第6章 一题一课 构造法求数列的通项公式(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习讲义聚焦构造法求数列通项公式这一核心考点，覆盖常数型、一次函数型、指数函数型、分式型及三项递推等高考高频递推类型，按“基础模型→变式拓展”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法提炼、典例精讲、真题演练环节，帮助学生构建转化化归思维框架。 讲义创新采用分层递进教学法，如探究三中通过取倒数将分式递推转化为等差模型，培养学生数学思维与推理能力。设置基础巩固到综合应用的梯度练习，配合方法总结与即时反馈，确保高效突破难点，提升学生解题能力，为教师精准把控复习节奏提供实用指导。

构造法求数列的通项公式 构造法求数列的通项公式是高考的一个热点内容，主、客观题均可出现．根据数列中的递推关系求数列的通项公式，往往使用构造法． 通过构造法，将复杂的递推关系转化为我们熟悉的数列模型，从而简化求解过程，此类问题的处理策略，充分体现了转化与化归的数学思想． 　　　　人教B版选择性必修第三册P58T6 已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，记bn＝an＋1，证明：{bn}是等比数列，并求an. 感悟　求关于an＋1＝Aan＋B(其中A，B为常数，AB(A－1)≠0)类型的数列的通项公式时，先把原递推公式转化为an＋1＋M＝A(an＋M)，再利用待定系数法求出M的值，最后用换元法转化为等比数列求解．其实对于这类式子，我们只需要记住在等式两侧同时加上一个常数M，构造成等比数列．常数M的值可以通过待定系数法推导出来．对于此类问题，我们还可以从以下几个角度进行研究． 探究一　若an＋1＝Aan＋B中的B是关于n的一次函数，又如何处理呢？ [例1] 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an＋2n－1，则数列{an}的通项公式an＝________． 【解析】　利用待定系数法构造新数列， an＋1＋k(n＋1)＋b＝3(an＋kn＋b)⇒an＋1＝3an＋2kn－k＋2b，又an＋1＝3an＋2n－1， 则解得 所以an＋1＋(n＋1)＝3(an＋n). 令bn＝an＋n，则bn＋1＝3bn，b1＝a1＋1＝3，所以{bn}是以3为首项，3为公比的等比数列．bn＝3n，即an＋n＝3n，所以an＝3n－n. 【答案】　3n－n 【方法提炼】　形如an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)求an的一般步骤 探究二　若an＋1＝Aan＋B中的B是关于n的指数函数，又如何处理呢？ [例2] 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an＋2n-1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为__________． 【解析】　方法一：将an＋1＝3an＋2n-1两边同时除以2n-1，得＝·＋1，即＋2＝.又＋2＝6， 由等比数列的定义知，数列是以6为首项，为公比的等比数列，所以＋2＝6×，故an＝3n－2n-1. 方法二： 由a1＝2，an＋1＝3an＋2n-1，n∈N*，可得an＋1＋2n＝3(an＋2n-1)，a1＋21-1＝3， 所以{an＋2n-1}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an＋2n-1＝3n，则an＝3n－2n-1，n∈N*. 【答案】　an＝3n－2n-1 【方法提炼】　形如an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1)求an的一般步骤 探究三　若an＋1与an关系变为an＋1＝(p≠0，q≠0)，又如何处理呢？ [例3] 在数列{bn}中，a1＝1，an＋1＝，n∈N*，则数列{an}的通项公式为an＝________． 【解析】　因为a1＝1，所以an>0，an＋1＝两边同时取倒数，得＝， 即＝3·＋2，因此＋1＝3，又＋1＝2，故数列是以2为首项，3为公比的等比数列，所以＋1＝2×3n-1，可得an＝. 【答案】　 【方法提炼】　形如an＋1＝(p≠0，q≠0)求an的一般步骤 探究四　已知数列{an}中连续两项间的递推关系变为连续三项间的关系，如an＋1＝pan＋qan－1(n≥2，n∈N*)，用什么方法解决呢？ [例4] 在数列{an}中，满足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________． 【解析】　方法一：设an＋1－tan＝s(an－tan－1)，即an＋1＝(s＋t)an－stan－1，于是得解得或不妨取s＝3，t＝－1，得an＋1＋an＝3(an＋an－1)，又a1＋a2＝3，所以{an＋1＋an}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an＋1＋an＝3×3n-1＝3n，从而＋·＝.