量法证明平行、垂直关系． 1．空间向量及其有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量 (平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 共面向量 平行于同一个平面的向量 2.空间向量的有关定理及推论 (1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一的实数λ，使a＝λb． (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理及推论：定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.叫做空间的一个基底． 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1． (4)在空间选定一点O和一个单位正交基底，以点O为坐标原点，以i，j，k的方向为正方向，建立右手直角坐标系，可得空间点、空间向量的坐标． 3．空间向量的数量积及坐标运算 (1)两个非零空间向量的数量积 ①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝ . (2)空间向量运算的坐标表示 类别 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘向量 λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R) 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2， a3＝λb3(b≠0，λ∈R) 垂直 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 (a≠0，b≠0) 夹角公式 cos 〈a，b〉＝＝ (a≠0，b≠0) 1．在空间四边形ABCD中，＝(1，3，2)，＝(－2，－3，1)，＝(3，1，2)，则＝(　　) A．(4，1，－1) B．(－4，－1，1) C．(0，－5，1) D．(0，5，－1) 解析：选A．由题知，＝－(＋)＋＝－(－1，0，3)＋(3，1，2)＝(4，1，－1). 2．(选择性必修第一册P12T3改编)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．－a＋b＋c B．a＋b＋c C．－a－b－c D．－a－b＋c 解析：选C．＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝－a－b－c. 3．(多选)下列说法错误的是(　　) A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0 B．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使得a＝λb C．若，共线，则AB∥CD D．对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面 解析：选BCD．对于A，＋＋＋＝＋＝0，A正确； 对于B，当b＝0，a≠0时，λ不存在，B错误； 对于C，，共线，AB，CD可能在同一条直线上，C错误； 对于D，当x＋y＋z≠1时，P，A，B，C四点不共面，D错误． 4．已知a＝(2，－3，0)，b＝(k，0，3)，〈a，b〉＝120°，则k＝________． 解析：因为a·b＝2k，|a|＝，|b|＝，所以cos 120°＝＝－，所以k＝－. 答案：－ 5．已知A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，P为平面外任意一点，且＝－x＋，则实数x的值为________． 解析：因为＝－x＋＝－x＋(－)＝－x＋. 由题意得－x＋＝1，所以x＝－. 答案：－ 常用 结论 1.在平面中，A ，B ，C 三点共线的充要条件是：＝x＋y (其中x＋y＝1 )，O 为平面内任意一点． 2．在空间中，P与不共线三点A ，B ，C 四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z (其中x＋y＋z＝1)，O 为空间内任意一点． 题型一　空间向量的线性运算 1．已知向量a＝(－2，3，1)，b＝(0，－1，4)，则2a＋3b＝(　　) A．(－4，6，14) B．(－4，0，6) C．(－4，3，6) D．(－4，3，14) 解析：选D．因为a＝(－2，3，1)，b＝(0，－1，4)，所以2a＋3b＝2(－2，3，1)＋3(0，－1，4)＝(－4，3，14). 2．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为BC，CC1的中点，设＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．2b－c－2a B．2a－b－2c C．2c－2a－b D．2a＋b－2c 解析：选A．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，＝2＝2(＋＋)＝2＝2b－2a－c. 3．已知点A(2，－3，1)，向量a＝(2，0，3)，且＝2a，则点B的坐标为________． 解析：设B(x，y，z)，则＝(x－2，y＋3，z－1)＝(4，0，6)，即x＝6，y＝－3，z＝7， 故点B的坐标为(6，－3，7). 答案：(6，－3，7) 4．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2，3，4)，则p在基底{a＋b，b＋c，c}下的坐标为__________． 