第7章 第5讲 空间直线、平面的垂直(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习讲义聚焦空间直线与平面垂直核心考点，依据课标要求梳理线面垂直、面面垂直的定义、判定及性质定理，构建“线线垂直→线面垂直→面面垂直”的逻辑体系，通过考点梳理、定理辨析、基础题巩固、题型分类讲解及真题改编训练，帮助学生突破垂直关系证明难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义突出数学思维与空间观念培养，如线面垂直证明中引导学生结合判定定理分析线线垂直条件，培养推理能力；设置分层练习（基础辨析、综合应用、三垂线定理拓展），配合典例精讲与即时反馈，确保高效复习。助力学生提升空间想象与论证能力，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

第5讲　空间直线、平面的垂直 课标要求　1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，了解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理． 2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题． 1．直线与平面垂直 (1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面． (2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理 类别 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2.平面与平面垂直 (1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)两个平面垂直的判定定理与性质定理 类别 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质 定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 点拨　线线垂直线面垂直面面垂直 1．若空间中三条不同的直线a，b，c满足a∥c，且b⊥c，则直线a与直线b必定(　　) A．相交 B．垂直 C．平行 D．异面 解析：选B．由于a∥c，且b⊥c，则b⊥a. 2．(必修第二册P162习题8.6T2改编)已知平面α⊥平面β，点A∈α，则过点A且垂直于平面β的直线(　　) A．只有一条，不一定在平面α内 B．有无数条，不一定在平面α内 C．只有一条，一定在平面α内 D．有无数条，一定在平面α内 解析：选C．根据面面垂直的性质定理可知，当平面α⊥平面β时，过平面α内一点且垂直于平面β的直线，在平面α内且只有一条． 3．(多选)下列平面中的两条直线与直线a垂直，可以保证直线a与平面垂直的是(　　) A．四边形的两边 B．正六边形的两边 C．圆的两条直径 D．三角形的两边 解析：选CD．对于A，四边形中的两条边可能平行，如平行四边形的对边，此时不能保证线面垂直；对于B，若直线垂直正六边形的两条平行的边，此时不能保证线面垂直；对于C，圆的两条直径交于圆心，故能保证线面垂直；对于D，三角形的任意两边一定相交，故能保证线面垂直． 4．如图，在平面α内有线段AB＝1，BC＝2，且AB⊥BC，CD⊥平面α，CD＝3，则A，D之间的距离为__________． 解析：如图所示，连接AC， 因为AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，可得AC＝＝， 又因为CD⊥平面α，且AC⊂平面α，所以CD⊥AC， 在Rt△ACD中，由AC＝，CD＝3， 得AD＝＝， 即A，D之间的距离为. 答案： 5.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD．(写一个条件即可) 解析：如图，连接AC，因为底面ABCD各边都相等，所以AC⊥BD．因为PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PA⊥BD，又AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，因为PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC．所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，PC与平面MBD内的两条相交直线垂直，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD． 答案：DM⊥PC(或BM⊥PC) 常用 结论 1.若两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 2．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． 3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 题型一　直线与平面垂直的判定与性质 [例1] 　如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D为AB的中点，AA1＝AB＝4，＝3. (1)证明：CD⊥A1E； (2)证明：A1D⊥平面CDE. 【证明】　(1)因为△ABC为正三角形，D为AB的中点，所以CD⊥AB，因为BB1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以BB1⊥CD．因为AB⊂平面ABB1A1，BB1⊂平面ABB1A1，AB∩BB1＝B，所以CD⊥平面ABB1A1.因为A1E⊂平面ABB1A1，所以CD⊥A1E. (2)易得A1D＝2，DE＝，A1E＝5，则A1D2＋DE2＝A1E2，所以A1D⊥DE.由(1)可知CD⊥平面ABB1A1，A1D⊂平面ABB1A1，所以A1D⊥CD．因为CD，DE⊂平面CDE，CD∩DE＝D，所以A1D⊥平面CDE. 【素养小结】　证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明线面垂直的常用方法：①利用判定定理；②利用直线垂直于平面的传递性；③利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④利用面面垂直的性质定理． (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质． [对点训练] 如图，在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC．证明：AE∥MN. 证明：因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD．因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD．又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD．因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD．又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN. 题型二　平面与平面垂直的判定与性质 [例2] 　如图，四边形ABCD为正方形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，AB⊥AF，AD＝2，AF＝EF＝1，点G在线段CE上，EG＝. (1)证明：AE⊥平面BCE； (2)证明：平面BDG⊥平面ABCD． 【证明】　(1)过点E作EH⊥AB，垂足为H(图略). 因为EF∥AB，AB⊥AF，AF＝EF，所以四边形AFEH是正方形， 所以∠AEH＝，EH＝AH＝BH＝1， 则△BEH是等腰直角三角形，所以∠BEH＝，则∠AEB＝，即AE⊥BE. 因为平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，AB⊥BC，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面ABEF. 因为AE⊂平面ABEF，所以BC⊥AE. 因为BE∩BC＝B，BC，BE⊂平面BCE，所以AE⊥平面BCE. (2)连接CH，记CH∩BD＝I，连接GI(图略). 由(1)得四边形AFEH是正方形，EH∥AF，易知AF⊥平面ABCD，所以EH⊥平面ABCD， 因为CH⊂平面ABCD，所以EH⊥CH. 又CH＝＝，则EC＝＝，所以＝＝. 因为△BIH∽△DIC， 所以＝＝，即＝＝， 所以EH∥GI，所以GI⊥平面ABCD． 因为GI⊂平面BDG， 所以平面BDG⊥平面ABCD． 【素养小结】　(1)判定面面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理． (2)已知面面垂直时，解题一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，将问题转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． [对点训练] 如图，在四棱锥P­ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA＝AD＝2.四边形ABCD满足BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1.F为侧棱PC上的任意一点，且平面ADF与侧棱PB交于点E. (1)求证：平面EFP⊥平面PAB； (2)是否存在点F，使得直线AF与平面PCD垂直？若存在，写出证明过程并求出线段PF的长；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：因为BC∥AD，BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF，则BC∥平面ADF，又BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面ADF＝EF，则EF∥BC，所以EF∥AD．因为平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，平面PAC∩平面ABCD＝AC，PA⊂平面PAC，所以PA⊥平面ABCD，又AD⊂平面ABCD，得PA⊥AD，又因为AB⊥AD，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， 所以AD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB， 因为EF⊂平面EFP， 所以平面EFP⊥平面PAB． (2)存在点F，使得直线AF与平面PCD垂直． 当AF⊥PC时，AF⊥平面PCD，证明如下： 因为AB⊥AD，BC∥AD，AB＝BC＝1，AD＝2.所以AB2＋BC2＝AC2＝2，AC＝CD＝，AC2＋CD2＝AD2，得CD⊥AC， 又由PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以CD⊥平面PAC，又AF⊂平面PAC，得CD⊥AF. 又因为CD∩PC＝C，CD，PC⊂平面PCD， 所以AF⊥平面PCD． 在△PAC中，PA＝2，AC＝，∠PAC＝90°， 所以PC＝＝，AF＝＝，PF＝＝. 所以PC上存在点F使得直线AF与平面PCD垂直，此时线段PF的长为. 题型三　平行、垂直关系的综合应用 [例3] 如图，平面图形ABCD为菱形，CE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD且AF＝CE. (1)证明：直线DE∥平面ABF； (2)若平面DEF⊥平面BEF，求的值． 【解】　(1)证明：因为CE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，则CE∥AF， 因为CE⊄平面ABF，AF⊂平面ABF，所以CE∥平面ABF， 又因为四边形ABCD为菱形，则DC∥AB， 因为DC⊄平面ABF，AB⊂平面ABF，所以DC∥平面ABF， 又因为DC∩CE＝C，DC，CE⊂平面DCE， 所以平面DCE∥平面ABF， 因为DE⊂平面DCE，所以DE∥平面ABF. (2)因为CE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，CD，AD⊂平面ABCD，所以CE⊥CD，AF⊥AD， 则CE2＋CD2＝DE2，AF2＋AD2＝DF2， 又因为AD＝CD，CE＝AF，则DE＝DF，同理得BE＝BF，且易得DE＝BE＝DF＝BF，所以△DEF≌△BEF. 取EF中点为M，连接DM，BM， 所以DM⊥EF，DM＝BM， 因为平面DEF⊥平面BEF，平面DEF∩平面BEF＝EF，DM⊂平面DEF， 所以DM⊥平面BEF，又因为BM⊂平面BEF，所以DM⊥BM，所以△BDM为等腰直角三角形， 连接AC，记AC∩BD＝O，则MO∥AF， MO＝AF，又MO＝BD， 所以AF＝BD，即＝2. 【素养小结】　解决平行与垂直问题的两种转化 [对点训练] 如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，PB＝PA，M为AB的中点． (1)证明：AB⊥PC； (2)在线段PD上是否存在点N，使得PB∥平面MCN？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：连接PM，AC，由菱形ABCD内角∠ABC＝60°，得△ABC是正三角形，由M为AB的中点，得CM⊥AB，由PB＝PA，得PM⊥AB，而PM∩CM＝M，PM，CM⊂平面PCM，则AB⊥平面PCM，又PC⊂平面PCM，所以AB⊥PC． (2)存在．在PD上取点N，使PD＝3PN，连接BD，与CM交于点E，连接NE，如图所示，因为四边形ABCD为菱形，则AB∥CD，且AB＝CD，又因为M为AB中点，所以＝＝，则当＝＝时，PB∥EN，而EN⊂平面MCN，PB⊄平面MCN，因此PB∥平面MCN，即线段PD上存在点N，使得PB∥平面MCN，＝. 　　　　　　三垂线定理及其逆定理 (1)三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． (2)三垂线定理的逆定理：平面内的一条直线如果和该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 如图，若点P是平面α外一点，PA是平面α的斜线，交α于点A；过点P作平面α的垂线PO，垂足是O，直线OA是PA在平面α上的射影，则a⊥OA⇔a⊥PA． [典例] 已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，试判断平行四边形ABCD的形状． 【解】　由于PA⊥平面ABCD，则PC在平面ABCD内的射影是AC，又BD⊂平面ABCD，且PC⊥BD， 所以BD⊥AC， 又四边形ABCD是平行四边形， 所以平行四边形ABCD是菱形． 【素养小结】　利用三垂线定理及逆定理解题的关键 (1)找平面的垂线； (2)找平面的斜线及其在平面内的射影； (3)找平面内与斜线或斜线的射影垂直的直线； (4)得出结论． [尝试训练] 1.如图，PD⊥平面ABC，AC＝BC，D为AB的中点，求证：AB⊥PC． 证明：因为PD⊥平面ABC，所以DC为PC在平面ABC内的射影， 而在△ABC中，AC＝BC，D为AB的中点， 所以AB⊥CD． 所以由三垂线定理得AB⊥PC． 2．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥AC，AC＝AA1.求证：A1C⊥平面ABC1. 证明：在直三棱柱ABC­A1B1C1中，A1A⊥AB，又AB⊥AC，A1A∩AC＝A，A1A，AC⊂平面ACC1A1， 所以AB⊥平面ACC1A1，则斜线BC1在平面ACC1A1内的射影为AC1， 因为AC＝AA1，所以四边形ACC1A1为正方形，所以A1C⊥AC1且A1C⊂平面ACC1A1，由三垂线定理可得，A1C⊥BC1， 又BC1∩AC1＝C1，BC1，AC1⊂平面ABC1， 所以A1C⊥平面ABC1. 学科网（北京）股份有限公司 $