第6章 第2讲 等差数列 课后达标检测(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

**基本信息** 聚焦等差数列核心素养，以题载法构建"概念-性质-应用"逻辑链，强化抽象与推理能力 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|3题|通项公式/求和公式直接应用|定义→基本量→公式推导| |性质应用|5题|中项性质/奇偶项和差/充要条件分析|性质生成→条件转化→结论判断| |综合应用|6题|二次函数求最值/不等式求范围/实际建模|知识整合→问题抽象→运算求解|

1．在等差数列{an}中，a3＝3，a4＋a6＝2，则a7＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选B．在等差数列{an}中，a4＋a6＝a3＋a7，所以a7＝a4＋a6－a3＝－1. 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6＝6(a6＋5)，则公差d＝(　　) A．2 B．－2 C．3 D．－3 解析：选B．因为S6＝6(a6＋5)，所以6a1＋d＝6(a1＋5d＋5)，所以d＝5d＋5，则公差d＝－2. 3．已知数列{an}为等差数列，若m是正整数，则“m＝3”是“a1＋a15＝am＋a13”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A．充分性：当m＝3时，由等差数列的性质得，a1＋a15＝a3＋a13， 必要性：当等差数列的公差d＝0时，若a1＋a15＝am＋a13，则m∈N*， 故“m＝3”是“a1＋a15＝am＋a13”的充分不必要条件． 4．已知等差数列{an}的前16项和S16＝640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为11∶9，则公差d的值是(　　) A．－8 B．4 C．8 D．9 解析：选C．S奇＝a1＋a3＋…＋a15，S偶＝a2＋a4＋…＋a16， 根据题意，可得 解得 又S偶－S奇＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a16－a15)＝8d＝352－288，所以d＝8. 5．(2026·南通模拟)在公差不为0的等差数列{an}中，若as＋at＝2a3，则＋的最小值为(　　) A． B． C． D． 解析：选D．因为as＋at＝2a3，所以s＋t＝6，所以＋＝1，显然s，t∈N*， 所以＋＝＝＋＋＋≥＋2＝， 当且仅当＝，即t＝2，s＝4时取等号． 6．(多选)设数列{an}是以d为公差的等差数列，Sn是其前n项和，a1＞0，且S6＝S9，则下列结论正确的是(　　) A．d＜0 B．a8＝0 C．使Sn>0成立的n的最大值为14 D．S7为Sn的唯一最大值 解析：选ABC．对于A，B，根据题意可得6a1＋d＝9a1＋d，即a1＋7d＝a8＝0. 因为a1＞0，a8＝0，所以d＜0，所以数列{an}是递减数列，故A，B正确； 对于C，因为d＜0，a8＝0，2a8＝a1＋a15＝0，所以S15＝0，a7>0，a7＋a8＝a1＋a14＞0，所以S14＞0，故C正确； 对于D，因为a8＝0，所以S7＝S8，又{an}为递减数列，所以S7或S8为Sn的最大值，故D不正确． 7．(2026·青岛模拟)记等差数列{an}的前n项和为Sn，且an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝，则Sn＝________． 解析：由题意易得Sn≠0，由an＝Sn－Sn－1代入已知可得Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0⇒－＋2＝0⇒－＝2，n≥2，可得是公差为2的等差数列，因为a1＝，所以＝2，即＝2＋(n－1)·2＝2n，所以Sn＝. 答案： 8．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＋＝________． 解析：由等差数列的性质，可得＋＝＋＝＝， 又因为＝，则＝＝＝＝，所以＋＝. 答案： 9．(13分)(2026·沙坪坝模拟)已知等差数列{an}满足公差d＞0，a3＋a8＝4，a4a7＝－5. (1)求an；(5分) (2)记数列{an}的前n项和为Sn，若bn＝，求数列{bn}中的最小项．(8分) 解：(1)因为{an}为等差数列， 所以a4＋a7＝a3＋a8＝4， 又因为d＞0，所以a7＞a4， 由解得 所以d＝＝2， an＝a4＋(n－4)d＝2n－9. (2)Sn＝＝n2－8n， bn＝＝＝＝－， 当n≤4时，＜0，bn＞； 当n≥5时，＞0，bn＜，且bn单调递增．所以当n＝5时，bn最小， 即数列{bn}中的最小项为b5＝－3. 10．已知数列{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn且a2n＝2an－2，若Sn≤S5对任意的n∈N*恒成立，则公差d的取值范围为(　　) A． B． C． D． 解析：选B．数列{an}是公差为d的等差数列，由a2n＝2an－2，得a1＋(2n－1)d＝2a1＋2(n－1)d－2，解得a1＝d＋2，则an＝(d＋2)＋(n－1)d＝dn＋2， 由Sn≤S5对任意的n∈N*恒成立， 得即 解得－≤d≤－. 所以公差d的取值范围为－≤d≤－. 11．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则中、下两层共有扇面形石板(　　) A．2 699块 B．3 474块 C．3 402块 D．2 997块 解析：选D．设第n环扇面形石板块数为an，上层共有n环，Sn为{an}的前n项和， 则{an}是首项为9，公差为9的等差数列，an＝9＋9(n－1)＝9n，Sn＝(n2＋n)， 上层、中层、下层的块数分别为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，由下层比中层多729块，得S3n－S2n＝S2n－Sn＋729， 即(9n2＋3n)－(4n2＋2n)＝(4n2＋2n)－(n2＋n)＋729，解得n＝9， 所以中、下两层共有扇面形石板S27－S9＝×(272＋27)－×(92＋9)＝2 997(块). 12．(2026·上海模拟)记Sn为数列{an}的前n项和，已知点(n，an)在直线y＝10－2x上，若有且只有两个正整数n满足Sn≥k，则实数k的取值范围是________． 解析：因为点(n，an)在直线y＝10－2x上， 所以an＝10－2n， 所以an－an－1＝－2(n≥2)，a1＝10－2＝8， 所以数列{an}是首项为8，公差为－2的等差数列， 所以Sn＝8n＋×(－2)＝－n2＋9n， 当n＝4或n＝5时，Sn取得最大值，为S4＝S5＝20， 因为有且只有两个正整数n满足Sn≥k， 所以满足条件的n为4和5， 因为S3＝S6＝18， 所以实数k的取值范围是(18，20]. 答案：(18，20] 13．(15分)(2025·南京一模)已知数列{an}的前n项和Sn满足＝an＋(1－n)t，n∈N*，t为常数，且a2＝a1＋2. (1)求t的值；(5分) (2)证明：{an}为等差数列；(5分) (3)若n2＜Sn＜(n＋1)2，n∈N*，求a1的取值范围．(5分) 解：(1)因为＝an＋(1－n)t，n∈N*， 所以＝a2－t， 又S2＝a1＋a2， 所以a2－a1＝2t. 又a2＝a1＋2，所以t＝1. (2)证明：由(1)可得＝an＋1－n，n∈N*， 所以Sn＝nan＋n－n2， 因此Sn＋1＝(n＋1)an＋1＋n＋1－(n＋1)2， 相减得an＋1＝(n＋1)an＋1－nan－2n， 得an＋1－an＝2，n∈N*， 所以{an}为等差数列． (3)由(2)得Sn＝na1＋×2＝n2＋(a1－1)n，由n2＜Sn＜(n＋1)2，n∈N*， 得1＜a1＜3＋. 因为1＜a1＜3＋对n∈N*恒成立， 所以1＜a1≤3. 14．(2026·白银模拟)若数列{an}是有穷数列，且各项之和为0，各项的绝对值之和为1，则称数列{an}是“n项优待数列”．若等差数列{bn}是“2k＋1项优待数列”，k∈N*，则bn＝________． 解析：设等差数列b1，b2，b3，…，b2k＋1(k≥1)的公差为d，d≠0， 则b1＋b2＋b3＋…＋b2k＋1＝0，① |b1|＋|b2|＋|b3|＋…＋|b2k＋1|＝1，② 所以bk＋1＝0， 所以bk＋2＝d， 当d＞0时，由①②，得bk＋1＋bk＋2＋bk＋3＋…＋b2k＋1＝，所以kd＋d＝，即d＝， 由bk＋1＝0，得b1＋＝0，即b1＝－， 所以bn＝－＋＝－，n∈N*，n≤2k＋1， 当d＜0时，同理可得kd＋d＝－，即d＝－， 由bk＋1＝0，得b1－＝0，即b1＝， 所以bn＝－＝－＋，n∈N*，n≤2k＋1. 综上，bn＝±. 答案：± 学科网（北京）股份有限公司 $