第7章 第1讲 基本立体图形及其表面积与体积(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学讲义聚焦立体几何核心考点，系统梳理柱锥台球及组合体的结构特征、表面积体积公式和直观图画法，按“结构特征—公式应用—解题方法”逻辑架构知识体系。通过考点清单梳理、题型分类精讲、真题案例解析和方法规律总结，帮助学生构建立体几何认知框架，突破空间想象与运算难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以数学眼光培养空间观念，如通过多面体与旋转体结构特征辨析题，引导学生抽象几何属性；以数学思维提升解题能力，如体积计算中渗透等积法、割补法，训练推理与转化能力。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合课标真题应用，确保高效复习，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第1讲　基本立体图形及其表面积与体积 课标要求　1.掌握柱体、锥体、台体、球及简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．　2.知道球、棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥和圆台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．　3.能用斜二测画法画出简单空间几何体(球、柱体、锥体、台体及其简单组合体)的直观图． 1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 提醒　常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系： (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 提醒　(1)球的任何截面都是圆面；(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r＝ . 2．直观图 (1)画法：常用斜二测画法． (2)规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴与y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半． 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r′＋r)l 4.柱体、锥体、台体、球的表面积和体积 名称 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥体 (棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台体 (棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 提醒　几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和． 1．若球的表面积扩大到原来的4倍，那么该球的体积扩大到原来的(　　) A．64倍 B．32倍 C．16倍 D．8倍 解析：选D．设扩大前、后球的半径分别为r2，r1，由表面积之比为＝＝()2＝4，得＝2，则体积之比为＝＝()3＝23＝8. 2．(必修第二册P109T2改编)用斜二测画法画一个边长为4的正三角形的直观图，则直观图的面积是(　　) A． B．2 C．2 D．4 解析：选A．根据斜二测画法的特征，可得底不变，为4，高为××＝， 所以直观图的面积是×4×＝. 3．(多选)下列说法不正确的有(　　) A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B．以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 C．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 D．过圆锥顶点的截面中，轴截面面积最大 解析：选ACD．斜四棱柱也可能有两个侧面是矩形，故A不正确；由圆锥的概念可知，B正确；只有当这两点的连线平行于轴时才是母线，故C不正确；过圆锥顶点的截面中，是否是轴截面面积最大，取决于截面三角形的顶角是否小于90°，故D不正确． 4．(2025·上海卷)如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，BD＝4，DB1＝9，则该正四棱柱的体积为________． 解析：因为BD＝4且四边形ABCD为正方形，故BA＝4，而DB1＝9，故BB＋BD2＝81，故BB1＝7，故所求体积为7×4×4＝112. 答案：112 5．已知一个圆锥的底面半径为4，用一个平行于该圆锥底面的平面截圆锥，若截得的小圆锥的底面半径为2，则截得的小圆锥的侧面积与截得的圆台的侧面积之比为________． 解析：如图所示，OA＝4，O1B＝2，设PB＝l，由Rt△PO1B∽Rt△POA，得PA＝2l，故截得的小圆锥的侧面积为S1＝×2π×2×l＝2πl，截得的圆台的侧面积为S2＝×2π×4×2l－2πl＝6πl，所以S1∶S2＝1∶3，故截得的小圆锥的侧面积与截得的圆台的侧面积之比为1∶3. 答案：1∶3 常用 结论 1.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系 (1)S直观图＝S原图形；(2)S原图形＝2S直观图． 2．底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理). 题型一　基本立体图形 考向1　结构特征 [例1] (多选)下列说法正确的是(　　) A．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 B．通过圆台侧面一点，有无数条母线 C．过圆锥顶点截圆锥所得的截面图形都是等腰三角形 D．正四棱柱都是长方体 【解析】　对于A，因为棱锥都是由一个多边形的底面和另外多个有一个公共顶点的三角形构成，依题意平行四边形所在的面必是底面，故它一定是四棱锥，故A正确；对于B，因为圆台可由圆锥用平行于底面的平面截得，而圆锥的母线是连接圆锥顶点与底面圆上一点的连线，所以经过圆台侧面一点，有且只有一条母线，故B错误；对于C，因为过圆锥顶点截圆锥所得的截面图形是由两条母线和底面圆的一条弦构成的三角形，故它一定是等腰三角形，故C正确；对于D，因为正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱都是长方体，故D正确． 【答案】　ACD 【素养小结】　空间几何体结构特征的判断技巧 (1)熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定． (2)通过反例对空间几何体的结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举出一个反例即可． 考向2　直观图 [例2] 如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图，若△O′A′B′是边长为3的等边三角形，则△OAB的面积为(　　) A． B． C． D． 【解析】　如图，过点A′作A′C′∥x′轴，并与y′轴交于点C′，则∠O′A′C′＝120°，∠A′C′O′＝45°，O′A′＝3，则＝，得O′C′＝，则△OAB的高为3，面积为×3×3＝. 【答案】　B 【素养小结】　在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半． [对点训练] 1.(多选)下列命题中为假命题的有(　　) A．圆台的侧面展开图是一个扇形 B．用任意一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台 C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体是棱柱 D．五棱柱共有10个顶点，5条侧棱 解析：选AB．对于A，圆台的侧面展开图是一个扇环，A为假命题；对于B，只有用平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分才为棱台，B为假命题；对于C，由棱柱的定义知，C为真命题；对于D，五棱柱共有10个顶点，5条侧棱，D为真命题． 2．如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A′B′C′D′，已知A′O′＝O′B′＝1，B′C′＝1，则四边形ABCD的周长为__________． 解析：由题可知，原四边形中AB＝CD＝A′B′＝C′D′＝2且AB∥CD， 所以原四边形ABCD为平行四边形， 而O′C′＝，则原四边形中OC＝2，且OC⊥AB，故AD＝BC＝＝3， 综上，四边形ABCD的周长为AB＋CD＋AD＋BC＝10. 答案：10 题型二　空间几何体的表面积 1．若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为(　　) A．4 B．8 C．12 D．24 解析：选D．如图，PO是正四棱锥的高，所以PO＝，PE是△PBC的高，由各侧面的面积之和是底面积的2倍可得4×BC·PE＝2BC2，所以BC＝PE， 在Rt△POE中，PO＝，OE＝BC＝PE，所以6＋()2＝PE2，所以PE＝2，底面积S1＝BC2＝PE2＝8，侧面积为S2＝2S1＝16，表面积S＝S1＋S2＝8＋16＝24. 2．如图，圆锥的底面直径和高均是2，过PO的中点O′作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下的几何体的表面积为(　　) A．π B．(＋1)π C．(＋2)π D．(＋3)π 解析：选C．底面挖去一个圆柱，剩下的几何体的表面积等于圆锥的表面积加上圆柱的侧面积，其中圆锥的底面直径和高均是2，故r＝1，l＝＝，故圆锥的侧面积为πrl＝π，底面积为πr2＝π，圆柱的高为1，底面圆半径为，故侧面积为2π××1＝π，故剩下的几何体的表面积为π＋π＋π＝(＋2)π. 3．(2026·汉中模拟)如图，将棱长为2的正方体六个面的中心连线，可得到八面体EABCDF，则该八面体的表面积为________． 解析：由题意得，八面体EABCDF是由八个边长为×2＝的等边三角形所组成的，故所求表面积为S＝8××()2＝4. 答案：4 4．某厂生产一批圆台形台灯灯罩，灯罩的上、下底面都是空的，圆台两个底面半径之比为1∶2，高为16 cm，母线长为20 cm，如果要对100个这样的台灯灯罩外表面涂一层防潮涂料，每平方米需要100克涂料，则共需涂料________克． 解析：作圆台的轴截面如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，取上、下底面的中心分别为E，F，再取AF中点G，连接EG， 因为DE＝AG，DE∥AG，所以四边形AGED为平行四边形，所以EG＝AD＝20 cm，EF＝16 cm，所以GF＝DE＝12 cm. 所以AF＝24 cm，所以灯罩的外表面面积为π×(12＋24)×20＝720π cm2. 所以100个灯罩的外表面面积为100×720π cm2＝7.2π m2. 又每平方米需要100克涂料，所以共需涂料7.2π×100＝720π克． 答案：720π 【素养小结】　几何体表面积的类型及求解方法 求多面体 的表面积 将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积 求旋转体 的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系 求不规则 几何体的 表面积 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给不规则几何体的表面积 题型三　空间几何体的体积 考向1　公式法 [例3] 已知某圆柱与某圆锥的母线长均为6，且圆柱的底面半径是圆锥底面半径的2倍，若圆柱的体积为96π，则圆锥的体积为________． 【解析】　设圆锥的底面半径为r，则圆柱的底面半径为2r.因为圆柱的母线长为6，故圆柱的高为6.而圆柱的体积为96π，因此6π(2r)2＝96π，解得r＝2.故圆锥的高h＝＝4，可知其体积V＝πr2h＝π. 【答案】　π 【素养小结】　熟悉各种简单几何体，牢记柱体、锥体、台体的体积公式是利用公式求几何体体积的关键． 考向2　等积法 [例4] (1)(2026·永州模拟)已知三棱柱ABC­A1B1C1的体积为1，P点为四边形BB1C1C的中心，则四面体A1­B1PB的体积与三棱柱ABC­A1B1C1的体积比为________． (2)已知在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P是棱AC上一点，则点P到平面A1C1D的距离为________． 【解析】　(1)由题意有S＝S， 所以V＝V＝×V＝V， 所以＝. (2) 如图，易知AC∥A1C1，而A1C1⊂平面A1C1D，AC⊄平面A1C1D，则AC∥平面A1C1D，则要求点P到平面A1C1D的距离即为求点A到平面A1C1D的距离，设为d， 由V＝V，得××2×2×d＝××2×2×2，解得d＝，即点P到平面A1C1D的距离为. 【答案】　(1) 　(2) 【素养小结】　利用三棱锥的“等积法”计算体积时，可以任取一个面作为三棱锥的底面，关键是所选取的三棱锥的顶点到底面的距离可求或易求；利用“等积法”还可以求“点到面的距离”，甚至可求“线到面的距离”“面到面的距离”，充分体现了数学的转化思想． 考向3　割补法 [例5] (1)(2024·天津卷)一个五面体ABC­DEF.已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为(　　) A． B．＋ C． D．－ (2)如图所示， 已知多面体ABCDEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为________． 【解析】　(1)方法一(补形法)：用一个完全相同的五面体A′B′C′－D′E′F′与该五面体相接，使D与F′，E与E′，F与D′重合，则形成的新组合体ABC－C′B′A′为一个三棱柱，该三棱柱的体积等于底面边长为1，侧棱长为4的直三棱柱的体积，故该五面体的体积V＝××12×4＝. 方法二(分割法)：因为AD，BE，CF两两平行，且两两之间距离为1，则该五面体可以分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥，其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体积，四棱锥的高为，底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形，故该五面体的体积V＝×1××1＋××＝. (2)方法一(分割法)：因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C作CH⊥DG于点H，连接EH，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH­ABC和一个斜三棱柱BEF­CHG.由题意知，V三棱柱DEH-ABC＝S△DEH×AD＝(×2×1)×2＝2，V三棱柱BEF-CHG＝S△BEF×DE＝(×2×1)×2＝2.故所求几何体的体积为V＝2＋2＝4. 法二(补形法)：因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积为该正方体体积的.又正方体的体积V正方体ABHI-DEKG＝23＝8，故所求几何体的体积为V＝×8＝4. 【答案】　(1)C　(2)4 【素养小结】　对于一些不规则几何体通过分割或补形，将原几何体分割或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积． [对点训练] 1.已知圆台的上、下底面面积分别为36π和49π，其侧面积为13π，则圆台的体积为(　　) A．π B．π C．254π D．127π 解析：选A．设圆台的上、下底面的半径分别为r，R，母线长为l，高为h，由圆台的上、下底面面积分别为36π和49π，得解得 由圆台侧面积公式可得π×(6＋7)l＝13π， 所以l＝，所以h＝＝2， 所以该圆台的体积V＝πh(R2＋r2＋Rr)＝π×2×(49＋36＋42)＝π. 2．(2026·上海期中)如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径(即杯口直径)6 cm，高8 cm(不含杯脚)，已知水的高度是4 cm，现往杯子中放入一种直径为1 cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变；如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠(　　) A．63颗 B．126颗 C．378颗 D．504颗 解析：选B．作出轴截面如图所示，由题意得OP＝8，O1P＝4，OA＝3， 设O1A1＝x，则＝，解得x＝，则最大放入珍珠的体积为V＝π×32×8－π×2×4＝21π cm3， 一颗珍珠的体积是π×3＝π cm3，由＝126，可知最多可以放入珍珠126颗． 3．与圆柱底面成45°角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为3，最小值为1，则该几何体的体积为________． 解析：用一个同样的几何体， 按如图所示补形为圆柱， 则该几何体的体积为圆柱体积的， 所以V＝×π×12×(3＋1)＝2π. 答案：2π 学科网（北京）股份有限公司 $