专题04 几何体中的最值与范围问题（专项训练）高二数学沪教版必修第三册

专题04 几何体中的最值与范围问题 常考题型·精准突破 考点一 内接几何体与截面中的最值 题型1 内接几何体的面积、体积最值（高频） 题型2 截面面积的最值（重） 考点二 折叠与实际情境中的最值 题型3 折叠后的体积最值（难） 题型4 容器容积与实际情境中的最值 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 内接几何体与截面中的最值 ◆题型1 内接几何体的面积、体积最值 1．（25-26高三上·河南商丘·期末）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·河南漯河·阶段检测）已知一个矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积的最大值是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·四川内江·阶段检测）如图，底面半径为2，高为4的圆锥内有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱的表面积为________．    4．（22-23高二上·四川乐山·阶段检测）（如图）在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱． (1)求圆锥的表面积和体积； (2)为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出最大值． 5．如图，底面半径为3，高为的圆锥有一个内接的正四棱柱． (1)设正四棱柱的底面边长为x，试将棱柱的高h表示成x的函数； (2)当x取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值． ◆题型2 截面面积的最值 6．（25-26高一下·浙江·期中）已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（   ） A．48 B．50 C．96 D．100 7．（25-26高一下·全国·课后作业）一个圆锥轴截面的顶角为，母线为2，过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为______． 8．（2024·四川资阳·二模）已知球O的体积为，点A到球心O的距离为3，则过点A的平面被球O所截的截面面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·山东·一模）在正三棱柱中，，为的中点，若三棱锥的四个顶点均在球上，过作球的截面，则所得截面圆面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 考点二 折叠与实际情境中的最值 ◆题型3 折叠后的体积最值 10．（2026·云南·模拟预测）如图，在直角梯形中，，，将沿直线翻折至的位置，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的外接球的表面积为_________． 11．（2026·湖南永州·一模）在等腰直角三角形中，斜边为斜边上的一点，沿直线将折起形成二面角．当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为___________． ◆题型4 容器容积与实际情境中的最值 12．（22-23高一下·广东湛江·阶段检测）如图，一个正方体的容器中盛满了油后，在相邻两侧面的中心处出现了两个小孔，若恰当地将容器放置．可使流出的油量达到最小，这个最小值是正方体容器容量的（    ）    A． B． C． D． 13．（23-24高二上·辽宁本溪·期中）将一个棱长为1的正方体放入一个圆柱内，正方体可自由转动，则该圆柱体积的最小值为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）将一个各棱长都为的正三棱柱铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为__________. 15．（22-23高一下·全国·课后作业）将的矩形铁皮作为圆柱的侧面卷成一个圆柱，则圆柱的最大体积是_________． 16．如图，用一块钢锭浇筑一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器，设容器的高为h米，盖子的边长为a米． (1)求a关于h的函数解析式； (2)当h为何值时，容器的容积V最大？并求出V的最大值． 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．（25-26高一下·福建福州·期末）一个圆台的轴截面周长为4，则该圆台侧面积的最大值为（     ） A． B． C． D． 2．（2025·山东·模拟预测）已知圆柱的侧面展开图的周长为定值，则该圆柱的侧面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（25-26高一下·江苏泰州·阶段检测）已知三棱锥，平面，，交于点，交于点，，记三棱锥，四棱锥的外接球的表面积分别为，，当三棱锥体积最大时，__________． 4．（25-26高二上·上海宝山·期末）如图，在棱长为2的正方体中，有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体，有1个以正方体体心为球心的球体O，O与均相切，则该9部分的体积和的范围是________． 5．（25-26高一下·山西太原·期末）在三棱锥中，，，，，当三棱锥的体积最大时，则其外接球表面积为_____________． 6．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知长方体的外接球的表面积为，，点在四边形内含边界，且直线与平面所成角的正切值为，则长方体的体积最大时，三棱锥体积的最小值为______. 7．（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）已知正三棱锥的表面积是其底面积的4倍，在该正三棱锥里面可以任意转动的正方体的最大棱长为2，则正三棱锥的高为________. 三、解答题 8．（25-26高一下·四川成都·期中）如图，在直三棱柱中，，． (1)设，求该三棱柱体积的最大值； (2)设，且三棱柱的所有顶点都在同一个球面上，求该球的体积； (3)设，点P在上运动，求的最小值． 9．（23-24高一下·浙江·期中）已知圆锥的底面半径，高． (1)求圆锥侧面展开图圆心角（用弧度表示）； (2)球在圆锥内，圆锥在球内， （ⅰ）求球的表面积的最大值； （ⅱ）求球与球体积之比的最小值． 10．（24-25高一下·河南洛阳·期中）已知圆锥的底面半径，高. (1)求此圆锥的表面积； (2)若圆锥在球内，求球的表面积的最小值； (3)若一个棱长为的正方体木块可以在这个圆锥内任意转动，求的最大值. 11．如图，半径的球中有一内接圆柱，设圆柱的高为，底面半径为. (1)当时，求圆柱的体积与球的表面积； (2)当圆柱的轴截面的面积最大时，求与的值. 12．如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，，，，，垂足分别是D，H，G，将△ABC绕AD所在直线旋转180°． (1)由图中阴影部分旋转形成的几何体的体积记为V，当E，F分别为边AB，AC的中点时，求V； (2)由内部空白部分旋转形成的几何体侧面积记为S，当E，F分别在什么位置时，S最大？ 13．（22-23高一下·重庆九龙坡·期中）在长方体中，下底面的面积为16，. (1)求长方体的表面积的最小值； (2)在（1）的条件下，设上底面的中心为，求三棱锥的体积. 14．（25-26高一下·山东济宁·期中）如图，长方体的长、宽、高分别为x，y，2且，. (1)当底面ABCD为正方形时， （i）求长方体的表面积； （ii）求三棱锥体积和外接球体积； (2)取、的中点分别为M、N，求三棱锥的体积的最大值. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 几何体中的最值与范围问题 常考题型·精准突破 考点一 内接几何体与截面中的最值 题型1 内接几何体的面积、体积最值（高频） 题型2 截面面积的最值（重） 考点二 折叠与实际情境中的最值 题型3 折叠后的体积最值（难） 题型4 容器容积与实际情境中的最值 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 内接几何体与截面中的最值 ◆题型1 内接几何体的面积、体积最值 1．（25-26高三上·河南商丘·期末）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由的底面半径，母线长， 所以圆锥的高. 由题可设圆柱的底面半径为()，高为. 由得，即，截得. 所以圆柱的侧面积 所以当时，侧面积取得最大值为. 2．（26-27高一上·河南漯河·阶段检测）已知一个矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】长方形长加宽的和为：， 不妨设矩形的长为，则矩形的宽为， 则旋转后的圆柱的底面圆半径为，高为， 从而圆柱的侧面积为， 当且仅当时，即时，圆柱的侧面积取得最大值. 3．（25-26高二上·四川内江·阶段检测）如图，底面半径为2，高为4的圆锥内有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱的表面积为________．    【答案】 【详解】    设圆柱的半径为，高为， 则，即， 所以圆柱的侧面积为， 当时，， 此时， 圆柱的表面积为. 故答案为：. 4．（22-23高二上·四川乐山·阶段检测）（如图）在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱． (1)求圆锥的表面积和体积； (2)为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出最大值． 【详解】（1）解：, ， ； （2）解：设圆柱底面圆半径为， 显然，∽，∴， ∴时，圆柱的侧面积最大，最大值为． 5．如图，底面半径为3，高为的圆锥有一个内接的正四棱柱． (1)设正四棱柱的底面边长为x，试将棱柱的高h表示成x的函数； (2)当x取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值． 【详解】（1）如图，是圆锥的轴截面，内接矩形是正四柱的对角面， 由，可得，即， 解得 ． （2）设该正四棱柱的表面积为，则有关系式 ． ，当时，． 故当正四棱柱的底面边长为时，正四棱柱的表面积最大值为48． ◆题型2 截面面积的最值 6．（25-26高一下·浙江·期中）已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（   ） A．48 B．50 C．96 D．100 【答案】B 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为， 则，解得. 当截面过中心轴时，则，， 所以， 由三角形面积公式可得，当时，截面面积最大，最大为. 7．（25-26高一下·全国·课后作业）一个圆锥轴截面的顶角为，母线为2，过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为______． 【答案】 【详解】设过顶点作圆锥的截面顶角为， 则截面面积为 所有过顶点的截面中，轴截面的顶角最大，即 ， 因为函数 在 上单调递增， 所以当 时，截面面积取得最大值，最大值为 . 故答案为：. 8．（2024·四川资阳·二模）已知球O的体积为，点A到球心O的距离为3，则过点A的平面被球O所截的截面面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设球O的半径为R，则，解得. 因为点A到球心O的距离为3， 所以过点A的平面被球O所截的截面圆的半径的最小值为， 则所求截面面积的最小值为. 故选：C 9．（2025·山东·一模）在正三棱柱中，，为的中点，若三棱锥的四个顶点均在球上，过作球的截面，则所得截面圆面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方法一：因为，所以点在的外接圆上， 所以三棱锥的四个顶点均在球上， 即球为四棱锥的外接球， 故球心在正方形的中心，则球的半径为． 过作球的截面，当所得截面圆面积最小时， 则截面圆圆心为中点（即过作截面垂线，垂足为中点）， 所以截面圆半径为1，所以面积最小值为． 方法二：因为，所以点在的外接圆上， 所以三棱锥的四个顶点均在球上， 即球为四棱锥的外接球， 故两点在球上，所以最小截面圆为以为直径的圆． 则截面圆圆心为中点（即过作截面垂线，垂足为中点）， 所以截面圆半径为1，所以面积最小值为． 故选：B. 考点二 折叠与实际情境中的最值 ◆题型3 折叠后的体积最值 10．（2026·云南·模拟预测）如图，在直角梯形中，，，将沿直线翻折至的位置，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的外接球的表面积为_________． 【答案】 【详解】如图所示，设点到平面的距离为， 因为，且为定值， 所以当三棱锥的体积最大时，只需取得最大值， 此时平面平面，取的中点，连接． 因为且， 所以且， 因为平面平面，且平面，所以平面， 取的中点为，连接，因为平面，所以， 因为在梯形中，，， 所以，则，所以， 且，在直角中，， 在直角中，根据直角三角形的中线性质，， 所以，即为三棱锥外接球的球心， 设三棱锥外接球的半径为，则， 所以． 故答案为：. 11．（2026·湖南永州·一模）在等腰直角三角形中，斜边为斜边上的一点，沿直线将折起形成二面角．当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为___________． 【答案】 【详解】如图，为直角三角形，且 ． 设，过点作，交直线于点，则． 在中，由正弦定理，得 ． 当平面平面时，三棱锥的高最大，为． ． 设，则． ． 在区间上单调递增，． ，当时取等号，此时取得最大值，最大值为． 此时，且两两互相垂直． 三棱锥的外接球的直径为表面积为． 故答案为： ◆题型4 容器容积与实际情境中的最值 12．（22-23高一下·广东湛江·阶段检测）如图，一个正方体的容器中盛满了油后，在相邻两侧面的中心处出现了两个小孔，若恰当地将容器放置．可使流出的油量达到最小，这个最小值是正方体容器容量的（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设分别为正方体侧面的中心,取的中点分别为,连接, 将置于地面内，对角面垂直于底面时，此时油面为平行四边形，此时流出的油最少，体积为三棱锥的体积， 设正方体的棱长为1，则正方体体积为1，三棱锥的体积为，故的体积为正方体体积的， 故选：C    13．（23-24高二上·辽宁本溪·期中）将一个棱长为1的正方体放入一个圆柱内，正方体可自由转动，则该圆柱体积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，当圆柱底面直径和高刚好等于正方体的的体对角线时体积最小， 正方体的体对角线长为 所以，此时圆柱的底面半径为，高为， 所以该圆柱体积的最小值为. 故选：B. 14．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）将一个各棱长都为的正三棱柱铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为__________. 【答案】 【详解】一个棱长为的正三棱柱，要使制作成球体零件的体积最大， 则球直径不得超过侧棱，即，且半径不得超过底面内切圆半径，即， 综上可得 可能制作的最大零件的体积为. 故答案为： 15．（22-23高一下·全国·课后作业）将的矩形铁皮作为圆柱的侧面卷成一个圆柱，则圆柱的最大体积是_________． 【答案】 【详解】当矩形的边长4作为圆柱的底面周长时，圆柱的高为6 ， 设底面半径为，由可得，此时圆柱的体积为. 当矩形的边长6作为圆柱的底面周长时，圆柱的高为4 ， 设底面半径为，由可得， 此时圆柱的体积为， 故圆柱的最大体积为. 故答案为：. 16．如图，用一块钢锭浇筑一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器，设容器的高为h米，盖子的边长为a米． (1)求a关于h的函数解析式； (2)当h为何值时，容器的容积V最大？并求出V的最大值． 【详解】（1）连接AC，BD，交点为O，则PO即为正四棱锥的高， 取CD的中点E，连接OE，EP，则， 由勾股定理得：， 由题意得：， 整理得： （2）， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 故. 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．（25-26高一下·福建福州·期末）一个圆台的轴截面周长为4，则该圆台侧面积的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆台上、下底面半径分别为、，母线长为，则轴截面是等腰梯形， 周长为即. 由题意得 ∴圆台侧面积为， 当且仅当，即时，等号成立. 圆台侧面积的最大值为. 2．（2025·山东·模拟预测）已知圆柱的侧面展开图的周长为定值，则该圆柱的侧面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆柱的侧面展开图为矩形，设矩形的长宽分别为， 则，圆柱的侧面积为：. 由 （当且仅当时取“”）. 故选：D 二、填空题 3．（25-26高一下·江苏泰州·阶段检测）已知三棱锥，平面，，交于点，交于点，，记三棱锥，四棱锥的外接球的表面积分别为，，当三棱锥体积最大时，__________． 【答案】 【详解】由，，取中点， 则， 故是三棱锥的外接球的球心，且其半径， 由平面，平面，所以， 又，平面，且， 故平面，又平面， 故，， 又，且平面，， 故平面，又平面， 故，， 又，平面，， 所以平面，又平面，故， 又，故， 连接，取中点，则为四边形外接圆的圆心， 连接点与中点，则，又平面， 故平面，即平面， 又，故为四棱锥的外接球的球心，其半径， 由平面，故， ， 由，故，有 则，当且仅当时，等号成立， 故三棱锥体积最大时，有， 因为，则， 由，，则， 则有，解得：， 故，则. 4．（25-26高二上·上海宝山·期末）如图，在棱长为2的正方体中，有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体，有1个以正方体体心为球心的球体O，O与均相切，则该9部分的体积和的范围是________． 【答案】 【详解】设球体的半径为，半径为， 所以，即得， 可得，所以， ，此为关于的二次函数，开口向下，对称轴为， 所以， 该9部分的体积和为 ， 所以． 5．（25-26高一下·山西太原·期末）在三棱锥中，，，，，当三棱锥的体积最大时，则其外接球表面积为_____________． 【答案】 【详解】 体积最大时，可知平面，则， 因为，，，所以，的外接圆以中点为圆心，且. 中，因为，所以，外接圆半径，圆心为. 取中点，，，求得. 令球心为，因为平面平面，平面平面，且，所以. 因平面，平面，组成矩形， 所以，故球半径， 所以表面积. 6．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知长方体的外接球的表面积为，，点在四边形内含边界，且直线与平面所成角的正切值为，则长方体的体积最大时，三棱锥体积的最小值为______. 【答案】 【详解】设长方体的外接球的半径为，则，即， 设，，， 则，即，所以， 而长方体的体积，当且仅当时，等号成立， 所以长方体的体积最大时，，即， 所以，，， 连接，，交于点，连接，则， 由长方体的性质知，平面， 因为平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以就是直线与平面所成角，即， 在中，，，所以， 即点的轨迹是在四边形内含边界，以为圆心，为半径的半圆， 过点作于点， 因为，所以， 所以半圆上的点到距离的最小值为， 所以三棱锥体积， 即三棱锥体积的最小值为 故答案为： 7．（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）已知正三棱锥的表面积是其底面积的4倍，在该正三棱锥里面可以任意转动的正方体的最大棱长为2，则正三棱锥的高为________. 【答案】 【详解】因为正三棱锥的表面积是其底面积的4倍，易知正三棱锥为正四面体， 若正方体可以在正四面体内任意转动，则正方体在正四面体的内切球中， 当正方体的棱长最大时，正四面体的内切球就是正方体的外接球， 因为正方体的最大棱长为2，所以正方体的体对角线为，正四面体的内切球半径为， 设正四面体一个面的面积为，高为， 由等体积法得，解得. 故答案为： 三、解答题 8．（25-26高一下·四川成都·期中）如图，在直三棱柱中，，． (1)设，求该三棱柱体积的最大值； (2)设，且三棱柱的所有顶点都在同一个球面上，求该球的体积； (3)设，点P在上运动，求的最小值． 【详解】（1）直三棱柱中，侧棱底面，高，. 三棱柱体积. 在中，由余弦定理， 即. 由基本不等式，得，当且仅当时取等号. 因此，所以，即三棱柱体积的最大值是. （2）直三棱柱外接球直径满足，其中是底面的外接圆半径， 由正弦定理，代入，，得，即， 因此，得， 球体积. （3）将平面沿展开，与平面共面，的最小值为展开后线段的长度： 由，得，中； 由，得，又，故是等边三角形，； 展开后，故， 即的最小值是. 9．（23-24高一下·浙江·期中）已知圆锥的底面半径，高． (1)求圆锥侧面展开图圆心角（用弧度表示）； (2)球在圆锥内，圆锥在球内， （ⅰ）求球的表面积的最大值； （ⅱ）求球与球体积之比的最小值． 【详解】（1）记圆锥的母线长为 则 则 （2）（ⅰ）当球的表面积最大时，此时球为圆锥的内切球    记球的最大半径为，如图画出截面图，则 所以． 所以球的表面积的最大值为 （ⅱ）球与球体积之比最小，即球体积最小，球体积最大    如图所示，以为直径的球可以包含圆锥，且此时为能包含圆锥的最小球， 记球的最小半径为，则 法一：则球的最小体积为 由（ⅰ）球的最大体积为． 所以球与球体积之比的最小值为 法二： 所以球与球体积之比的最小值为 10．（24-25高一下·河南洛阳·期中）已知圆锥的底面半径，高. (1)求此圆锥的表面积； (2)若圆锥在球内，求球的表面积的最小值； (3)若一个棱长为的正方体木块可以在这个圆锥内任意转动，求的最大值. 【详解】（1）因为，所以母线长， 圆锥的底面圆面积为， 圆锥的侧面面积为， 则圆锥的表面积为； （2）当球的表面积最小时，其轴截面如图：    设球的半径为，在中，由勾股定理得，解得， 所以球表面积的最小值为； （3）正方体的外接球在圆锥内，且与圆锥相切时最大，      设球心为，球心在上，作于， 设球半径为，， 由得，，解得， 又，解得，即的最大值为. 11．如图，半径的球中有一内接圆柱，设圆柱的高为，底面半径为. (1)当时，求圆柱的体积与球的表面积； (2)当圆柱的轴截面的面积最大时，求与的值. 【详解】（1）解：取中点，连接. 当时，，所以，，， 所以，球的表面积为，圆柱的体积为. （2）解：，所以，， 所以，圆柱的轴截面的面积， 当且仅当，即，时取等号，此时. 12．如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，，，，，垂足分别是D，H，G，将△ABC绕AD所在直线旋转180°． (1)由图中阴影部分旋转形成的几何体的体积记为V，当E，F分别为边AB，AC的中点时，求V； (2)由内部空白部分旋转形成的几何体侧面积记为S，当E，F分别在什么位置时，S最大？ 【详解】（1）解：由圆锥与圆柱的定义可知，将绕AD旋转180°， 阴影部分旋转后的几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为，圆柱的底面半径为1，高为． 因此阴影部分形成的几何体的体积为 ． （2）解：设，，则，， 此时，． 当且仅当时等号成立，即E，F分别为AB，AC的中点时S最大． 13．（22-23高一下·重庆九龙坡·期中）在长方体中，下底面的面积为16，. (1)求长方体的表面积的最小值； (2)在（1）的条件下，设上底面的中心为，求三棱锥的体积. 【详解】（1）设，，由题意可知，， 则长方体的表面积， 当时，等号成立， 所以长方体表面积的最小值为96； （2）由（1）可知，， 根据等体积公式可知，. 14．（25-26高一下·山东济宁·期中）如图，长方体的长、宽、高分别为x，y，2且，. (1)当底面ABCD为正方形时， （i）求长方体的表面积； （ii）求三棱锥体积和外接球体积； (2)取、的中点分别为M、N，求三棱锥的体积的最大值. 【详解】（1）（i）因为底面ABCD为正方形，所以， 则长方体的表面积为； （ii）由图和已知， ， 故三棱锥体积为， 由题可知，三棱锥的外接球即长方体的外接球， 设该外接球的半径为R，则， 因此三棱锥外接球体积； （2）因为M、N分别为、的中点， 所以， 则 ， 当且仅当时，等号成立，即三棱锥的体积的最大值为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 几何体中的最值与范围问题 常考题型·精准突破 考点一 内接几何体与截面中的最值 ◆题型1 内接几何体的面积、体积最值 1．【答案】C 【详解】由的底面半径，母线长， 所以圆锥的高. 由题可设圆柱的底面半径为()，高为. 由得，即，截得. 所以圆柱的侧面积 所以当时，侧面积取得最大值为. 2．【答案】B 【详解】长方形长加宽的和为：， 不妨设矩形的长为，则矩形的宽为， 则旋转后的圆柱的底面圆半径为，高为， 从而圆柱的侧面积为， 当且仅当时，即时，圆柱的侧面积取得最大值. 3．【答案】 【详解】    设圆柱的半径为，高为， 则，即， 所以圆柱的侧面积为， 当时，， 此时， 圆柱的表面积为. 故答案为：. 4．【详解】（1）解：, ， ； （2）解：设圆柱底面圆半径为， 显然，∽，∴， ∴时，圆柱的侧面积最大，最大值为． 