第6章 周测十二(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

**基本信息** 聚焦数列求和与递推关系，通过分层题型系统训练分组求和、错位相减等方法，强化逻辑推理与数学运算素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|9题|分组求和、周期分析、错位相减、公共项求解|从通项公式推导到前n项和计算，构建"概念-性质-应用"逻辑链| |解答题|3题|构造等差数列、导数不等式恒成立、隔数列定义应用|融合函数与数列知识，体现知识迁移与综合应用能力|

周测十二 (满分：100分　时间：80分钟) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．数列{2n＋2n－1}的前100项和S100＝(　　) A．2100＋9 998 B．2101＋9 998 C．2100＋10 002 D．2101＋10 002 解析：选B．{2n＋2n－1}的前100项和S100＝(2＋22＋…＋2100)＋(1＋3＋5＋…＋199)＝＋＝2101＋9 998. 2．已知Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝2，an＋1＝，则S1 314的值为(　　) A．655 B．656 C．657 D．658 解析：选C．由题意可得，a2＝＝＝－1，a3＝＝＝，a4＝＝＝2，则数列{an}是以3为周期的周期数列，且a1＋a2＋a3＝2－1＋＝，因为1 314＝438×3，所以S1 314＝438(a1＋a2＋a3)＝438×＝657. 3．已知数列{an}的前n项和Sn＝5，前n项积记为Tn，当Tn取最大值时，n的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：选C．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝5×－5×＝90·，又a1＝S1＝5×(9－3)＝30，满足上式，故an＝90·，又＝<1，故数列{an}为递减数列，又a4＝>1，a5＝<1，故当n≤4时，an>1；当n≥5时，an<1，故当Tn取最大值时，n的值为4. 4．已知数列{an}中，an＝1＋，则S＝a1＋a2＋…＋a95＋a96＝(　　) A．96 B．97 C．98 D．99 解析：选A．an＝1＋＝，所以S＝a1＋a2＋…＋a95＋a96＝＋＋…＋＋，S＝a96＋a95＋…＋a2＋a1＝＋＋…＋＋，两式相加可得2S＝(a96＋a1)＋(a95＋a2)＋…＋(a2＋a95)＋(a1＋a96)＝96×2，所以S＝96. 5．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝3n－1和bn＝4n－3(n∈N*)，设这两个数列的公共项构成集合A，则集合A∩{n|n≤2 027，n∈N*}中元素的个数为(　　) A．161 B．166 C．169 D．172 解析：选C．依题意，令am＝bk，m，k∈N*，即3m－1＝4k－3，整理得m＝(k－1)＋，因此k＋1是3的正整数倍，令k＋1＝3n，n∈N*，即k＝3n－1，设数列{an}，{bn}的公共项构成的数列为{cn}，则cn＝b3n－1＝4(3n－1)－3＝12n－7，由12n－7≤2 027，得n≤169，所以集合A∩{n|n≤2 027，n∈N*}中元素的个数为169. 6．已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝2，an＋1＝2(an＋2n)，不等式2λan－S2n＋1－128n＋2≤0对任意的n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围为(　　) A．(－∞，32] B．(－∞，16] C．[32，＋∞) D．(－∞，8] 解析：选A．因为an＋1＝2(an＋2n)，所以－＝1，又a1＝2，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以＝n，所以an＝n×2n， 所以Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，① 所以2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n+1，② ①－②得，－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n+1＝－n×2n+1＝(1－n)×2n+1－2，所以Sn＝(n－1)×2n+1＋2，所以不等式2λan－S2n＋1－128n＋2≤0， 即2λn×2n－2n×22n+2－2－128n＋2≤0， 故λ≤2n+2＋对任意的n∈N*恒成立． 又2n+2＋≥2 ＝32，当且仅当2n+2＝，即n＝2时等号成立，所以λ≤32. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．在数列{an}中，a1＝a，an＋an＋1＝3n＋1，数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的是(　　) A．若a＝2，则a4＝8 B．{a2n}是等差数列 C．S20＝300 D．若S31＝748，则a＝13 解析：选BD．对于A，当a＝2时，a1＝2，因为an＋an＋1＝3n＋1，则a2＝2，a3＝5，a4＝5，故A错误； 对于B，因为an＋an＋1＝3n＋1，所以an＋1＋an＋2＝3n＋4，两式相减得an＋2－an＝3， 令n＝2k(k∈N*)，则a2k＋2－a2k＝3，且a2＝4－a为常数， 所以{a2n}是以4－a为首项，3为公差的等差数列，故B正确； 对于C，因为an＋an＋1＝3n＋1，得到a1＋a2＝4，a3＋a4＝10，a5＋a6＝16，…，a19＋a20＝58，观察可得a2i－1＋a2i＝6i－2(i＝1，2，3，…，10)，所以S20＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋(a5＋a6)＋…＋(a19＋a20)＝4＋10＋16＋…＋58＝＝310≠300，故C错误； 对于D，因为a2＋a3＝7，a4＋a5＝13，a6＋a7＝19，…，a30＋a31＝91， 观察可得a2i＋a2i＋1＝6i＋1(i＝1，2，3，…，15)，S31＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a30＋a31)＝a＋＝748，解得a＝13，故D正确． 8．已知各项均为正数的数列{an}满足：a－a－an＋1－an＝0，以及a1a2a3＝6，数列{bn}满足an＝log2bn，则(　　) A．bn＝2n B．数列{an＋bn}的前n项和为－2n+1＋2 C．数列的前n项和为 D．若Tn＝·…·，则Tn<e 解析：选ACD．对于A，a－a－an＋1－an＝(an＋1＋an)(an＋1－an)－(an＋1＋an)＝(an＋1＋an)(an＋1－an－1)＝0，由an>0，得an＋1－an－1＝0，即an＋1－an＝1，故数列{an}是以1为公差的等差数列，则a1a2a3＝(a2－1)·a2·(a2＋1)＝a2(a－1)＝6， 即a－a2－6＝(a2－2)(a＋2a2＋3)＝0，故a2＝2，则a1＝1，故an＝n＝log2bn，则bn＝2n，故A正确； 对于B，an＋bn＝n＋2n，则其前n项和为＋＝＋2n+1－2，故B错误； 对于C，＝＝－，则数列的前n项和为－＋－＋…＋－＝4－＝，故C正确；对于D，令f(x)＝ln (1＋x)－x，x>0， 则f′(x)＝－1＝<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 则f(x)<f(0)＝ln 1－0＝0，即ln (1＋x)<x， 故ln Tn＝ln ＋ln ＋…＋ln <＋＋…＋＝＋＋…＋＝＝1－<1， 即ln Tn<1，则Tn<e，故D正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．已知数列{an}的通项公式为an＝3n－28(n为正整数)，则数列{an}的前n项和Sn的最小值为________． 解析：因为an＝3n－28，所以{an}为递增数列，当n≤3时an<0，当n≥4时an>0， 所以(Sn)min＝S3＝31＋32＋33－28×3＝－45. 答案：－45 10．(2026·白银模拟)已知函数f(x)＝x2＋x的导数为f′(x)，函数f(x)的“牛顿数列”{xn}满足xn＋1＝xn－(n∈N*)，若x1＝1，则x3＝________． 解析：因为f(x)＝x2＋x，所以f′(x)＝2x＋1，所以＝，则xn＋1＝xn－＝.因为x1＝1，所以x2＝，x3＝. 答案： 11．如图，P1是一块半径为2a的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为a的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一个被剪去半圆的半径)后得到图形P3，P4，…，Pn，…，记第n块纸板Pn的面积为Sn，则S4＝________，如果∃n∈N*，使Sn＜成立，那么a的取值范围是________． 解析：由题意可知，依次剪去一个更小的半圆，其半径为前一个被剪去半圆半径的一半，故每次剪去的半圆的面积组成了首项为，公比为的等比数列，第n块纸板Pn是剪了n－1次后得到的，故Sn＝－＝2πa2[＋×()n-1]，故S4＝2πa2[＋×()3]＝πa2；∃n∈N*，使得Sn＜成立，故只需＜，解得a2＜4，又a＞0，所以0＜a＜2. 答案：πa2　(0，2) 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)(2026·龙岩模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足nSn＋1－(n＋1)Sn＝n(n＋1)，n∈N*，a1＝1. (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)若bn＝(－1)n·，求数列{bn}的前n项和Tn.(7分) 解：(1)由nSn＋1－(n＋1)Sn＝n(n＋1)，n∈N*，得－＝1，又a1＝1，＝a1＝1，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以＝n，即Sn＝n2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，且a1＝1也满足该式，所以an＝2n－1. (2)由(1)得an＝2n－1， 所以bn＝(－1)n ＝(－1)n， 所以Tn＝－＋－＋…＋(－1)n＝－1＋(－1)n. 13．(本小题满分15分)(2026·浦东模拟)已知f(x)＝x2－2x＋1. (1)数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上，求数列{an}的通项公式；(7分) (2)设g(x)＝，当x∈[－1，1]时，不等式g(2x)－k·2x≥0恒成立，求实数k的取值范围．(8分) 解：(1)由题意，Sn＝n2－2n＋1， 当n＝1时，a1＝S1＝0， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3， 则an＝ (2)g(x)＝＝x－2＋， 设t＝2x，当x∈[－1，1]时，t∈， g(2x)－k·2x＝t－2＋－kt≥0恒成立， 则k≤1－＋＝， 因为min＝0，所以k∈(－∞，0]. 14．(本小题满分15分)若数列{an}与{bn}都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在得到的新数列中，来自{bn}的任意两项均不相邻，则称{an}为{bn}的“隔数列”． (1)若{an}是首项与公差均为整数的等差数列，bn＝2n，且数列a1，a2，a3是数列b1，b2，b3，b4的隔数列，求{an}的通项公式；(4分) (2)若an＝2n，{bn}是首项为1，公比为的等比数列，且数列a1，a2，a3，a4是数列b1，b2，b3，b4的隔数列，求整数m的值；(5分) (3)设{an}是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为Sn，若{Sn}是{an＋1}的隔数列，求q的取值范围．(6分) 解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则a1∈Z且d∈Z，由数列a1，a2，a3是数列b1，b2，b3，b4的隔数列，则d>0，且2<a1<4<a1＋d<8<a1＋2d<16，所以a1＝3且4<3＋d<8<3＋2d<16，即2.5<d<5，所以d＝3或d＝4，所以an＝3n或an＝4n－1. (2)设{bn}的公比为t， 因为数列a1，a2，a3，a4是数列b1，b2，b3，b4的隔数列，即数列2，4，6，8是数列1，t，t2，t3的隔数列， 所以1<2<t<4<6<t2<8<t3或1<2<t<4<t2<6<8<t3， 解得<t<2或2<t<， 即<<2或2<<， 所以10<m<20或20<m<10， 所以整数m的值为21，22，23，24，25，26，27，28. (3)因为{Sn}是{an＋1}的隔数列， 所以{Sn}与{an＋1}都是严格增数列， 由{Sn}是严格增数列，可知Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn>0对一切正整数n恒成立， 又由{an＋1}是严格增数列，可知an＋2>an＋1，即a1qn+1>a1qn对一切正整数n恒成立，所以q>1且a1>0， 当n≥2，n∈N*时，Sn>an恒成立， 故必有S1<a2<S2<a3<S3<a4<S4<…<an<Sn<an＋1<Sn＋1<…， 即Sn<an＋1对一切正整数n恒成立， 即<a1qn对一切正整数n恒成立， 即2－q<对一切正整数n恒成立，所以2－q≤0，即q≥2，所以q的取值范围为[2，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $