第2章 第11讲 函数模型及应用 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦函数应用与建模，通过实际情境问题构建"概念识别-模型建立-参数求解-优化分析"的完整解题链，强化数学建模与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数图像分析|1题|路程与位移辨析、排除法|从运动过程抽象函数图像，体现数学抽象素养| |指数对数模型|3题|方程消元法、指对互化、单调性分析|通过实际问题（蓄电池容量、地震能量）建立指数对数关系，培养数据观念| |二次函数应用|2题|待定系数法、配方法求最值|成本-利润模型中二次函数性质的应用，强化数学应用意识| |分段函数模型|2题|分段函数构建、各段最值比较|新合金性能指标问题中分段函数的综合应用，提升数学建模能力| |创新应用题|2题|声压级公式推导、叠加原理|结合物理情境的数学表达，发展数学抽象与科学探究能力|

1．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(　　) 解析：选D．y为小王从出发到返回原地所经过的路程而不是位移，故排除A，C．又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B． 2．(2026·贵阳质量监测)有关资料显示，某品牌蓄电池的容量C(单位：Ah)、放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间存在关系C＝Ik·t，其中k为常数．在电池容量不变的条件下，当I＝15 A时，t＝32 h；当I＝20 A时，t＝18 h．则电池的容量C为(　　) A．6 600 Ah B．6 800 Ah C．7 000 Ah D．7 200 Ah 解析：选D．由题意得消去C，得()k＝，即()k＝()2，所以k＝2，所以C＝152×32＝7 200 Ah. 3．设某批产品的产量为x(单位：万件)，总成本c(x)＝100＋13x(单位：万元)，销售单价p(x)＝－3(单位：元/件).若该批产品全部售出，则总利润(总利润＝销售收入－总成本)最大时的产量为(　　) A．7万件 B．8万件 C．9万件 D．10万件 解析：选B．总利润f(x)＝x(－3)－(100＋13x)＝732－－16(x＋2)≤732－2＝412，当且仅当＝16(x＋2)，即x＝8时，f(x)最大，故总利润最大时的产量为8万件． 4．(多选)(2026·辽宁模拟)震级是以地震仪测定的每次地震活动释放的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准是国际上通用的里氏分级表，共分9个等级，其中能量E(单位：焦耳)与里氏震级M的对应关系为lg E＝4.8＋1.5M，则(　　) A．若某次地震的震级不超过2级，则产生的能量低于108焦耳 B．若某次地震的震级超过4级，则产生的能量高于1010焦耳 C．5级地震产生的能量是4级地震产生的能量的100倍 D．3级地震产生的能量是7级地震产生的能量的 解析：选ABD．记i级地震的能量为Ei，若M≤2，则lg E＝4.8＋1.5M≤7.8，所以E≤107.8<108，故A正确；若M>4，则lg E＝4.8＋1.5M>10.8，所以E>1010.8>1010，故B正确；lg E5－lg E4＝4.8＋1.5×5－4.8－1.5×4＝1.5，则＝101.5≠100，故C错误；lg E3－lg E7＝4.8＋1.5×3－4.8－1.5×7＝－6，则＝，故D正确． 5．已知水中某生物体内抗生素的残留量y(单位：mg)与时间t(单位：年)近似满足关系式y＝λ(1－3－λt)，λ≠0，其中λ为抗生素的残留系数，当t＝8时，y＝λ，则λ＝________． 解析：因为λ＝λ(1－3-8λ)， 所以3-8λ＝＝3-2，解得λ＝. 答案： 6．(13分)某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y(y值越大产品的性能越好)与这种新合金材料的含量x(单位：克)的关系：当0≤x<7时，y是x的二次函数；当x≥7时，y＝()x－m.测得的部分数据如表所示． x 0 2 6 10 … y －4 8 8 … (1)求y关于x的函数关系式；(7分) (2)求该新合金材料的含量x为何值时产品的性能达到最佳．(6分) 解：(1)当0≤x<7时，y是x的二次函数，设y＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由题意得解得 即y＝－x2＋8x－4(0≤x<7). 当x≥7时，y＝()x－m，由x＝10，y＝可得m＝8，即y＝()x-8(x≥7). 综上可得，y＝ (2)当0≤x<7时，y＝－x2＋8x－4＝－(x－4)2＋12，即当x＝4时，y取得最大值12； 当x≥7时，y＝()x-8单调递减，即当x＝7时，y取得最大值3.综上所述，该新合金材料的含量x为4时，产品的性能达到最佳． 7．某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如表： 时间t 50 110 250 种植成本Q 150 108 150 根据上表数据，函数①Q＝at＋b，a≠0，②Q＝at2＋bt＋c，a≠0，③Q＝a·bt，a≠0，b＞0，b≠1，④Q＝alogbt，a≠0，b＞0，b≠1.能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 解析：选B．根据题中表格数据，西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系不是常函数，也不是单调函数，而①，③，④在a≠0时，均为单调函数，这与所提供的数据不符，故能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的是Q＝at2＋bt＋c，a≠0. 8．(多选)(2026·南昌调研)某化工厂每天中的污水污染指数f(x)与时间x(h)的函数关系式为f(x)＝|log25(x＋1)－a|＋2a＋1，x∈[0，24]，其中a为污水治理调节参数，且a∈(0，1).规定以每天中f(x)的最大值作为当天的污水污染指数，则使该厂每天的污水污染指数不超过3的a的取值可以为(　　) A． B． C． D． 解析：选AB．设t＝log25(x＋1)，则当0≤x≤24时，0≤t≤1，可得g(t)＝|t－a|＋2a＋1，t∈[0，1]，则g(t)＝显然g(t)在[0，a)上单调递减，在[a，1]上单调递增，则f(x)max＝max{g(0)，g(1)}.g(0)＝3a＋1，g(1)＝a＋2，则解得a≤，又a∈(0，1)，所以污水治理调节参数a应控制在(0，]内． 9．(2025·武汉四调)为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年年底光伏太阳能板的保有量y(单位：万块)满足模型y＝，其中N为饱和度(单位：万块)，y0为初始值，p为年增长率．若该地区2024年年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为10%，饱和度为1 020万块，那么2030年年底该地区光伏太阳能板的保有量约为________万块．(参考数据：e-0.6≈0.55) 解析：根据题意，所给模型中y0≈20，N＝1 020，p＝10%＝0.1，x＝6，则2030年年底该地区光伏太阳能板的保有量约为y＝＝≈≈36，所以2030年年底该地区光伏太阳能板的保有量约为36万块． 答案：36 10．(应用创新) (15分)我们知道，声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变，物理学中称为“声压”，用P表示(单位：Pa)，声压级SPL(单位：dB)表示声压的相对大小，已知SPL＝k lg (k是常数).当声压级SPL提高60 dB时，声压P会变为原来的1 000倍． (1)求声压级SPL关于声压P的函数解析式；(7分)　 (2)已知两个不同的声源产生的声压P1，P2叠加后得到的总声压P＝，一般当声压级SPL<45 dB时人类是可以正常的学习和休息的．现窗外同时有两个声压级为40 dB的声源，在不考虑其他因素的情况下，请问这两个声源叠加后是否会干扰我们正常的学习？请说明理由．(参考数据：lg 2≈0.3)(8分) 解：(1)由题意可得，k lg ＋60＝k lg ，则k lg ＋60＝k(3＋lg )，所以3k＝60，解得k＝20，故声压级SPL关于声压P的函数解析式为SPL＝20lg . (2)不会干扰我们正常的学习，理由如下： 当SPL＝40时，由20lg ＝40， 即lg ＝2，可得P1＝P2＝2×10-3， 所以总声压P＝＝P1＝2×10-3，将其代入SPL＝20lg 可得SPL＝20lg ＝20lg (×102)＝40＋10lg 2≈43<45，故不会干扰我们正常的学习． 学科网（北京）股份有限公司 $