5．【详解】（1）如图，是圆锥的轴截面，内接矩形是正四柱的对角面， 由，可得，即， 解得 ． （2）设该正四棱柱的表面积为，则有关系式 ． ，当时，． 故当正四棱柱的底面边长为时，正四棱柱的表面积最大值为48． ◆题型2 截面面积的最值 6．【答案】B 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为， 则，解得. 当截面过中心轴时，则，， 所以， 由三角形面积公式可得，当时，截面面积最大，最大为. 7．【答案】 【详解】设过顶点作圆锥的截面顶角为， 则截面面积为 所有过顶点的截面中，轴截面的顶角最大，即 ， 因为函数 在 上单调递增， 所以当 时，截面面积取得最大值，最大值为 . 故答案为：. 8．【答案】C 【详解】设球O的半径为R，则，解得. 因为点A到球心O的距离为3， 所以过点A的平面被球O所截的截面圆的半径的最小值为， 则所求截面面积的最小值为. 故选：C 9．【答案】B 【详解】方法一：因为，所以点在的外接圆上， 所以三棱锥的四个顶点均在球上， 即球为四棱锥的外接球， 故球心在正方形的中心，则球的半径为． 过作球的截面，当所得截面圆面积最小时， 则截面圆圆心为中点（即过作截面垂线，垂足为中点）， 所以截面圆半径为1，所以面积最小值为． 方法二：因为，所以点在的外接圆上， 所以三棱锥的四个顶点均在球上， 即球为四棱锥的外接球， 故两点在球上，所以最小截面圆为以为直径的圆． 则截面圆圆心为中点（即过作截面垂线，垂足为中点）， 所以截面圆半径为1，所以面积最小值为． 故选：B. 考点二 折叠与实际情境中的最值 ◆题型3 折叠后的体积最值 10．【答案】 【详解】如图所示，设点到平面的距离为， 因为，且为定值， 所以当三棱锥的体积最大时，只需取得最大值， 此时平面平面，取的中点，连接． 因为且， 所以且， 因为平面平面，且平面，所以平面， 取的中点为，连接，因为平面，所以， 因为在梯形中，，， 所以，则，所以， 且，在直角中，， 在直角中，根据直角三角形的中线性质，， 所以，即为三棱锥外接球的球心， 设三棱锥外接球的半径为，则， 所以． 故答案为：. 11．【答案】 【详解】如图，为直角三角形，且 ． 设，过点作，交直线于点，则． 在中，由正弦定理，得 ． 当平面平面时，三棱锥的高最大，为． ． 设，则． ． 在区间上单调递增，． ，当时取等号，此时取得最大值，最大值为． 此时，且两两互相垂直． 三棱锥的外接球的直径为表面积为． 故答案为： ◆题型4 容器容积与实际情境中的最值 12．【答案】C 【详解】设分别为正方体侧面的中心,取的中点分别为,连接, 将置于地面内，对角面垂直于底面时，此时油面为平行四边形，此时流出的油最少，体积为三棱锥的体积， 设正方体的棱长为1，则正方体体积为1，三棱锥的体积为，故的体积为正方体体积的， 故选：C    13．【答案】B 【详解】由题意知，当圆柱底面直径和高刚好等于正方体的的体对角线时体积最小， 正方体的体对角线长为 所以，此时圆柱的底面半径为，高为， 所以该圆柱体积的最小值为. 故选：B. 14．【答案】 【详解】一个棱长为的正三棱柱，要使制作成球体零件的体积最大， 则球直径不得超过侧棱，即，且半径不得超过底面内切圆半径，即， 综上可得 可能制作的最大零件的体积为. 故答案为： 15．【答案】 【详解】当矩形的边长4作为圆柱的底面周长时，圆柱的高为6 ， 设底面半径为，由可得，此时圆柱的体积为. 当矩形的边长6作为圆柱的底面周长时，圆柱的高为4 ， 设底面半径为，由可得， 此时圆柱的体积为， 故圆柱的最大体积为. 故答案为：. 16．【详解】（1）连接AC，BD，交点为O，则PO即为正四棱锥的高， 取CD的中点E，连接OE，EP，则， 由勾股定理得：， 由题意得：， 整理得： （2）， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 故. 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．B 2．D 二、填空题 3．【答案】 【详解】由，，取中点， 则， 故是三棱锥的外接球的球心，且其半径， 由平面，平面，所以， 又，平面，且， 故平面，又平面， 故，， 又，且平面，， 故平面，又平面， 故，， 又，平面，， 所以平面，又平面，故， 又，故， 连接，取中点，则为四边形外接圆的圆心， 连接点与中点，则，又平面， 故平面，即平面， 又，故为四棱锥的外接球的球心，其半径， 由平面，故， ， 由，故，有 则，当且仅当时，等号成立， 故三棱锥体积最大时，有， 因为，则， 由，，则， 则有，解得：， 故，则. 4．【答案】 【详解】设球体的半径为，半径为， 所以，即得， 可得，所以， ，此为关于的二次函数，开口向下，对称轴为， 所以， 该9部分的体积和为 ， 所以． 5．【答案】 【详解】 体积最大时，可知平面，则， 因为，，，所以，的外接圆以中点为圆心，且. 中，因为，所以，外接圆半径，圆心为. 取中点，，，求得. 令球心为，因为平面平面，平面平面，且，所以. 因平面，平面，组成矩形， 所以，故球半径， 所以表面积. 6．【答案】 【详解】设长方体的外接球的半径为，则，即， 设，，， 则，即，所以， 而长方体的体积，当且仅当时，等号成立， 所以长方体的体积最大时，，即， 所以，，， 连接，，交于点，连接，则， 由长方体的性质知，平面， 因为平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以就是直线与平面所成角，即， 在中，，，所以， 即点的轨迹是在四边形内含边界，以为圆心，为半径的半圆， 过点作于点， 因为，所以， 所以半圆上的点到距离的最小值为， 所以三棱锥体积， 即三棱锥体积的最小值为 故答案为： 7．【答案】 【详解】因为正三棱锥的表面积是其底面积的4倍，易知正三棱锥为正四面体， 若正方体可以在正四面体内任意转动，则正方体在正四面体的内切球中， 当正方体的棱长最大时，正四面体的内切球就是正方体的外接球， 因为正方体的最大棱长为2，所以正方体的体对角线为，正四面体的内切球半径为， 设正四面体一个面的面积为，高为， 由等体积法得，解得. 故答案为： 三、解答题 8．【详解】（1）直三棱柱中，侧棱底面，高，. 三棱柱体积. 在中，由余弦定理， 即. 由基本不等式，得，当且仅当时取等号. 因此，所以，即三棱柱体积的最大值是. （2）直三棱柱外接球直径满足，其中是底面的外接圆半径， 由正弦定理，代入，，得，即， 因此，得， 球体积. （3）将平面沿展开，与平面共面，的最小值为展开后线段的长度： 由，得，中； 由，得，又，故是等边三角形，； 展开后，故， 即的最小值是. 9．【详解】（1）记圆锥的母线长为 则 则 （2）（ⅰ）当球的表面积最大时，此时球为圆锥的内切球    记球的最大半径为，如图画出截面图，则 所以． 所以球的表面积的最大值为 （ⅱ）球与球体积之比最小，即球体积最小，球体积最大    如图所示，以为直径的球可以包含圆锥，且此时为能包含圆锥的最小球， 记球的最小半径为，则 法一：则球的最小体积为 由（ⅰ）球的最大体积为． 所以球与球体积之比的最小值为 法二： 所以球与球体积之比的最小值为 10．【详解】（1）因为，所以母线长， 圆锥的底面圆面积为， 圆锥的侧面面积为， 则圆锥的表面积为； （2）当球的表面积最小时，其轴截面如图：    设球的半径为，在中，由勾股定理得，解得， 所以球表面积的最小值为； （3）正方体的外接球在圆锥内，且与圆锥相切时最大，      设球心为，球心在上，作于， 设球半径为，， 由得，，解得， 又，解得，即的最大值为. 11．【详解】（1）解：取中点，连接. 当时，，所以，，， 所以，球的表面积为，圆柱的体积为. （2）解：，所以，， 所以，圆柱的轴截面的面积， 当且仅当，即，时取等号，此时. 12．【详解】（1）解：由圆锥与圆柱的定义可知，将绕AD旋转180°， 阴影部分旋转后的几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为，圆柱的底面半径为1，高为． 因此阴影部分形成的几何体的体积为 ． （2）解：设，，则，， 此时，． 当且仅当时等号成立，即E，F分别为AB，AC的中点时S最大． 13．【详解】（1）设，，由题意可知，， 则长方体的表面积， 当时，等号成立， 所以长方体表面积的最小值为96； （2）由（1）可知，， 根据等体积公式可知，. 14．【详解】（1）（i）因为底面ABCD为正方形，所以， 则长方体的表面积为； （ii）由图和已知， ， 故三棱锥体积为， 由题可知，三棱锥的外接球即长方体的外接球， 设该外接球的半径为R，则， 因此三棱锥外接球体积； （2）因为M、N分别为、的中点， 所以， 则 ， 当且仅当时，等号成立，即三棱锥的体积的最大值为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $