第6章 周测十一(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

**基本信息** 聚焦数列核心素养，以等差等比性质为基础，通过递推转化与综合应用，系统训练数学推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质应用|6选择（1-6）|等差中项、等比基本量计算、周期判断|从定义到性质，构建概念-性质应用链条| |递推关系转化|3填空（9-11）|构造等比数列、Sn与an关系转化|递推式→新数列→通项公式的推导逻辑| |综合应用|3解答（12-14）|分组求和、错位相减、比较大小|数列与函数、不等式结合，体现数学思维的综合性|

周测十一 (满分：100分　时间：80分钟) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知{an}为等差数列，若a2＋a6＋a10＝π，则tan (a3＋a9)的值为(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选C．因为{an}为等差数列，且a2＋a6＋a10＝π，由等差数列的性质得a2＋a6＋a10＝3a6，所以a6＝，所以a3＋a9＝2a6＝，故tan (a3＋a9)＝tan ＝－. 2．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4＝4a3－4a2，则＝(　　) A．3 B．5 C．－3 D．－5 解析：选A．设{an}的公比为q(q≠0)，由题意得a1q3＝4a1q2－4a1q，即 q2＝4q－4，解得q＝2，所以＝＝＝3. 3．已知数列{an}中，a1＝b(b＞0)，an＋1＝－(n∈N*)，则能使an＝b的n的数值是(　　) A．14 B．15 C．16 D．17 解析：选C．由题意该数列的前4项为b，－，－＝－，－＝b， 所以数列{an}是周期为3的周期数列，能使an＝b的n的数值是1，4，7，10，13，16，19，…，对比选项可知，只有C正确． 4．在等比数列{an}中，a3，a7是函数f(x)＝x3＋4x2＋9x－1的极值点，则a5＝(　　) A．3 B．－3 C．－4 D．4 解析：选B．由f(x)＝x3＋4x2＋9x－1可得f′(x)＝x2＋8x＋9， 因为a3，a7是函数f(x)的极值点， 由根与系数的关系可得a3＋a7＝－8＜0，a3a7＝9＞0，所以a3＜0，a7＜0，因为等比数列奇数项同号，则a5＜0，由等比数列的性质可知a＝a3a7＝9，则a5＝－3. 5．(2026·济南模拟)若数列{an}的各项均为正数，则“{an}为等比数列”是“{ln an}为等差数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C．数列{an}中，an＞0， 数列{an}为等比数列，令其公比为q(q＞0)，则an＝a1qn-1，ln an＝ln a1＋(n－1)ln q， ln an＋1－ln an＝ln q为常数，因此数列{ln an}为等差数列； 反之，{ln an}为等差数列，令其公差为d，则ln an＋1－ln an＝d，即＝ed为常数，且ed>0，因此数列{an}为等比数列， 所以“{an}为等比数列”是“{ln an}为等差数列”的充要条件． 6．在等比数列{an}中，a1＋a3＝，a2＋a4＝，则当a1a2·…·an取得最小值时，n＝(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 解析：选A．设等比数列{an}的公比为q，则解得 故an＝×2n-1＝，所以an＞0，且{an}是递增数列． 由an＝≤1可得2n-2≤155，可得n－2≤7，解得n≤9，所以当1≤n≤9时，0＜an＜1，当n≥10时，an＞1， 所以当a1a2·…·an取得最小值时，n＝9. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且an＋1＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)，则(　　) A．a2＝2 B．an＝2n-1 C．S2＝2 D．Sn＝2n-1 解析：选CD．已知an＋1＝a1＋a2＋…＋an＝Sn，则a2＝a1＝1，所以A错误； 由an＋1＝a1＋a2＋…＋an＝Sn，可得an＋2＝Sn＋1，可得an＋2－an＋1＝Sn＋1－Sn＝an＋1，即an＋2＝2an＋1， 当n＝1时，a3＝2a2，即数列{an}自第二项开始是以1为首项，2为公比的等比数列，即an＝所以B错误； S2＝a1＋a2＝1＋1＝2，所以C正确， 当n≥2，n∈N*时，Sn＝1＋20＋21＋…＋2n-2＝1＋＝2n-1，当n＝1时，S1＝1，满足上式，所以Sn＝2n-1，所以D正确． 8．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S9＝a5＋a12，a1＞0，则以下结论一定正确的是(　　) A．公差d＜0 B．S2＝S5 C．|a1|＞|a9| D．Sn取得最大值时，n＝3 解析：选AB．对于A，由S9＝a5＋a12，得9a1＋36d＝a1＋4d＋a1＋11d，即a1＝－3d， 又a1＞0，所以d＝－a1＜0，A正确； 对于B，由S2＝2a1＋d＝2a1－a1＝a1，S5＝5a1＋10d＝5a1－a1＝a1，得S2＝S5，B正确； 对于C，由a9＝a1＋8d＝a1－a1＝－a1，得|a9|＝a1，又a1＞0，所以|a1|＝a1<|a9|＝a1，C错误； 对于D，an＝a1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)·＝a1，令an＜0，得－n＋＜0，解得n＞4，又n∈N*，所以n≥5，所以当n≤3时，an＞0，a4＝0，当n≥5时，an＜0，所以Sn取得最大值时，n＝3或n＝4，D错误． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝2an－1＋1，则{an}的通项公式为an＝________． 解析：当n≥2时，an＝2an－1＋1，故an＋1＝2an－1＋2＝2(an－1＋1)，其中a1＋1＝2，故{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＋1＝2×2n-1＝2n，所以an＝2n－1. 答案：2n－1 10．(2026·扬州期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＝nan＋1－2n(n＋1)(n∈N*)，则Sn＝________． 解析：由Sn＝nan＋1－2n(n＋1)(n∈N*)，可得Sn＝n(Sn＋1－Sn)－2n(n＋1)(n∈N*)，故(n＋1)Sn＝nSn＋1－2n(n＋1)， 即－＝2，又S1＝a1＝2，则＝2， 故是首项为2，公差为2的等差数列， 故＝2n，故Sn＝2n2. 答案：2n2 11．(2026·衡阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，Sn＝an＋1－2n+1，则an＝________． 解析：因为Sn＝an＋1－2n+1，Sn－1＝an－2n(n≥2)，两式相减得Sn－Sn－1＝(an＋1－2n+1)－(an－2n)，即an＋1＝2an＋2n. 等式两边同时除以2n+1可得－＝(n≥2)，又S1＝a2－22＝2，得a2＝6， 满足－＝， 所以数列是首项为＝1，公差为的等差数列，故＝1＋＝，即an＝(n＋1)2n-1. 答案：(n＋1)2n-1 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，且a3＝5，S5＝3S3－2. (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)设bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Tn.(7分) 解：(1)设{an}的公差为d，因为a3＝5，所以a1＋2d＝5， 因为S5＝3S3－2，所以5a1＋d＝3×－2， 解得a1＝1，d＝2，故an＝1＋2(n－1)＝2n－1. (2)因为bn＝2an，所以bn＝22n-1，而bn＋1＝22(n+1)-1＝22n+1，则＝＝4，且b1＝2， 可得{bn}是首项为2，公比为4的等比数列，故Tn＝＝×(4n－1). 13．(本小题满分15分)设数列{an}的前n项和为Sn，已知S1＝1，当n≥2时，2Sn－1＝an－1. (1)求证：为等比数列；(6分) (2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.(9分) 解：(1)证明：因为当n≥2时，2Sn－1＝an－1，Sn－Sn－1＝an，所以当n≥2时，2Sn－1＝Sn－Sn－1－1，即Sn＝3Sn－1＋1所以Sn＋＝3，因为S1＝1，S1＋＝，＝3(n≥2)，所以为等比数列． (2)由(1)知Sn＋＝·3n-1＝·3n，所以Sn＝.所以当n≥2时an＝Sn－Sn－1＝－＝3n-1，当n＝1时，a1＝S1＝1满足an＝3n-1，所以an＝3n-1，n∈N*，所以bn＝＝，n∈N*，令cn＝3n-1－3n，c1＝－2，c2＝－3，c3＝0，当n≥3时，cn＋1－cn＝3n－3(n＋1)－(3n-1－3n)＝2×3n-1－3≥2×33-1－3＝15>0，所以，当n≥3时，3n-1≥3n，bn＝3n-1－3n，n≥3，又b1＝2，b2＝3，所以T1＝2，T2＝5，当n≥3时，Tn＝－＋10＝， 所以Tn＝ 14．(本小题满分15分)已知等差数列{an}中，a2＝3，公差d≠0；等比数列{bn}中，b3＝a1，b1是a2和a3的等差中项，b2是a1和a2的等差中项． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(5分) (2)求数列{an＋bn}的前n项和Sn；(5分) (3)记cn＝anbn，比较cn＋1与cn的大小．(5分) 解：(1)因为a2＝3， 依题意 故b2＝，b1＝，由b＝b1b3得d2－2d＝0，解得d＝0或d＝2， 因为d≠0，所以d＝2，a1＝3－2＝1， 故an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1， 其中b2＝＝2，b1＝＝4， 故等比数列{bn}的公比q＝， 所以bn＝4·. (2)an＋bn＝2n－1＋4·， 故Sn＝a1＋b1＋a2＋b2＋…＋an＋bn＝1＋3＋…＋2n－1＋4＋2＋…＋4· ＝＋＝n2＋8－. (3)cn＝anbn＝，cn＋1＝. 所以cn＋1－cn＝－＝， 当n＝1时，c2－c1＞0，当n≥2时，cn＋1－cn＜0， 所以c2>c1，当n≥2时，cn＋1＜cn. 学科网（北京）股份有限公司 $