解析：由题意可得p＝2a＋3b＋4c，设p＝x(a＋b)＋y(b＋c)＋zc＝xa＋(x＋y)b＋(y＋z)c，则解得 所以p在基底{a＋b，b＋c，c}下的坐标为(2，1，3). 答案：(2，1，3) 【素养小结】　空间向量的线性运算中的三个关键点 (1)结合图形，明确图形中各线段的几何关系； (2)正确运用向量加、减、数乘运算的几何意义； (3)平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间向量中仍然成立． 题型二　共线定理、共面定理的应用 [例1] 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别在B1B和D1D上，BE＝BB1，DF＝D1D. (1)求证：A，E，C1，F四点共面； (2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值． 【解】　(1)证明：连接AC1，AF，AE(图略)，因为＝＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋，所以A，E，C1，F四点共面． (2)因为＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋，所以x＝－1，y＝1，z＝， 所以x＋y＋z＝. 【素养小结】　证明三点共线和空间四点共面的方法 三点P，A，B共线 空间四点M，P，A，B共面 ＝λ且同过点P ＝x＋y且同过点M 对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1) 对空间任一点O，＝x＋(1－x) ∥(或∥或∥) [对点训练] 已知a，b，c是空间中不共面的向量，若＝2a－b＋c，＝a＋2b－c，＝－a＋mb＋nc. (1)若B，C，D三点共线，求m，n的值； (2)若A，B，C，D四点共面，求mn的最大值． 解：(1)因为B，C，D三点共线，设＝λ(λ∈R)， 又＝－＝－a＋3b－2c，＝－＝－3a＋(m＋1)b＋(n－1)c， 则解得 (2)因为A，B，C，D四点共面，设＝x＋y， 则－a＋mb＋nc＝x(2a－b＋c)＋y(a＋2b－c)＝(2x＋y)a＋(－x＋2y)b＋(x－y)c， 则解得3m＋5n＝－1， 所以mn＝m·()＝－(m2＋m)＝－(m＋)2＋， 当m＝－时，mn取到最大值. 题型三　空间向量数量积及其应用 [例2] 如图所示，已知空间四面体ABCD的每条棱长都为1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点． (1)求· ； (2)求证：⊥. 【解】　设＝a，＝b，＝c. (1)由题意得，|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°. ＝＝c－a，＝－a， 所以·＝(c－a) ·(－a)＝－a·c＋a2＝. (2)证明：连接AG(图略)，＝－＝(＋－)＝(b＋c－a)，所以·＝(a·b＋a·c－a2)＝×(1×1×＋1×1×－1)＝0.故⊥. 母题探究　在本例条件下，求与夹角的余弦值． 解：＝b＋c，＝＋＝－b＋a， 所以·＝(b＋c)·(－b＋a)＝－，又||＝，||＝， 所以cos 〈，〉＝＝－. 【素养小结】　由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确． [对点训练] 1.(多选)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是线段A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c，且均为单位向量，若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则下列说法中正确的是(　　) A．与的夹角为60° B．＝a＋b＋c C．||＝ D．⊥ 解析：选BCD．对于A，因为AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，所以∠ABC＝45°，所以与的夹角为135°，又＝，所以与的夹角为135°，故A错误； 对于B，连接A1N(图略)，因为BM＝2A1M，C1N＝2B1N， 所以＝＋＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，＝＝(－)，所以＝－＝＋－(－)＝＋＋＝a＋b＋c，故B正确； 对于C，因为|a|＝|b|＝|c|＝1，∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°， 所以a·b＝0，a·c＝，b·c＝， 所以||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋a·b＋a·c＋b·c ＝＋＋＋×0＋×＋×＝， 所以||＝，故C正确； 对于D，·＝(a＋b＋c)·(b－a)＝－a2＋b2＋b·c－a·c＝0，所以⊥，故D正确． 2．已知空间向量a＝(1，1，λ)，b＝(－2，2－λ2，λ－6)，若a，b的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为________． 解析：因为a＝(1，1，λ)，b＝(－2，2－λ2，λ－6)且a，b的夹角为钝角，所以a·b＜0且a与b不反向共线，由a·b＜0，得－2＋2－λ2＋λ(λ－6)＜0，解得λ＞0，当a与b共线时，设b＝ta(t∈R)， 则解得综上可得实数λ的取值范围为(0，2)∪(2，＋∞). 答案：(0，2)∪(2，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $