第7章 第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习讲义聚焦空间点、直线、平面位置关系核心考点，依据课标要求梳理四个基本事实、三个推论及线线、线面、面面位置关系，通过表格归纳位置关系符号表示，构建“定义-判定-性质”知识体系。教学流程涵盖考点梳理、题型精讲（如共面共线共点证明）、真题训练（含教材改编题），帮助学生突破空间想象与逻辑推理难点。 讲义突出数学眼光与思维培养，如用长方体模型直观认识位置关系，通过例1证明四点共面、三点共线训练逻辑推理，折展问题化曲为直渗透转化思想。设置选择、填空、解答分层练习，配合即时反馈，助力学生高效构建知识网络，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供系统支撑。

第3讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 课标要求　1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．　2.了解并能运用四个基本事实和一个定理、三个推论判断有关命题的真假，会解决一些简单的证明问题． 1．与平面有关的基本事实及推论 (1)四个基本事实 基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面． 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行． (2)三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 提醒　三点不一定能确定一个平面．当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在一条直线上的三点才能确定一个平面． 2．空间中直线与直线的位置关系 3．空间中直线、平面的位置关系 类别 位置关系 符号 直线 和平面 直线在平面内 a⊂α 直线在 平面外 直线与平面相交 a∩α＝A 直线与平面平行 a∥α 平面 和平面 两平面平行 α∥β 两平面相交 α∩β＝l 提醒　直线a和平面α相交、直线a和平面α平行统称为直线a在平面α外，记作a⊄α. 1．已知直线a，b，c，d，若a∥b，c∥d，b，c是异面直线，则a与d的位置关系为(　　) A．相交 B．异面 C．相交或异面 D．平行 解析：选C．由a∥b，b，c是异面直线，则a，c异面或相交，又c∥d，故a，d异面或相交． 2．(必修第二册P128T2改编)下列条件中，能够确定一个平面的是(　　) A．两个点 B．三个点 C．两条相交直线 D．一条直线和一个点 解析：选C．对于A，两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，所以两个点不能确定一个平面，A错误；对于B，三个不共线的点可以确定一个平面，若三个点共线，则不能确定一个平面，B错误；对于C，两条相交直线能确定一个平面，C正确；对于D，一条直线和这条直线外一点能确定一个平面，若这个点在直线上，则不能确定一个平面，D错误． 3．(多选)设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，下列说法正确的是(　　) A．若P∈a，P∈α，则a⊂α B．若a∩b＝P，b⊂β，则a⊂β C．若a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α，则b⊂α D．若α∩β＝b，P∈α，P∈β，则P∈b 解析：选CD．当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，故A错误；当a∩β＝P时，a⊄β，故B错误； 如图，因为a∥b，P∈b，所以P∉a，所以由直线a和点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，又β经过直线a和点P，所以β与α重合，所以b⊂α，故C正确；两个平面的公共点必在两个平面的交线上，故D正确． 4．已知A，B，C是直线l上的三点，点D，E不在l上，那么由A，B，C，D，E五点，最多可确定________个平面． 解析：不共线三点确定唯一平面，故由题意，A，B，C，D，E五点最多可形成平面ADE，平面BDE，平面CDE，平面ACD，平面ACE，共5个平面． 答案：5 5．如图，在三棱锥A­BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点． (1)当AC，BD满足条件__________时，四边形EFGH为菱形； (2)当AC，BD满足条件________________时，四边形EFGH为正方形． 解析：(1)由题意知，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，且EF＝HG＝AC，EH＝FG＝BD， 所以四边形EFGH为平行四边形， 因为四边形EFGH为菱形， 所以EF＝EH，所以AC＝BD． (2)由(1)知四边形EFGH为平行四边形， 因为四边形EFGH为正方形， 所以EF＝EH且EF⊥EH， 所以AC＝BD且AC⊥BD． 答案：(1)AC＝BD　(2)AC＝BD且AC⊥BD 常用 结论 1.异面直线的判定：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线． 2．几个唯一性结论 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直；(3)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 题型一　基本事实的应用 [例1] 已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线； (3)DE，BF，CC1三线交于一点． 【证明】　(1)如图所示，连接B1D1. 因为E，F分别是D1C1，C1B1的中点，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，B1D1∥BD， 所以EF∥BD， 所以EF，BD确定一个平面， 即D，B，F，E四点共面． (2)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设A1，C，C1确定的平面为α，平面DBFE为β. 因为Q∈A1C1，所以Q∈α. 又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点， 同理，P是α与β的公共点． 所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R， 所以R∈A1C，R∈α，且R∈β， 则R∈PQ，故P，Q，R三点共线． (3)因为EF∥BD且EF<BD， 所以DE与BF相交，设交点为M， 则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1， 得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1. 又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1， 所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三线交于一点． 【素养小结】　共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②证明两平面重合． (2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上． (3)证明共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． [对点训练] 如图，四边形ABCD为空间四边形，点E，F分别是AB，BC的中点，点G，H分别在CD，AD上，且DH＝AD，DG＝CD． (1)E，F，G，H四点是否共面？为什么？ (2)求证：EH，FG必相交且交点在直线BD上． 解：(1)E，F，G，H四点共面，理由如下： 如图，连接AC，EF，HG， 由E，F分别为AB，BC的中点，得EF∥AC， 又DH＝AD，DG＝CD，则HG∥AC， 所以EF∥HG，由直线EF，HG可以确定一个平面， 所以E，F，G，H四点共面． (2)证明：由DH＝AD，DG＝CD，易知HG＝AC，又E，F分别为AB，BC的中点， 即EF＝AC，所以HG≠EF， 结合(1)的结论可知，EF∥HG，则四边形EFGH是梯形，因此直线EH，FG不平行， 设EH∩FG＝P，因为EH⊂平面ABD，所以P∈平面ABD，同理P∈平面BCD， 又平面ABD∩平面BCD＝BD，因此P∈BD，即EH，FG必相交且交点在直线BD上． 题型二　空间中点、线、面位置关系的判断 1．若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，那么直线a，b的位置关系一定是(　　) A．无公共点 B．平行 C．异面 D．相交 解析：选A．由平面α∥平面β，得平面α，β无公共点，而直线a⊂α，直线b⊂β，所以直线a，b无公共点． 2．(多选)已知m，n为异面直线，m∥平面α，n∥平面β，α∩β＝l，则下列结论错误的是(　　) A．l与m，n都相交 B．l与m，n中至少一条相交 C．l与m，n都不相交 D．l与m，n中只有一条相交 解析：选ABD．假设l与m相交，因为α∩β＝l，所以l⊂α，则m与平面α相交或m⊂α，与m∥平面α矛盾，故l与m不相交，同理可证l与n也不相交，C正确，A，B，D错误． 3．若直线a∥平面α，直线b在平面α上，则直线a与b的位置关系是________． 解析：由直线a∥平面α得直线a与平面α没有公共点，由直线b在平面α上可知直线a与直线b没有公共点，故直线a与直线b的位置关系为平行或异面． 答案：平行或异面 4．如图，在正四棱台ABCD­A1B1C1D1的12条棱所在的直线及直线BD，A1C1，B1D1中，与直线AC是异面直线的直线共有________条． 解析：与直线AC是异面直线的直线有BB1，DD1，A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，B1D1，共7条． 答案：7 【素养小结】　空间中点、线、面位置关系的判定 (1)点、线、面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体模型直观感知并认识空间点、线、面的位置关系． (2)两条直线异面的判定：反证法或利用异面直线的判定定理． 题型三　几何体的折展问题 [例2] (1)如图为正方体的平面展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为(　　) A．1 B．3 C．4 D．5 (2)(2026·上海期中)如图几何体是圆锥PO的一部分，其中∠AOB＝120°，OA＝OB＝2，PO＝2.从点A出发沿曲面运动到B的最短路线的距离是________． 【解析】　(1)如图，AB和CD，AB和GH，EF和GH都是异面直线，有3对． (2)因为∠AOB＝120°＝，OA＝OB＝2，则PA＝＝4，所以劣弧即缺少的圆弧的长为×2＝，占底面圆周的， 圆O的周长为2π×2＝4π，即扇形的圆心角为＝π，则几何体所在的圆锥的侧面展开图如图， 所以侧面展开图中的长为4π－＝， 则∠APB＝＝， 所以AB2＝PA2＋PB2－2×PA×PB×cos ∠APB＝16＋16－2×4×4×(－)＝48， 所以AB＝4，则从点A出发沿曲面运动到B的最短路线的距离是4. 【答案】　(1)B　(2)4 【素养小结】　解决空间曲线或折线最短问题时，一般考虑几何体的侧面展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化． [对点训练] 1.如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，且AD＝3AE，BC＝3BF，设P，Q分别为线段AF，CE的中点，将四边形ABFE沿着直线EF进行翻折，使得点A不在平面CDEF上，在这一过程中，下列关系不能成立的是__________．(填序号) ①AB∥CD；②PQ∥ED；③PQ∥平面ADE. 解析：翻折之后如图所示，在题图中，因为AD＝3AE，BC＝3BF，所以AB∥EF∥CD，故①成立；连接FD，因为四边形CDEF为矩形，所以Q为FD的中点．又因为P为AF的中点， 连接PQ，所以PQ∥AD，又ED∩AD＝D，所以PQ与ED不平行，故②不成立；因为PQ∥AD，且PQ⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，所以PQ∥平面ADE，故③成立． 答案：② 2．圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4.已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路径长为________． 解析：设点P为圆台母线AB的中点，O1，O2分别为上、下底面的圆心，把圆台补形为圆锥，如图所示，则O1A＝1，O2B＝2，AB＝4，由O1A∥O2B，有SA＝4，SB＝8，SP＝6，圆锥底面半径O2B＝2，底面圆的周长为4π，母线长SB＝8，所以侧面展开图的扇形的圆心角为＝，即∠BSB′＝， 如图所示，质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则运动的最短路径为展开图弦PP′，∠PSP′＝，SP＝SP′＝6，则PP′＝6. 答案：6 学科网（北京）股份有限公司 $