第6章 第3讲 等比数列(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习讲义聚焦等比数列核心考点，涵盖概念、通项公式、前n项和公式及性质，按“定义-公式-性质-应用”逻辑架构梳理知识内在联系。通过考点梳理、方法指导（如方程思想、分类讨论）、真题训练（2025全国卷等）等环节，帮助学生突破基本量运算、判定证明、性质应用难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以“数学思维”和“数学语言”为导向，创新采用“题型归类+性质应用”教学法，如在性质应用中通过等比中项、项的乘积关系简化运算，培养学生推理能力与模型意识。设置基础巩固、能力提升、真题变式分层练习，配合即时反馈，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第3讲　等比数列 课标要求　1.理解等比数列的概念．　2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．　3.体会等比数列与指数函数的关系． 1．等比数列的有关概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)，定义的表达式为＝q. (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab.即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 提醒　(1)在等比数列中，易忽视每一项与公比都不为0；(2)只有当两个数同号时，这两个数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数． 2．等比数列的基本公式 (1)通项公式：an＝a1qn-1． (2)前n项和公式： Sn＝ 提醒　在求等比数列的前n项和时，易忽略q＝1这一特殊情形． 3．等比数列的常用性质 已知数列{an}是等比数列，q是其公比，Sn是其前n项和． (1)通项公式的推广：an＝amqn－m(n，m∈N*)； (2)若m＋n＝r＋s＝2k(m，n，r，s，k∈N*)， 则aman＝aras＝a； (3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，{}，{a}，{anbn}，{}，仍然是等比数列； (4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk； (5)当q＝－1且n为奇数或q≠－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn. 1．在等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2，若an＝128，则n＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：选C．因为数列{an}为等比数列，a1＝1，q＝2，an＝128，所以an＝a1qn-1＝2n-1＝128，解得n＝8. 2．(选择性必修第二册P34T1改编)如果－9，a，b，c，－1成等比数列，那么(　　) A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9 解析：选B．依题意，b2＝ac＝(－9)×(－1)＝9，a2＝－9b＞0，得b＜0，所以b＝－3，ac＝9. 3．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝48，Sn＝93，则n＝________． 解析：设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1.由前n项和公式及通项公式可得，解得 答案：5 4．在等比数列{an}中，a3a9＝1，a1a5＋a8a10＝8，则a3＋a9的值为________． 解析：因为a1a5＋a8a10＝8，又数列{an}为等比数列，所以a＋a＝8，又a3a9＝1， 所以2a3a9＝2，所以a＋2a3a9＋a＝8＋2， 即(a3＋a9)2＝10，所以a3＋a9＝±. 答案：± 5．已知等比数列{an}的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则a1＝________． 解析：由题设 可得 设{an}的公比为q， 则a2＋a4＋a6＝(a1＋a3＋a5)q， 解得q＝2， 所以a1＋a3＋a5＝a1(1＋q2＋q4)＝21a1＝42， 则a1＝2. 答案：2 常用 结论 1.等比数列{an}的单调性：当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1>0时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列． 2．等比数列的常用结论 (1)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q，或＝q. (2)若a1a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． 题型一　等比数列的基本量运算 1．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a3a4＝a5，则S4＝(　　) A．39 B．156 C． D． 解析：选D．设等比数列{an}的公比为q，由a3a4＝a5，得a1q2·a1q3＝aq5＝a1q4，所以a1q＝1，又因为a1＝，所以q＝5，所以S4＝＝. 2．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝2S3－S2＋6，a2＝1，则a5＝(　　) A．16 B．32 C．27 D．81 解析：选C．设等比数列{an}的公比为q，因为S4＝2S3－S2＋6，a2＝1，则S4－S3＝S3－S2＋6，所以a4＝a3＋6，因为a2＝1，所以q2＝q＋6，q＞0，所以q＝3或q＝－2(舍去)，所以a5＝1×33＝27. 3．(多选)(2025·全国二卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q＞0.若S3＝7，a3＝1，则(　　) A．q＝ B．a5＝ C．S5＝8 D．an＋Sn＝8 解析：选AD．对于A，由题意得 结合q＞0，解得故A正确； 对于B，a5＝a1q4＝4×()4＝，故B错误； 对于C，S5＝＝＝，故C错误； 对于D，an＝4×()n-1＝23-n，Sn＝＝8－23-n，则an＋Sn＝23-n＋8－23-n＝8，故D正确． 4．在等比数列{an}中，a1＝，a4＝4，则公比q＝________；＋＋…＋＝________． 解析：因为a1＝，a4＝4，所以＝q3＝8，所以q＝2，an＝2n-2，所以＋＋＋＋…＋＝2＋1＋＋＋…＋＝＝4－. 答案：2　4－ 【素养小结】　等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，结合通项公式及前n项和公式通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解，体现了数学中的方程思想． 易错点　等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，容易遗忘． 题型二　等比数列的判定与证明 [例1] 已知在数列{an}中，a1＝，a2＝.当n≥2时，3an＋1＝4an－an－1(n∈N*). (1)求证：{an＋1－an}为等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 【解】　(1)证明：因为在数列{an}中，a1＝，a2＝，a2－a1＝，当n≥2时，3an＋1＝4an－an－1，即3an＋1－3an＝an－an－1，即an＋1－an＝(an－an－1). 所以{an＋1－an}是以为首项，为公比的等比数列． (2)由(1)知an＋1－an＝×， 故当n≥2时，an－an－1＝×， an－1－an－2＝×， … a2－a1＝×，累加得an－a1＝×＝－， 所以当n≥2时，an＝1－，当n＝1时，a1＝也满足上式， 所以an＝1－(n∈N*). 【素养小结】　 注意　(1)在解答题中证明一个数列为等比数列时，只能用定义法或等比中项法；(2)如果要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续的三项不成等比数列即可． [对点训练] 已知数列{an}满足a1＝3，且log3an＋1＝1＋log3an. (1)求证：{an}为等比数列； (2)若bn＝an＋，且{bn}为递增数列，求实数t的取值范围． 解：(1)证明：由log3an＋1＝1＋log3an，得log3an＋1－log3an＝1， 所以log3＝1，所以＝3， 又因为a1＝3，所以{an}是以3为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)知an＝3n，所以bn＝3n＋， 因为{bn}为递增数列，所以∀n∈N*，bn＋1－bn＝3n+1＋－＝2×3n－＞0恒成立，所以2×3n＞， 即t＜32n+1对任意正整数恒成立，即t＜(32n+1)min， 因为{32n+1}为递增数列， 所以(32n+1)min＝27， 所以t＜27，即实数t的取值范围为(－∞，27). 题型三　等比数列的性质及应用 考向1　项的性质 [例2] (1)(多选)已知正项等比数列{an}的前n项积为Tn，若T8＜1＜T9，则(　　) A．a3a6＞1 B．＞1 C．Tn≥T4 D．Tn≤T5 (2)在正项等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝15，a1a2a3a4＝45，则＋＋＋＝________． 【解析】　(1)设正项等比数列{an}的公比为q，T9＝a＞1，则a5＞1，T8＝(a4a5)4＜1，则a4a5＜1， 对于A，a3a6＝a4a5＜1，A错误； 对于B，a4＜＜1，则＝q＝＞1，B正确； 对于C，D，由a1＞0，q＞1，得数列{an}是递增数列，则0＜a1＜a2＜a3＜a4＜1＜a5＜…， 于是T1＞T2＞T3＞T4，当n≥4时，Tn＋1＞Tn，因此Tn≥T4，C正确，D错误． (2)因为数列{an}为正项等比数列，a1a2a3a4＝45，所以a2a3＝a1a4＝3， 又＋＋＋＝＋＝＝＝. 【答案】　(1)BC　(2) 【素养小结】　在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用等比数列的性质，特别是“若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq(m，n，p，q∈N*)”，可以减少运算量，提高解题速度． 考向2　和的性质 [例3] (2025·全国一卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于________． 【解析】　设等比数列为{an}，其公比为q，前n项和为Sn，由题易知q>0，S4＝4，S8＝68，所以S8－S4＝64，因为S4，S8－S4，S12－S8，…成等比数列，且公比为q4，所以q4＝＝＝16，又q>0，所以q＝2. 【答案】　2 真题源于人教A版选择性必修第二册P37T5：如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列的公比等于多少？ 相似度　两道试题，题型相同，均是围绕等比数列公比求解的题目；解题思路相同，均可利用等比数列前n项和的性质或基于等比数列的前n项和公式来构建关于公比q的方程求解． 变式点　两道题目项数的间隔不同，且真题明确说明数列的各项均为正数． [变式1]　在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若S10＝5，S20＝15，则S30的值为________． 解析： 因为{an}为等比数列， 所以S10，S20－S10，S30－S20成等比数列， 即5，15－5，S30－15成等比数列，可得5(S30－15)＝100， 所以S30＝35. 答案：35 [变式2]　已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝4，则S9的最小值为________． 解析：由题意知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)， 即(S6－4)2＝4(S9－S6)， 所以S9＝(S－4S6＋16) ＝， 当S6＝2时，S9取得最小值3. 答案：3 【素养小结】　等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形；二是等比中项的变形；三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征，即可找出解决问题的突破口． 注意　在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要对性质进行适当变形．此外，解题时注意“设而不求”的运用． [对点训练] 1.(2026·南通模拟)在等比数列{an}中，a5a6a7＝8，a2＋a6＝20，则a4＝(　　) A．36 B．±6 C．－6 D．6 解析：选D．因为a5a6a7＝a＝8，所以a6＝2，a2＝18，所以a4＝±＝±6，由于a2＞0，故a4＞0，所以a4＝6. 2．若正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝6，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为________． 解析：由题意，设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，由S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，可得S4·(S12－S8)＝(S8－S4)2， 又因为S8－2S4＝6， 即S8－S4＝S4＋6， 所以S12－S8＝＝＝S4＋＋12，所以a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝S4＋＋12≥2＋12＝24， 当且仅当S4＝， 即S4＝6时，等号成立， 所以a9＋a10＋a11＋a12的最小值为24. 答案：24 学科网（北京）股份有限公司 $