第2章 第12讲 函数模型及应用 课后达标检测(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

**基本信息** 聚焦函数模型在实际情境中的应用，以题载理构建从一次函数到分段函数的知识逻辑链，强化数学建模与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数应用|1题|工资计算，线性关系建立|从基础函数表达式切入，培养抽象能力| |指数对数应用|3题|杂质过滤、声音等级、抗生素残留，含不等式求解|结合指数对数性质，发展运算与推理意识| |分段函数应用|4题|跳水轨迹、手机续航、合金性能、梯形面积，多情境综合|整合不同函数类型，提升数据观念与应用意识| |综合应用|4题|设备盈利、污染指数、光伏保有量、充电桩增长，含实际决策|深化函数模型构建与分析，强化理性思维与创新意识|

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪1 000元，每工作1小时获取30元．从该快餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为x小时，获取的税前月工资为y元，则x与y之间的关系式为(　　) A．y＝30x－1 000 B．y＝3x＋1 000 C．y＝30x＋1 000 D．y＝3x－1 000 解析：选C.由题意得y＝30x＋1 000. 2．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每过滤一次可使水中杂质减少50%，若要使水中杂质减少到原来的2%以下，则至少需要过滤(　　) A．4次 B．5次 C．6次 D．7次 解析：选C.每过滤一次可使水中杂质减少50%，设要使水中杂质减少到原来的2%以下至少需要过滤n次，则n<2%⇒n<⇒2n>50.又n∈N*，所以n≥6，n∈N*. 3．人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足d(x)＝10·lg .一般两人正常交谈时，声音的等级约为60 dB，燃放烟花爆竹时声音的等级约为150 dB，若燃放烟花爆竹时声音强度为b，两人正常交谈时声音强度为a，则lg ＝(　　) A．3 B．5 C．8 D．9 解析：选D.依题意，d(a)＝10·lg ＝60，则lg a＋12＝6，解得lg a＝－6， d(b)＝10·lg ＝150，则lg b＋12＝15，解得lg b＝3，所以lg ＝lg b－lg a＝9. 4．(多选)(2026·榆林月考) 2025年11月7日，在第十五届全国运动会跳水男子双人10米跳台决赛中，陕西队队员以461.82分的成绩勇夺冠军，为陕西代表团摘得本次全运会首枚跳水金牌．如图是10 m跳水运动员在下降过程中的位置变化示意图，已知运动员入水前后的运动轨迹可分别视为两段高度h(单位：m)关于水平位移x(单位：m)的函数，且h＝则下列说法正确的有(　　) A．x0＝2 B．k＝4 C．最大高度为11.25 m D．最大高度差为15.21 m 解析：选ACD.对于A，由题可知，入水时的坐标为(x0，0)，即4×0.1x0－2－4＝0，解得x0＝2，正确；对于B，将点(2，0)代入h＝－kx2＋kx＋10得－4k＋2k＋10＝0，解得k＝5，错误；对于C，当0≤x<2时，h＝－5x2＋5x＋10＝－5(x－)2＋，当x＝时，hmax＝＝11.25 m，正确；对于D，易知x＝4时，hmin＝4×0.14-2－4＝－3.96 m，所以最大高度差为11.25－(－3.96)＝15.21 m，正确． 5．(多选)某智能手机生产厂家对其旗下的某款手机的续航能力进行了一轮测试(一轮测试时长为6 h)，得到了剩余电量y(单位：%)与测试时间t(单位：h)的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有(　　) A．测试结束时，该手机剩余电量为85% B．该手机在前5 h内电量始终在匀速下降 C．该手机在0～3 h内电量下降的速度比在3～5 h内下降的速度更慢 D．该手机在5～6 h进行了充电操作 解析：选AD.对于A，由题图可得，当t＝6时，y＝85%，所以测试结束时，该手机剩余电量为85%，故A正确； 对于B，当t∈[0，5]时，函数图象不是一条直线，故不是匀速下降，故B错误； 对于C，由题图可得，在0～3 h内电量下降的速度为＝，在3～5 h内电量下降的速度为＝10，因为>10，所以该手机在0～3 h内电量下降的速度比在3～5 h内下降的速度更快，故C错误； 对于D，由题图可得该手机在5～6 h电量上升了55%，所以进行了充电操作，故D正确． 6．某工厂年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，使用该设备后，每年的总收入预计为50万元．设使用x年后该设备的维修、保养费用为2x2＋5x(x∈N*)万元，盈利总额为y万元．(1)y与x之间的函数关系式为____________；(2)从第__________年开始，使用该设备开始盈利． 解析：(1)由已知可得，y＝50x－100－(2x2＋5x)＝－2x2＋45x－100，x∈N*. (2)当y>0时，开始盈利，即－2x2＋45x－100>0， 整理得2x2－45x＋100<0，解得<x<20. 又因为x∈N*，即从第3年开始盈利． 答案：(1)y＝－2x2＋45x－100，x∈N*　(2)3 7．抗生素主要有抑菌与杀菌的作用，但抗生素的大量使用容易导致其通过直接或间接的途径进入环境，进而造成环境污染、危害生物体健康．已知水中某生物体内抗生素的残留量y(单位：mg)与时间t(单位：年)近似满足关系式y＝λ(1－e－λt)，λ≠0，其中λ为抗生素的残留系数，当t＝10时，y＝λ，则λ的值约为________(参考数据：ln 2≈0.7). 解析：由题可知，y＝λ(1－e－λt)，将t＝10，y＝λ代入上式，所以λ＝λ(1－e-10λ)，即e-10λ＝，解得λ＝≈＝0.14. 答案：0.14 8．(13分)某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y(y值越大产品的性能越好)与这种新合金材料的含量x(单位：克)的关系：当0≤x<7时，y是x的二次函数；当x≥7时，y＝()x－m.测得的部分数据如表所示． x 0 2 6 10 … y －4 8 8 … (1)求y关于x的函数关系式；(6分) (2)求该新合金材料的含量x为何值时产品的性能达到最佳．(7分) 解：(1)当0≤x<7时，y是x的二次函数，设y＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由题意得解得 即y＝－x2＋8x－4(0≤x<7). 当x≥7时，y＝()x－m，由x＝10，y＝可得m＝8，即y＝()x-8(x≥7). 综上可得，y＝ (2)当0≤x<7时，y＝－x2＋8x－4＝－(x－4)2＋12，即当x＝4时，y取得最大值12； 当x≥7时，y＝()x-8单调递减，即当x＝7时，y取得最大值3. 综上所述，该新合金材料的含量x为4时，产品的性能达到最佳． 9．如图，梯形OABC是上底为，下底为3，高为的等腰梯形，记梯形OABC位于直线x＝t(0<t≤3)左侧的阴影部分的面积为f(t)，则y＝f(t)的大致图象是(　　) 解析：选A.根据题意可知在梯形OABC中，∠AOC＝∠OCB＝45°；当0<t≤时，阴影部分为等腰直角三角形，其面积为f(t)＝t2； 当<t<2时，阴影部分为等腰直角三角形加上一个矩形，其面积为f(t)＝×()2＋(t－)＝t－1； 当2≤t≤3时，阴影部分面积为整个梯形面积减去右侧空白部分面积，即f(t)＝×(＋3)×－(3－t)2＝－t2＋3t－5，所以 f(t)＝ 根据函数类型对比选项可得A正确． 10．(多选)(2026·南昌调研)某化工厂每天中的污水污染指数f(x)与时间x(h)的函数关系式为f(x)＝|log25(x＋1)－a|＋2a＋1，x∈[0，24]，其中a为污水治理调节参数，且a∈(0，1).规定以每天中f(x)的最大值作为当天的污水污染指数，则使该厂每天的污水污染指数不超过3的a的取值可以为(　　) A． B． C． D． 解析：选AB.设t＝log25(x＋1)，则当0≤x≤24时，0≤t≤1，可得g(t)＝|t－a|＋2a＋1，t∈[0，1]，则g(t)＝显然g(t)在[0，a)上单调递减，在[a，1]上单调递增，则f(x)max＝max{g(0)，g(1)}．g(0)＝3a＋1，g(1)＝a＋2，则解得a≤，又a∈(0，1)，所以调节参数a应控制在内． 11．(2026·武汉模拟)为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年年底光伏太阳能板的保有量y(单位：万块)满足模型y＝，其中N为饱和度，y0为初始值，p为年增长率．若该地区2025年年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为10%，饱和度为1 020万块，那么2031年年底该地区光伏太阳能板的保有量约为________万块．(结果四舍五入保留到整数，参考数据：e-0.6≈0.55) 解析：根据题意，所给模型中y0＝20，N＝1 020，p＝10%＝0.1，x＝6，则2031年年底该地区光伏太阳能板的保有量为 y＝＝， 因为e-0.6≈0.55，所以y＝≈≈36，所以2031年年底该地区光伏太阳能板的保有量约为36万块． 答案：36 12．(15分)为支撑新能源汽车产业发展，我国充电基础设施近年来快速发展．某省充电桩数量y(单位：万个)与时间t(单位：年，t＝0对应2022年)的函数关系式为y＝其中a，k，m，n为非零常数，假设该函数的图象为连续的曲线，且已知该省2022年的充电桩数量为10万个，2025年的充电桩数量为30万个． (1)求a，k的值；(4分) (2)根据此模型，预计该省2028年的充电桩数量将增长到40万个，请你预测该省充电桩数量增长到50万个的年份．(11分) 解：(1)由题可知，当t＝0时，y＝10；当t＝2 025－2 022＝3时，y＝30. 所以解得 (2)因为函数y＝(m，n为非零常数)的图象为连续的曲线，所以m ln 3＋n＝30，由题可知，当t＝2 028－2 022＝6时，y＝40，所以m ln 6＋n＝40. 两式联立解得 令m ln t＋n＝50，则ln t＋30－＝50，即ln ＝ln 4.所以＝4，所以t＝12. 因为2 022＋12＝2 034.易知当0≤t≤3时，ymax＝30. 故可预测该省充电桩数量增长到50万个的年份为2034年． 学科网（北京）股份有限公司 $