不妨令cn＝，则cn＋1＋cn＝，所以cn＋1－＝－，又c1－＝－＝，则＝－，所以数列是首项为，公比为－的等比数列，所以cn－＝×＝－，从而an＝. 方法二： 由an＋1＝2an＋3an－1，可得an＋1＋an＝3(an＋an－1)，又a1＋a2＝3，则＝3， 所以数列{an＋1＋an}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an＋1＋an＝3×3n-1＝3n.① 由an＋1＝2an＋3an－1可得an＋1－3an＝－(an－3an－1)，又a2－3a1＝－1，则＝－1， 所以数列{an＋1－3an}是以－1为首项，－1为公比的等比数列， 所以an＋1－3an＝(－1)n.② 由①－②得4an＝3n－(－1)n， 所以an＝. 【答案】　an＝ 【方法提炼】　形如an＋1＝pan＋qan－1(p≠0，q≠0)求an的一般步骤 1．已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝anan＋1(n∈N*)，则a2 027＝(　　) A．2 027 B．2 028 C． D． 解析：选C．因为a1＝1，an－an＋1＝anan＋1，则有－＝1， 故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，故＝1＋(n－1)×1＝n， 所以an＝，则a2 027＝. 2．已知数列{an}满足an＋1＝4an－12n＋4，且a1＝4，若ak＝2 024，则k＝(　　) A．253 B．506 C．1 012 D．2 024 解析：选B．因为an＋1＝4an－12n＋4，所以an＋1－4(n＋1)＝4(an－4n). 因为a1＝4，所以a1－4×1＝0，故{an－4n}为常数列，所以an＝4n. 由ak＝4k＝2 024，解得k＝506. 3．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＋1＝an＋1－nan＋2(n∈N*)，则＝(　　) A．190 B．210 C．380 D．420 解析：选B．在数列{an}中，n∈N*，Sn＋1＝an＋1－nan＋2，当n≥2时，Sn＝an－(n－1)an－1＋2， 两式相减得an＋1＝an＋1－(n＋1)an＋(n－1)an－1，即(n＋1)an＝(n－1)an－1， 因此(n＋1)nan＝n(n－1)an－1， 显然数列{(n＋1)nan}是常数列， 而S2＝a2－a1＋2，解得a1＝1，于是(n＋1)nan＝2×1×a1＝2，因此an＝， 所以＝＝210. 4．已知数列{an}满足a1＝4，an＋1＝2an－2，对于任意的n∈N*，λ(an－2)＜an－6恒成立，则实数λ的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(－1，2) D．(1，2) 解析：选B．因为an＋1＝2an－2，所以an＋1－2＝2an－4＝2(an－2)，a1－2＝2， 所以＝2，所以{an－2}是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以an－2＝2×2n-1＝2n，所以an＝2n＋2， 由λ(an－2)＜an－6恒成立，即λ·2n<2n－4，得λ＜＝1－恒成立， 令y＝1－，由于n∈N*，显然y随n的增大而增大，所以当n＝1时，ymin＝1－＝－1，所以λ＜－1. 5．已知数列{an}满足a1＝2，a2＝6，且an＋2－2an＋1＋an＝2，则数列{an}的通项公式为________． 解析：由题设知，(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2，a2－a1＝4，故{an＋1－an}是首项为4，公差为2的等差数列，则an＋1－an＝2n＋2， 则当n≥2时，an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a3－a2＋a2－a1＝an－a1＝2(n＋n－1＋…＋3＋2)＝(n＋2)(n－1)， 所以an＝n(n＋1)(n≥2). 当n＝1时，a1＝2也满足上式． 所以an＝n(n＋1). 答案：an＝n(n＋1) 6．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝，则＝________． 解析：因为an＋1＝，a1＝1，所以an>0，则＝＝＋2， 所以－＝2，又＝1，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列， 故＝1＋2(n－1)＝2n－1， 所以＝2×10－1＝19. 答案：19 7．记数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，2an＋1－3an＝2n，则＝________． 解析：由2an＋1－3an＝2n，得＝×＋1，则－4＝， 又－4＝0，则＝4，则an＝2n， 所以a8＝28，S8＝＝29－2， ＝＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $