第5章 第1讲 平面向量的概念及线性运算 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦平面向量线性运算与几何应用，以"概念辨析-定理应用-几何建模"为逻辑主线，通过分层题型构建从基础到综合的解题方法体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|3题|向量加法三角形法则、减法几何意义|从向量定义到线性运算律的生成过程| |共线与位置关系|4题|共线向量判定定理、参数系数法|向量共线条件与点共线问题的转化逻辑| |几何应用|5题|中点公式、重心性质、参数方程法|平面图形中向量表示的几何直观构建| |综合问题|2题|方程思想、参数范围确定|向量工具与平面几何的综合应用逻辑|

1．在正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　) A．0 B． C． D． 解析：选B.＋＋＝＋＋＝. 2．已知点P为△OAB所在平面内一点，且＝＋，则(　　) A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的延长线上 C．点P在线段AB的反向延长线上 D．点P在射线AB上 解析：选D.由＝＋，得－＝＝，所以点P在射线AB上． 3．已知四边形ABCD是平行四边形，＝2，＝2，记＝a，＝b，则＝(　　) A．－a＋b B．－a－b C．a＋b D．a－b 解析：选A.如图， 在平行四边形ABCD中，＝2，＝2，＝a，＝b，所以＝－＝－＝－a＋b. 4．设a，b是两个非零向量，则下列描述正确的有(　　) A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ＞0，使得a＝λb B．若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b反向 C．若|a＋b|＝|a|＋|b|，则a与b反向 D．若a∥b，则|a＋b|＞|a－b| 解析：选B.对于A，当|a＋b|＝|a|－|b|时，由向量加法的意义知a，b方向相反，且|a|≥|b|，则存在实数λ≤－1，使得a＝λb，故A错误；对于B，当|a－b|＝|a|＋|b|时，由向量减法的意义知a，b方向相反，故B正确；对于C，当|a＋b|＝|a|＋|b|时，由向量加法的意义知a，b方向相同，故C错误；对于D，当a∥b时，a与b同向或反向，当a与b同向时，|a＋b|>|a－b|，当a与b反向时，|a－b|>|a＋b|，故D错误． 5．如图，在△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，点E在线段AD上，且AD＝3AE，则用向量，表示＝(　　) A．＋ B．－ C．＋ D．－ 解析：选B.由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得＝－＝－＝(＋)－＝[＋(－)]－＝－. 6．(多选)已知4－3＝，则下列结论正确的是(　　) A．A，B，C，D四点共线 B．C，B，D三点共线 C．||＝|| D．||＝3|| 解析：选BD.因为4－3＝，所以3－3＝－，所以3＝，因为，有公共点B，所以C，B，D三点共线，且||＝3||，所以B，D正确，A错误；由4－3＝，得＝3－3＋＝3＋，所以||≠||，所以C错误． 7．如图所示，已知B＝30°，∠AOB＝90°，点C在AB上，OC⊥AB，若用和来表示向量，则＝________． 解析：由题意易知＝，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋. 答案：＋ 8．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为____________． 解析：＋－2＝(－)＋(－)＝＋，－＝＝－，所以|＋|＝|－|.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形． 答案：直角三角形 9．(13分)如图，在△OBC中，点A是线段BC的中点，点D是线段OB上靠近点B的三等分点，设＝a，＝b. (1)用向量a与b表示向量，；(6分) (2)若＝，判断C，D，E三点是否共线，并说明理由．(7分) 解：(1)因为点A是线段BC的中点，点D是线段OB上靠近点B的三等分点，所以＝－，＝2，＝.因为＝a，＝b，所以＝＋＝－－＝－a－b，＝＋＝2＋＝2＋(＋)＝＋＝a＋b. (2)C，D，E三点不共线．理由如下：因为＝，所以＝＋＝＋＝－－＝a＋b－b＝a＋b.由(1)知＝a＋b，所以不存在实数λ，使得＝λ，所以C，D，E三点不共线． 10．已知△ABC所在平面内一点D满足＋＋＝0，则△ABC的面积是△ABD面积的(　　) A．5倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍 解析：选A. 设AB的中点为M，因为＋＋＝0， 所以＝2(＋)， 所以＝4， 所以点D是线段CM上靠近点M的五等分点，所以＝＝5， 所以△ABC的面积是△ABD面积的5倍． 11．已知M，N分别为平行四边形ABCD的边BC，CD的中点，若点P满足6＋5＝4，则＝________． 解析：因为6＋5＝4， 则6＝4－4－＝4＋， 所以＝＋. 又＝＋＝＋＋(＋)＋＝－＝， ＝＋＝＋＝， 所以＝. 答案： 12．已知点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋t(t∈R)，若点P在△ABC的内部(不包含边界)，则实数t的取值范围是________． 解析： ＝＋t，其中t为实数，当点P在线段BC上时，由B，P，C三点共线得＝＋，如图，在AB上取一点D，使得＝，在AC上取一点E，使得＝， 又＝＋t，点P在△ABC的内部(不包含边界)，所以0＜t＜. 答案：(0，) 13．(15分)经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n(m>0，n>0). (1)证明：＋为定值；(7分) (2)求m＋n的最小值．(8分) 解：(1)证明：设＝a，＝b，因为点G是△OAB的重心，所以＝×(a＋b)＝(a＋b)，＝－＝nb－ma，＝－＝(a＋b)－ma＝(－m)a＋b，因为G，P，Q三点共线，所以存在实数λ(λ≠0)，使得＝λ， 即nb－ma＝λ[(－m)a＋b]， 所以有得＋＝3. (2)因为m>0，n>0， 所以m＋n＝(m＋n)(＋) ＝(2＋＋)≥(2＋2)＝， 当且仅当＝，即m＝n＝时取等号，所以m＋n的最小值为. 14．赵爽是 我国古代著名的数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．类比“赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且DF＝AF，点P在AB上，BP＝2AP，点Q是△DEF内(含边界)一点，若＝λ＋，则λ的最大值为________． 解析：因为 ＝λ＋，所以－＝＝λ，则AQ∥DP. 取DE的中点H，连接AH，因为BD＝AF＝DF＝DE，所以BD＝2HD，又BP＝2AP，所以＝＝，故DP∥AH，且＝，所以λ的最大值为，此时点Q与点H重合． 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $