第7章 第2讲 微专题——球的切、接问题 课后达标检测(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

**基本信息** 聚焦立体几何中球与几何体切接问题，通过补形转化、几何性质分析、方程思想构建解题体系，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |球与柱锥切接|8题（如1,2,6题）|正方体内切球半径公式、圆柱外接球轴截面勾股定理、分类讨论球心位置|从几何体棱长→截面几何关系→建立半径方程→求解体积表面积| |组合体与截面|4题（如3,5,14题）|补形法（三棱锥→长方体）、截面图形性质分析、相切条件转化|组合体结构→空间几何关系→转化为平面几何问题→利用三角函数/不等式求最值| |综合计算|2题（9,13题）|圆锥侧面展开图与外接球关系、正四棱柱表面积最大值的参数法|几何体基本量→球半径计算→体积表面积综合运算，渗透函数思想|

1．(2026·黄冈模拟)将一个棱长为10 cm的正方体铁块磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是(　　) A．底面半径为8 cm，高为10 cm的圆柱体 B．底面直径为8 cm，高为8 cm的圆锥体 C．半径为6 cm的球体 D．各棱长均为15 cm的四面体 解析：选B．由于正方体的棱长为10 cm，故圆柱或圆锥底面圆最大为正方体底面的内切圆，故半径最大为5 cm，圆柱或圆锥的高最大不超过10 cm，故A错误，B正确；正方体的内切球的半径为5 cm，为正方体内最大的球，故C错误；正方体的面对角线的长度为10 cm，故正四面体的棱长不超过10 cm，D错误． 2．已知圆柱的底面直径为2，它的两个底面的圆周都在同一个表面积为20π的球面上，该圆柱的体积为(　　) A．8π B．6π C．5π D．4π 解析：选D．球的表面积为4πR2＝20π，可得其半径R＝，圆柱的底面直径为2，半径为r＝1，在轴截面中，可知圆柱的高为h＝2＝4，所以圆柱的体积为πr2h＝4π. 3．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的(　　) 解析：选C．易知截面是一个非等边的等腰三角形，排除A，D；等腰三角形的底边是正三棱锥的一条棱，这条棱不可能与内切球有交点，所以排除B；而等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线，且经过内切球在两个面上的切点，故选C． 4．已知正四棱台的上、下底面边长分别为，2，该四棱台的所有顶点都在球O的球面上，且球心O是下底面的中心，则该四棱台的体积为(　　) A． B． C．4 D． 解析：选B．如图，正四棱台ABCD­A1B1C1D1，E，O分别为上、下底面的中心． 由题意知正四棱台的上、下底面边长分别为，2，则OB＝2，B1E＝1. 又因为该四棱台的所有顶点都在球O的球面上，且球心O是下底面的中心，可知OB1＝OB＝2，得OE＝＝，即正四棱台的高为. 又上底面的面积S1＝()2＝2，下底面的面积S2＝(2)2＝8，则该四棱台的体积为V＝(S1＋S2＋)OE＝×(2＋8＋)×＝. 5．(2026·滨海模拟)如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为r.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a，则＝(　　) A．2＋ B．2－ C．(＋1) D．(－1) 解析：选D．设储物盒所在球的半径为R，如图， 小球最大半径r满足(＋1)r＝R，所以r＝＝(－1)R，正方体的最大棱长a满足(a)2＋()2＝R2，解得a＝R，所以＝＝(－1). 6．(多选)已知正四棱锥P­ABCD的底面边长为2，外接球的表面积为20π，则正四棱锥P­ABCD的高可能是(　　) A．＋1 B．－1 C．＋ D．－ 解析：选CD．依题意外接球的球心可能在四棱锥内部，也可能在四棱锥外部． 如图1，当球心在四棱锥内部时，设O1是正方形ABCD的中心，O是外接球的球心，因为P­ABCD是正四棱锥，所以PO1⊥平面ABCD，BO1＝， 设外接球的半径为R，则BO＝PO＝R，4πR2＝20π，R＝， 在Rt△BOO1中，OO1＝＝，PO1＝PO＋OO1＝＋； 如图2，当球心在四棱锥外部时，PO1＝PO－OO1＝－. 7．(2026·云南期中)如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥AD，AB＝BD＝，CD＝3，则该三棱锥的外接球的表面积为__________． 解析：因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD， 所以CD⊥AB， 又CD⊥AD，AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABD，所以CD⊥平面ABD, BD⊂平面ABD，所以CD⊥BD，又AB＝BD＝，CD＝3，如图所示将该三棱锥补形成长方体，则该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，则外接球的半径为 R＝＝，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πR2＝13π. 答案：13π 8．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的表面积是________． 解析：设题中正四面体为ABCD，将它放置于正方体内，使BD，AC位于上、下底面的面对角线处，如图所示，由正方体的性质可得，该正方体的内切球恰好与正四面体的六条棱都相切，设该正方体的棱长为x，因为正四面体的棱长为a，所以x＝a，解得x＝a，可得正方体的内切球直径2r＝a，得r＝a，故球的表面积为4πr2＝4π×＝a2. 答案：a2 9．(13分)如图，△BCD是圆锥底面圆的内接三角形，BD＝4，cos ∠BCD＝，PA为圆锥的母线，且圆锥的侧面展开图是一个半圆． (1)求圆锥的外接球的表面积；(7分) (2)用平行于底面的平面截去圆锥的上半部分，若剩下的圆台有内切球，求圆台的体积．(6分) 解：(1)设底面圆心为O，半径为r1，因为cos ∠BCD＝，所以sin ∠BCD＝.由正弦定理可知2r1＝＝4，则r1＝2. 又圆锥的侧面展开图是半圆，所以2πr1＝π·PA，所以PA＝4， 所以圆锥的高h＝＝6. 设圆锥外接球的半径为R，则(6－R)2＋12＝R2，解得R＝4， 所以外接球的表面积为4πR2＝64π. (2)设圆台的上底面半径为r2，内切球的半径为r， 由图根据三角形相似可知，＝， 解得r2＝，故r＝2， 所以圆台的体积为V＝×4×(π＋12π＋4π)＝π. 10．已知正三棱台ABC­A1B1C1上、下底面边长分别为，2，高为1，则正三棱台ABC­A1B1C1外接球的体积为(　　) A．20π B． C． D． 解析：选C．如图，设正三棱台ABC­A1B1C1的上、下底面的中心分别为O1，O，由正三棱台的几何性质可知，外接球球心E在直线OO1上， 正三角形ABC的外接圆半径为OA＝＝2，正三角形A1B1C1的外接圆半径为O1A1＝＝1， 设OE＝d，若球心在线段OO1上，则0＜d＜1，O1E＝1－d， 设球E的半径为R，则R2＝OA2＋d2＝O1A＋(1－d)2， 即4＋d2＝1＋(1－d)2，解得d＝－1，不符合题意； 所以球心E在射线O1O上，则O1E＝d＋1， R2＝OA2＋d2＝O1A＋(1＋d)2，即4＋d2＝1＋(d＋1)2，解得d＝1. 所以R2＝4＋1＝5，即R＝， 故该正三棱台的外接球的体积为V＝πR3＝. 11．(多选)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的边长为2，体对角线的中点为O.则(　　) A．若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的最大值是 B．若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的最小值是 C．若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的体积的最大值是4π D．若该正方体的面与球O的球面没有公共点，则球O表面积的取值范围是(0，π) 解析：选BC．若该正方体的棱与球O的球面有公共点，当球为正方体的外接球时，球的半径最大，正方体体对角线是＝2，即外接球半径是，此时球的体积为×()3＝4π，故A错误，C正确； 当球O和每条棱相切时，球的半径最小，如图，过O作OH⊥AB，垂足为H，此时最短半径OH＝＝＝，故B正确；球O的半径满足R＞时，也可保证和正方体的面无交点，球的表面积可以无穷大，故D错误． 12．(2026·镇江模拟)已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为平面四边形，PD＝2，AB＝2AC＝2，∠BDC＝，则球O的表面积为________． 解析：因为四边形ABCD为平面四边形，且在同一个球面上，所以A，B，C，D四点共圆，所以∠BAC＝∠BDC＝， 在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos ∠BAC＝4＋1－2×2×1×＝3， 所以BC2＋AC2＝4＝AB2， 所以∠ACB＝， 所以∠ACB＝∠ADB＝， 所以四边形ABCD的外接圆的圆心为AB的中点，设AB的中点为O1，四边形ABCD外接圆半径为r，则r＝AB＝1， 过O1作平面ABCD的垂线， 所以四棱锥P­ABCD外接球的球心在过O1与平面ABCD垂直的直线上， 设球O的半径为R，过O作OM⊥PD，连接OP，OD，O1D， 则OP＝OD＝R，PM＝DM＝PD＝1， 因为PD⊥平面ABCD，OO1⊥平面ABCD， 所以PD∥OO1， 因为PD⊥平面ABCD，O1D⊂平面ABCD， 所以PD⊥O1D， 所以四边形O1DMO为矩形， 所以O1D＝OM＝1， 所以R2＝OM2＋DM2＝1＋1＝2， 所以球O的表面积为4πR2＝8π. 答案：8π 13．(15分)(2026·上海期末)如图，半球内有一内接正四棱柱(即正四棱柱的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球面上). (1)若正四棱柱的各棱长均为(即为正方体)，求半球的表面积和体积；(6分) (2)若半球的底面圆的半径为10，求正四棱柱表面积的最大值．(9分) 解：(1)依题意，半球内接正方体的下底面中心为半球底面圆圆心，而正方体下底面的外接圆半径为×＝， 因此半球的半径R＝＝3， 所以半球表面积S＝πR2＋2πR2＝3π×32＝27π，体积V＝·πR3＝18π. (2)设半球内接正四棱柱的底边长为2a，高为b，依题意，(a)2＋b2＝102，即2a2＋b2＝100，令0<θ<， 该正四棱柱的表面积S′＝2·(2a)2＋4·2ab＝8a2＋8ab＝8·(5cos θ)2＋8·5cos θ·10sin θ＝400·＋400·＝200·(sin 2θ＋cos 2θ＋1)＝200[sin (2θ＋φ)＋1]，其中sin φ＝，cos φ＝， 则当2θ＋φ＝时，Smax′＝200(＋1)， 所以正四棱柱表面积的最大值为200(＋1). 14．如图为某水晶工艺品示意图，该工艺品由一个半径为R的大球放置在底面半径和高均为R的圆柱内，球与圆柱下底面相切．为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放入若干个大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品最多可放入__________个小球． 解析：如图，过球心与圆柱底面圆心的平面截得该图形的平面图， 球的半径为R，设实心小球的半径为r，则GH＝GF＝HC＝GD＝R，∠GCH＝∠GFE＝45°，所以 解得R＝(3＋2)r. 因为小球球心在以J为圆心，JI为半径的圆上，JI＝GI·cos 45°＝(R＋r)， 圆J的周长为2π·JI＝π(R＋r). 设该工艺品可放置小球数量为n， 则2r·n<π(R＋r)， 即n<＝＝(2＋2)π≈15.16， 所以该工艺品最多可放入15个小球． 答案：15 学科网（北京）股份有限公司 $