课时规范练16　函数与方程-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 分层设计清晰，从基础考点到综合应用，适配一轮复习知识巩固与能力提升 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |典例对点练|单一考点（零点区间、个数、应用）|基础选择填空，强化概念理解，培养数学抽象与几何直观| |素能综合练|综合应用（零点概念、分段函数、参数范围等）|综合题型结合函数性质，提升推理与运算能力，发展数学思维与模型意识|

课时规范练16　函数与方程 典例对点练 考点一　判断函数零点所在的区间 1.(2025·浙江宁波期末)方程2x+x3-9=0的实数根所在区间为(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 考点二　判断函数零点的个数 2.(2025·吉林长春期末)函数f(x)=的零点个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 考点三　函数零点的应用 3.(2026·陕西渭南模拟)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-a恰有3个零点,则实数a的取值范围为(　　) A.(-1,3] B.[0,3] C.(-1,0] D.[3,+∞)∪{-1} 4.设k为实数,若函数f(x)=x2-2x+k在区间[-1,0]上有零点,则实数k的取值范围是　　　　　.  素能综合练 5.(2025·辽宁大连模拟)函数f(x)=的零点为(　　) A.0,2 B.2 C.(0,0),(2,0) D.(2,0) 6.(2026·辽宁大连高三检测)已知函数f(x)=则f(x)的零点之和为(　　) A.1 B.2 C.-1 D.-2 7.(2025·河北沧州二模)函数f(x)=2x+ln x-1的零点所在的区间为(　　) A.(0,) B.(,1) C.(1,) D.(,2) 8.(2025·贵州遵义模拟)已知函数f(x)=x2-2x+b在区间(2,3)上有唯一零点,则实数b的取值范围是(　　) A.(0,3) B.(-∞,-3) C.(0,+∞) D.(-3,0) 9.(2025·陕西渭南模拟)函数f(x)=3x|log2x|-1的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 10.(2025·内蒙古赤峰三模)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-a恰有3个零点,则实数a的取值范围为(　　) A.(-1,3] B.[0,3] C.(-1,0] D.(3,+∞)∪{-1} 11.(2025·山东威海模拟)若f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且3f(x)+g(x)=x2+12x+3,则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数为　　　　　.  12.(2025·北京昌平模拟)已知p:设函数f(x)在区间(0,+∞)上的图象是一条连续不断的曲线,若f(1)·f(2)>0,则f(x)在区间(1,2)内无零点.能说明p为假命题的一个函数的解析式是　　　　　.  13.(2025·上海宝山模拟)若函数f(x)=2x(x+a)-1在区间(0,1)上有零点,则实数a的取值范围是　　　　　.  14.(2025·云南昆明模拟)设f(x)=log2(4x+1)+x2-x+a,若f(x)存在唯一的零点,则a=　　　　　.  参考答案 课时规范练16　函数与方程 1.B　解析 令f(x)=2x+x3-9,则方程2x+x3-9=0的实数根就是函数f(x)的零点,易知f(x)为单调递增函数,且f(1)=2+1-9=-6<0,f(2)=4+8-9=3>0,所以f(x)在区间(1,2)内有零点,即方程的实数根所在区间是(1,2).故选B. 2.C　解析 当x≤0时,由x5-x3=0,解得x=0或x=-1或x=1(舍去);当x>0时,令g(x)=ln x-,则g(x)在区间(0,+∞)上单调递增,又g(1)=ln 1-1=-1<0,g(e)=ln e-=1->0,所以g(x)在区间(1,e)上存在唯一的一个零点.综上,f(x)的零点个数为3.故选C. 3.A　解析 若函数g(x)=f(x)-a恰有3个零点,即函数y=f(x)与y=a的图象有3个交点,而当x≤0时,f(x)=x2+4x+3在区间(-∞,-2)上单调递减,在区间(-2,0]上单调递增, 当x>0时,由对数函数性质得f(x)=1+lox单调递减,当x=0时,f(x)=3,当x=-2时,f(x)=-1,可得函数y=f(x)的图象如图所示,结合图象可得-1<a≤3,故A正确. 4.[-,1]　解析 (方法1　图象法)因为函数f(x)=x2-2x+k在区间[-1,0]上有零点, 所以关于x的方程x2-2x+k=0在区间[-1,0]上有解,即函数y=x2+k与y=2x的图象在区间[-1,0]上有交点,在同一平面直角坐标系中作出函数y=x2+k,y=2x的图象,如图所示. 由图象知,当y=x2+k的图象过点(0,1)时,k=1;当y=x2+k的图象过点(-1,)时,k=-. 故实数k的取值范围是[-,1]. (方法2　定理法)易知函数y=x2和函数y=-2x在区间[-1,0]上单调递减,从而函数f(x)在区间[-1,0]上单调递减.又函数f(x)在区间[-1,0]上有零点,所以f(-1)f(0)=(+k)·(-1+k)≤0,解得-≤k≤1. 故实数k的取值范围是[-,1]. 5.B　解析 函数定义域为(0,+∞), 由f(x)==0,解得x=2(x=0舍去),所以函数零点为2. 6.A　解析 当x<0时,令f(x)=0,得x=-1;当x>0时,令f(x)=0,得x=2.所以f(x)的零点之和为-1+2=1.故选A. 7.B　解析 因为y=2x与y=ln x-1均在定义域上单调递增,所以f(x)=2x+ln x-1在区间(0,+∞)上单调递增.又因为f()=+ln-1=-1-ln 2<0,f(1)=2+ln 1-1=1>0,所以函数f(x)的零点所在区间是(,1). 8.D　解析 函数f(x)=x2-2x+b在区间(1,+∞)上单调递增,由函数f(x)在(2,3)内有唯一零点,得 解得-3<b<0, 所以实数b的取值范围是(-3,0). 9.C　解析 函数f(x)=3x|log2x|-1的零点,即3x|log2x|-1=0的解, 即|log2x|=()x的解,即y=|log2x|与y=()x图象的交点横坐标,如图所示,由函数图象可知,y=|log2x|与y=()x有2个交点,即函数f(x)的零点个数为2. 10.A　解析 若函数g(x)=f(x)-a恰有3个零点,即函数y=f(x)与y=a的图象有3个交点,f(x)=x2+4x+3=(x+2)2-1(x≤0),当x=0时,f(x)=3,当x=-2时,f(x)=-1,函数y=f(x)的图象如图所示,结合图象可得-1<a≤3. 11.2　解析 由已知可得,3f(-x)+g(-x)=x2-12x+3.因为f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),所以-3f(x)+g(x)=x2-12x+3. 又3f(x)+g(x)=x2+12x+3,两式相加化简可得g(x)=x2+3,两式相减化简可得f(x)=4x.所以h(x)=f(x)-g(x)=4x-x2-3=-(x2-4x+3). 令h(x)=-(x2-4x+3)=0,可得x=1或x=3.所以函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数为2. 12.f(x)=(x-)2(答案不唯一)　 解析 解析式为f(x)= (x-)2.函数的定义域为R,所以函数f(x)在区间(0,+∞)上的图象是一条连续不断的曲线.因为f(1)=,f(2)=,所以f(1)·f(2)>0.又f()=0,f(x)在区间(1,2)内有零点,所以p为假命题. 13.(-,1)　解析 由f(x)=2x(x+a)-1=0可得()x=x+a,则函数f(x)=2x(x+a)-1在区间(0,1)上有零点等价于函数g(x)=()x与h(x)=x+a在区间(0,1)上有交点,因为g(x)=()x在区间(0,1)上单调递减,h(x)=x+a在区间(0,1)上单调递增,如图所示. 由图知,需使 解得-<a<1. 14.-1　解析 令g(x)=log2(4x+1)-x,h(x)=x2+a,则f(x)=g(x)+h(x).由于g(-x)=log2(4-x+1)+x=log2(4x+1)-log24x+x=log2(4x+1)-x=g(x),且h(-x)=(-x)2+a=x2+a=h(x),所以g(x),h(x)均为偶函数,因此f(x)=log2(4x+1)+x2-x+a为偶函数,其图象关于y轴对称.又f(x)存在唯一的零点,则f(0)=1+a=0,可得a=-1. 1 学科网（北京）股份有限公司 $