第5章 第1讲 平面向量的概念及线性运算 课后达标检测(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

**基本信息** 高中数学一轮复习向量专项训练，以题载法构建从线性运算到几何应用的完整逻辑链，强化直观想象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|3题|向量加减、共线条件应用|从代数表示到共线定理的推导| |几何应用|5题|多边形、三角形重心相关问题|向量运算与平面几何性质融合| |综合应用|6题|模长计算、轨迹判定、跨知识结合|从静态关系到动态问题的拓展|

一、单选题 1．在正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　) A．0 B． C． D． 解析：选B．＋＋＝＋＋＝. 2．(2026·广州模拟)已知向量a，b不共线，λa＋b与3a＋2b共线，则实数λ的值为(　　) A． B．2 C．6 D．－ 解析：选A．因为λa＋b与3a＋2b共线，所以＝，解得λ＝. 3．在四边形ABCD中，已知＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　) A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．正方形 解析：选C．由已知得＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，所以∥.易知与不平行，所以四边形ABCD是梯形． 4．(2026·邵阳模拟)设D为△ABC所在平面内一点，＝－＋.若＝λ(λ∈R)，则实数λ的值为(　　) A．4 B．5 C．－4 D．－5 解析：选D．＝－＋＝－＋＋，所以－＝－(－)，即＝－，即＝－5，即λ＝－5. 5．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为边AB，BC上的点，且AM＝MB，CN＝2NB，记＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b B．a－b C．a＋b D．－a＋b 解析：选A．因为＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a，所以＝＝b－a，又＝＝a，所以＝＋＝a＋b－a＝a＋b. 6．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，满足－4＋3＝0，则＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A．由－4＋3＝0，得－＝3(－)，即＝3， 所以＝3，所以||＝||， 因为＝＋＝＋＝， 所以||＝||， 所以＝＝. 7．已知点O为△ABC内一点，满足＋3＝λ，若S△AOB＝S△ABC，则λ＝(　　) A．－2 B．－ C． D．2 解析：选B．如图，设＝3，作平行四边形OAME，对角线OM与底边AB相交于点F，则＋3＝＋＝＝λ，则O，C，M三点共线，因为△OBF∽△MAF，故＝＝，则＝，又S△AOB＝S△ABC，故＝，则＝－3，所以＝4＝4×＝－，即λ＝－. 8．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的图象与直线y＝a(a＞0)的三个相邻交点为A，B，C，且满足＝.则a＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B．设A，B，C三点所对应的横坐标分别为xA，xB，xC，令ωxA＋φ＝θ， 所以ωxB＋φ＝π－θ，ωxC＋φ＝2π＋θ， 由＝，所以xB－xA＝(xC－xB)， 即＝·， 解得θ＝，所以a＝sin θ＝sin ＝. 二、多选题 9．下列关于向量的说法正确的是(　　) A．向量a，b共线的充要条件是存在实数λ，使得b＝λa成立 B．非零向量a，b，c满足a∥b，b∥c，则a∥c C．对任意向量a，b，|a－b|≤||a|－|b||恒成立 D．在△OAB中，C为边AB上一点，且AC∶CB＝2∶3，则＝＋ 解析：选BD．对于A，当a＝0，b≠0时，向量a，b共线，但是不存在实数λ，使得b＝λa成立，A错误；对于B，因为非零向量a，b，c，所以根据共线向量的定义可知，若a∥b，b∥c，则a∥c，B正确；对于C，根据向量的三角不等式，||a|－|b||≤|a－b|恒成立，C错误；对于D，因为AC∶CB＝2∶3，所以＝，即－＝(－)，整理得＝＋，D正确． 10．正五角星与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以P，Q，R，S，T为顶点的多边形为正五边形且＝，则(　　) A．－＝ B．＋＝ C．－＝ D．＋＝ 解析：选AC．在正五角星中，以P，Q，R，S，T为顶点的多边形为正五边形，且＝.对于A，－＝－＝＝，A正确；对于B，＋＝＋＝＝，B错误；对于C，－＝－＝＝，C正确；对于D，＋＝＋，＝＝－＝＋，D错误． 11．已知△ABC是边长为2的正三角形，该三角形重心为点G，点P为△ABC所在平面内任一点，下列等式一定成立的是(　　) A．＝2 B．＋＝ C．＋＝ D．＝ 解析：选BCD． 如图所示，设△ABC的三边中点分别为D，E，F，则＋＝2，所以＝2＝2××2＝2，A错误；＋＝成立，B正确；由点G为三角形重心，可知＝2，所以＋＝2＝，C正确；＋＝－＝－2，所以|＋|＝2＝2＝，D正确． 三、填空题 12．已知四边形ABCD为菱形，其中∠ABC＝120°，||＝1，则|－|＝________． 解析：连接BD，由题意得△ABD为边长为1的等边三角形， 所以|－|＝|＋|＝||＝1. 答案：1 13．已知O是△ABC所在平面上的一定点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的__________(从“重心”“垂心”“外心”“内心”中选择). 解析：由＝＋λ(＋)，则＝λ(＋)， 取BC的中点为D，如图， 可得＝2λ，所以动点P必定在△ABC的中线所在直线上，即点P的轨迹一定通过△ABC的重心． 答案：重心 14．若a，b是两个不共线的向量，若＝2a＋kb，＝a＋b，＝2a＋b，且A，C，D三点共线，则实数k的值为________． 解析：由题意可得＝＋＝＋＝3a＋(k＋1)b，因为A，C，D三点共线，则∥，则存在实数λ，使得＝λ，即3a＋(k＋1)b＝λ，因为a，b是两个不共线的向量，所以解得 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $