第6章 第1讲 数列的概念及简单表示法 课后达标检测(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

**基本信息** 聚焦数列核心题型，以题载法构建“定义理解-方法应用-性质探究”逻辑链，强化数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |周期数列|3题（1,6,8）|列举前项找周期|从递推式到周期性，体现数学观察| |Sn求通项|4题（2,4,9,10）|Sn-Sn-1(n≥2)及验证n=1|前n项和与通项的转化，培养推理意识| |累加法|1题（5）|裂项相消累加|递推关系到通项公式，强化运算能力| |单调性与最值|3题（3,9(2),13(2)）|作差法判断单调性|数列性质与函数思想结合，发展数学思维| |新定义问题|2题（13,14）|紧扣定义转化条件|数学语言表达与应用，提升创新意识|

1．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＋an＝11，则a30＝(　　) A．－13 B．13 C．－9 D．9 解析：选D．由a1＝2，an＋1＋an＝11，可得a2＝9，a3＝2，a4＝9，a5＝2，a6＝9，…，所以数列{an}的奇数项为2，偶数项为9，所以a30＝9. 2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n－1，则a3＝(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 解析：选A．由题意得，a3＝S3－S2＝(23－1)－(22－1)＝4. 3．已知an＝2n＋λ，若{an}的前n项和为Sn，{Sn}为递增数列，则λ的取值范围为(　　) A．(－2，＋∞) B．(－∞，－2) C．(－4，＋∞) D．(－∞，－4) 解析：选C．因为{an}的前n项和为Sn，{Sn}为递增数列，所以数列{an}从第二项开始要为正数，a2＝4＋λ＞0，即λ>－4，则λ的取值范围为(－4，＋∞). 4．(2026·黄冈模拟)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝2，那么a10＝(　　) A．2 B．10 C．11 D．56 解析：选A．在Sn＋Sm＝Sn＋m中，令m＝1，即Sn＋1－Sn＝S1＝a1＝2，所以a10＝S10－S9＝2. 5．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n2＋，则a6＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A．由题得an＋1－an＝n2＋－，即a2－a1＝12＋1－，a3－a2＝22＋－，…，a6－a5＝52＋－， 将上面5个式子两端分别相加得 a6－a1＝(12＋22＋…＋52)＋＋＋…＋＝55＋1－， 又因为a1＝1，所以a6＝57－＝. 6．(多选)记Sn为首项为2的数列{an}的前n项和，已知an－anan＋1＝1，则(　　) A．2a2＝1 B．a4＝3 C．a2 026－2＝0 D．2S3n＝3n 解析：选ACD．由题意可得an＋1＝1－，依次写出数列{an}的前6项：2，，－1，2，，－1，所以数列{an}的周期为3， 2a2＝2×＝1，故A正确；a4＝a1＝2，故B错误； 由2 026＝675×3＋1，则a2 026－2＝a1－2＝0，故C正确； 2S3n＝2×n×(a1＋a2＋a3)＝3n，故D正确． 7．已知函数y＝f(x)，x∈R，且f(0)＝3，＝2，＝2，…，＝2，n∈N*，则f(3)＝________． 解析：由题意知，f(0)···…·＝3×26＝192，所以f(3)＝192. 答案：192 8．设各项均为正整数的递增数列{an}满足an＋2·an＋1·an＝10(n≥1)，a3＝5，则a623＝________． 解析：因为各项均为正整数的递增数列{an}满足an＋2·an＋1·an＝10(n≥1)①，a3＝5，则a1a2a3＝5a1a2＝10， 则所以 由题意可得an＋1·an＋2·an＋3＝10②，由①②可得an＋3＝an， 所以数列{an}是周期为3的周期数列， 因为623＝3×207＋2，故a623＝a2＝2. 答案：2 9．(13分)(2026·红河模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，2Sn＝3n2＋n. (1)求{an}的通项公式；(5分) (2)若bn＝(26－an)·2n，求bn取得最大值时n的值．(8分) 解：(1)当n＝1时，2S1＝3＋1＝4，解得a1＝S1＝2； 当n≥2时，2an＝2Sn－2Sn－1＝3n2＋n－[3(n－1)2＋n－1]＝6n－2，即an＝3n－1. 因为a1＝2也满足an＝3n－1， 所以an＝3n－1. (2)由(1)得bn＝(27－3n)·2n， 所以bn＋1－bn＝[27－3(n＋1)]·2n+1－(27－3n)·2n＝(21－3n)·2n， 所以当n＜7时，bn＋1－bn＞0，即bn＋1＞bn； 当n＝7时，bn＋1－bn＝0，即b7＝b8； 当n＞7时，bn＋1－bn＜0，即bn＋1＜bn， 所以b1＜b2＜…＜b7＝b8＞b9＞b10＞…， 故当bn取得最大值时，n＝7或n＝8. 10．(2026·临沂模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋nan＝1，则满足Sn＞0.99时，n的最小值为(　　) A．49 B．50 C．99 D．100 解析：选D．因为Sn＋nan＝1，所以a1＝， 当n≥2时，Sn＋nan＝Sn－1＋(n－1)an－1＝1，所以(n＋1)an＝(n－1)an－1， 即＝，此时an＝×××…×××a1＝×××…×××＝，当n＝1时，a1＝也满足该式， 故an＝，Sn＝1－nan＝1－， 若Sn＝1－＞0.99，解得n＞99，故n的最小值为100. 11．(多选)(2026·济南模拟)已知递增数列{an}的各项均为正整数，且满足aan＝3n，则(　　) A．aa1＝3 B．an＞n C．a5＝6 D．a2 025＝81a25 解析：选ABD．对于A，在原式中令n＝1，则aa1＝3，故A正确； 对于B，若an≤n，因为{an}为递增数列，则aan≤an，则an≥3n，即3n≤an≤n矛盾，舍去，故an＞n，故B正确； 对于C，由an＞n得aan＞an，则n＜an＜3n，则1＜a1＜3， 因为a1∈N*，所以a1＝2，在aan＝3n中，令n＝1，则a2＝3，令n＝2，则a3＝6，因为{an}为递增数列，所以a5＞6，所以C错误； 对于D，由a1＝2，a2＝3，a3＝6，令n＝3，则a6＝9，因为{an}为递增数列且an∈N*， 所以a4＝7，a5＝8，令n＝4，则a7＝12，令n＝5，则a8＝15，令n＝6，则a9＝18，令n＝9，则a18＝27， 因为递增数列{an}的各项均为正整数，则当9≤n≤18时，an＝n＋9，又因为a27＝54，a54＝81， 则当27≤n≤54时，an＝n＋27，…，则当3k≤n≤2·3k时，an＝n＋3k，k∈N*， 当k＝6，即当36≤n≤2·36时，an＝n＋729，所以a1 296＝2 025，在aan＝3n中，令n＝1 296，得a2 025＝1 296×3，同理由a16＝25，令n＝16，得a25＝3×16，所以a2 025＝81a25，D正确． 12．对于正项数列{an}，定义Hn＝，若Hn＝，则数列{an}的通项公式为an＝________． 解析：由＝，得a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝，① 当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝，② 由①－②得nan＝，所以an＝， 又当n＝1时，由①得a1＝，也满足上式， 所以an＝. 答案： 13．(15分)定义：对于任意n∈N*，满足条件≤an＋1且an≤M(M是与n无关的常数)的无穷数列{an}称为T数列． (1)若bn＝－n2＋9n(n∈N*)，证明：数列{bn}是T数列；(7分) (2)设数列{cn}的通项公式为cn＝50n－，且数列{cn}是T数列，求常数M的取值范围．(8分) 解：(1)证明：由bn＝－n2＋9n，得bn＋bn＋2－2bn＋1＝－n2＋9n－(n＋2)2＋9(n＋2)＋2(n＋1)2－18(n＋1)＝－2， 所以数列{bn}满足≤bn＋1. 又bn＝－＋，当n＝4或5时，bn取得最大值20，即bn≤20. 综上，数列{bn}是T数列． (2)因为cn＋1－cn＝50(n＋1)－－50n＋＝50－×， 所以当50－×≥0， 即n≤11时，cn＋1－cn＞0，此时数列{cn}单调递增， 当n≥12时，cn＋1－cn＜0，此时数列{cn}单调递减，故数列{cn}的最大项是c12， 所以常数M的取值范围是M≥600－. 14．(2026·永州模拟)已知数列{an}满足an＋1＝＋，则下列说法正确的是(　　) A．若an＞0，则{an}的所有项恒大于等于 B．若a1＝1，则{an}是递增数列 C．若{an}是常数列，则a1＝± D．若a1＝2，则是递增数列 解析：选C．对于A，当an＞0时，an＋1＝＋≥2＝，当且仅当＝，即an＝时等号成立，所以an≥(n≥2)，但a1的值不确定，所以若an＞0，则{an}的所有项不一定恒大于等于，故A错误； 对于B，当a1＝1时，a2＝＋＝，a3＝＋＝，而a3＜a2，故B错误； 对于C，若{an}是常数列，则an＋1＝＋＝an⇒＝⇒a＝2，即an＝±， 所以a1＝±，故C正确； 对于D，由题知an＋1＋＝an＋，因为a1＝2，所以由递推关系an＋1＝＋可知， an＞0，且a2＝＋＝1＋＝， 所以a2＋＝a1＋＝，a3＋＝a2＋＝＋＝＜，故D错误． 学科网（北京）股份有限公司 $