第7章 第7讲 空间向量的概念与运算 课后达标检测(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

**基本信息** 聚焦空间向量核心运算，以坐标法与几何法融合为特色，构建"概念理解-定理应用-几何综合"的递进训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|4题|投影向量、模长计算、坐标表示|从向量坐标定义到投影原理，强化代数表达能力| |定理应用|5题|共线共面、夹角余弦、垂直判定|以数量积为核心，串联空间位置关系证明逻辑| |几何综合|5题|三棱柱、四棱锥、正方体背景|从几何体抽象向量关系，培养空间观念与模型意识|

1．已知空间向量a＝(－1，2，4)，则向量a在坐标平面Oyz上的投影向量是(　　) A．(1，－2，－4) B．(－1，0，4) C．(0，2，4) D．(0，3，5) 解析：选C．向量a＝(－1，2，4)在坐标平面Oyz上的投影向量是(0，2，4). 2．在空间直角坐标系中，已知三点A(0，1，2)，B(2，0，0)，C(2a，a，1)，且||＝||，则实数a＝(　　) A． B．2 C．－ D．－1 解析：选A．由A(0，1，2)，B(2，0，0)，C(2a，a，1)可得，＝(2a，a－1，－1)，＝(2a－2，a，1)，由||＝||，可得4a2＋(a－1)2＋1＝(2a－2)2＋a2＋1，解得a＝. 3．在三棱柱ABC-A1B1C1中，＝a，＝b，＝c，BC的中点为O，则＝(　　) A．－a＋b＋c B．a－b＋c C．－a＋b－c D．a＋b－c 解析：选B．易知＝＋＝＋＝(－)＋＝(a－b)＋c＝a－b＋c. 4．(2026·济南模拟)已知在空间直角坐标系Oxyz中，三点A(1，1，0)，B(0，，1)，C(2，1，－1)，则向量与夹角的余弦值为(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选A．依题意，＝(1，0，－1)，＝(0，，1)，所以向量与夹角的余弦值为＝＝－. 5．(2026·齐齐哈尔模拟)已知空间中有5个点E，A，B，C，D，若满足(1－λ)＝＋＋λ，且A，B，C，D四点共面，则λ的值为(　　) A． B． C． D． 解析：选B．由－λ＝＋＋λ得＝＋＋λ(＋)＝＋＋λ，由空间向量共面定理的推论可知，＋＋λ＝1，解得λ＝. 6．(多选)已知向量a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，2，1)，则下列结论正确的是(　　) A．向量a与向量b的夹角为 B．(a－b)⊥c C．(a＋b)∥c D．向量a在向量b上的投影向量为(，0，) 解析：选BC．对于A，因为a·b＝1×0＋1×1＋0×1＝1，|a|＝|b|＝，所以cos 〈a，b〉＝＝＝，又0≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝，所以A错误； 对于B，因为a－b＝(1，0，－1)，所以(a－b)·c＝1×1＋0×2＋(－1)×1＝0，故(a－b)⊥c，所以B正确； 对于C，因为a＋b＝(1，2，1)＝c，故(a＋b)∥c，所以C正确； 对于D，向量a在向量b上的投影向量为|a|·cos 〈a，b〉·＝·b＝(0，1，1)＝(0，，)，所以D错误． 7．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，1)，若ka＋b与b互相垂直，则实数k的值为________． 解析：由向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，1)，得a·b＝－1，b2＝2，由ka＋b与b互相垂直，得(ka＋b)·b＝ka·b＋b2＝－k＋2＝0，所以k＝2. 答案：2 8．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝AA1＝2，点P为侧面ABB1A1上的任意一点，则·的取值范围是________． 解析：如图，取AB的中点为原点O，建立空间直角坐标系， 设P(x，0，z)，其中－1≤x≤1，0≤z≤2，C(0，，0)，C1(0，，2)，＝(－x，，－z)，＝(－x，，2－z)，则·＝x2＋3＋z2－2z＝x2＋(z－1)2＋2，当x＝±1，且z＝0或z＝2时，·取最大值4，当x＝0，且z＝1时，·取最小值2，所以·的取值范围为[2，4]. 答案：[2，4] 9．(13分)已知向量a，b，c是空间中不共面的三个向量，＝a－2b＋c，＝pa＋b＋qc，＝2a＋b－2c. (1)若＝m，m∈R，求p，q的值；(6分) (2)若O，A，B，C四点共面，求3p＋5q的值．(7分) 解：(1)由题可得，＝－＝pa＋b＋qc－(a－2b＋c)＝(p－1)a＋3b＋(q－1)c， ＝－＝2a＋b－2c－(a－2b＋c)＝a＋3b－3c， 因为＝m， 所以(p－1)a＋3b＋(q－1)c＝m(a＋3b－3c)， 即解得 所以p，q的值分别为2，－2. (2)因为O，A，B，C四点共面，所以存在λ，μ∈R，使得＝λ＋μ， 即pa＋b＋qc＝λ(a－2b＋c)＋μ(2a＋b－2c)＝(λ＋2μ)a＋(μ－2λ)b＋(λ－2μ)c， 则 所以3p＋5q＝3(λ＋2μ)＋5(λ－2μ)＝8λ－4μ＝8λ－4(1＋2λ)＝－4， 即3p＋5q的值为－4. 10．在空间直角坐标系Oxyz中，＝(－1，2，1)，＝(1，1，2)，＝(2，1，1)，点Q在直线OP上运动，则·的最小值为(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选C．由点Q在直线OP上运动，设＝x＝(2x，x，x)，x∈R， 则＝－＝(－1－2x，2－x，1－x)， ＝－＝(1－2x，1－x，2－x)， 所以·＝(－1－2x，2－x，1－x)·(1－2x，1－x，2－x)＝(－1－2x)·(1－2x)＋(2－x)·(1－x)＋(1－x)·(2－x)＝6x2－6x＋3＝6(x－)2＋， 故当x＝时，·取得最小值. 11．(多选)已知四边形ABCD是平行四边形，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，－2)，则(　　) A．点D的坐标是(－2，0，－1) B．||＝ C．cos ∠DAB＝ D．四边形ABCD的面积是2 解析：选BD．设D(x，y，z)，则＝(x，y，z－1)，由＝(－2，2，－2)，且＝，可得x＝－2，y＝2，z＝－1， 所以点D的坐标是(－2，2，－1)，故A错误； 因为＝(－4，2，－1)，则||＝＝，故B正确； 因为＝(2，0，－1)，＝(－2，2，－2)，所以·＝－4＋0＋2＝－2， 且||＝＝，||＝＝2， 则cos ∠DAB＝＝＝－，故C错误； 由C可知sin ∠DAB＝＝＝，则四边形ABCD的面积为||·||sin∠DAB＝×2×＝2，故D正确． 12．在正四棱锥P-ABCD中，＝，＝2，设平面AEF与直线PC交于点G，＝λ，则λ＝__________． 解析：如图，连接AC. ＝＋＝＋＋＝＋－＋－＝＋－， 因为＝，＝2，所以＝＋－＝＋－， 又＝λ，故＝， 即＝＋－，故＝＋－，因为平面AEF与直线PC交于点G，所以A，E，F，G四点共面，所以＋－＝1，解得λ＝. 答案： 13．(15分)如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，棱长为2，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，设＝a，＝b，＝c，M，N分别是棱AA1，BC的中点，点P为棱C1D1上的动点． (1)用a，b，c表示；(4分) (2)若P为棱C1D1的中点，求|＋|；(5分) (3)是否存在点P，使AP⊥A1N？若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由．(6分) 解：(1)＝－＝＋－＝－a＋b＋c. (2)若P为棱C1D1的中点，则＝a＋b＋c，＝a＋c，所以|＋|＝＝ ＝ ＝. (3)假设存在点P，使AP⊥A1N，设＝λ＝λb，0≤λ≤1，则＝a＋λb＋c，由(1)知＝－a＋b＋c， 所以(a＋λb＋c)·(－a＋b＋c)＝0， 即－a2＋λb2＋c2＋(1－λ)a·b＋(λ＋1)b·c－a·c＝0，化简得－1＋2λ＝0，解得λ＝∈[0，1]， 所以使AP⊥A1N的点P存在，且P为C1D1的中点． 14．(多选)(2026·宜昌模拟)已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，点P满足＝x＋y＋z，其中x，y，z∈[0，1]，则(　　) A．当x＝y＝1时，直线AP与CD所成角正切值的取值范围是[1，] B．当x＋z＝1，y＝0时，AP＋PD′的最小值为 C．当x＋y＋z＝1时，线段AP长度的最小值为 D．当x＋y＋z＝k(0＜k＜3)时，记点P的轨迹为平面α，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 解析：选ACD． 对于A，当x＝y＝1时，点P在线段CC′上运动，如图1所示， 由于AB∥CD，可知∠BAP即为直线AP与CD所成的角， 连接BP，设CP＝t，t∈[0，1]， 则在Rt△ABP中，AB＝1， BP＝＝， 则tan ∠BAP＝＝∈[1，]，故A正确； 对于B，当x＋z＝1，y＝0时，点P在线段A′B上运动， 故将三角形AA′B与四边形A′BCD′沿A′B展开到同一个平面上， 由图2可知，线段AD′的长度即为AP＋PD′的最小值，在△AA′D′中， AD′＝＝，故B错误； 对于C，当x＋y＋z＝1时，点P在△A′BD内部及边界上运动， 如图3，则线段AP长度的最小值即点A到平面A′BD的距离，设点A到平面A′BD的距离为d，由V三棱锥A′-ABD＝V三棱锥A-A′BD得S△ABD·AA′＝S△A′BD·d，即××1×1×1＝×××××d，所以d＝，即线段AP长度的最小值为，故C正确； 对于D，当x＋y＋z＝k(0＜k＜3)时，记点P的轨迹为平面α， 故平面α截此正方体所得截面面积的最大值为正方体的中截面的面积，如图4所示， 当点E，F，G，H，M，N分别为对应棱的中点时，连接EF，FG，GH，HM，MN，NE， 可得平面EFGHMN平行于平面A′BD，且为正六边形，此时该截面EFGHMN是最大截面， 由于正方体的棱长为1，所以正六边形的边长为，则面积为×()2×6＝，故D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $