第2章 第10讲 函数与方程 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦函数零点问题，以分段讨论、零点存在定理、函数性质为核心方法，构建从概念到综合应用的完整逻辑链，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分段函数零点|3题|分段讨论求解|从零点概念出发，结合分段函数定义域分段分析| |零点存在定理|2题|定理判断区间|通过函数连续性与符号变化确定零点所在区间| |函数性质综合|3题|奇偶性单调性转化|利用函数性质简化零点问题，体现性质应用价值| |参数与零点个数|3题|参数分离与最值分析|建立参数与函数零点个数的关系，强化数学建模| |二分法与新定义|2题|二分法与定义转化|拓展零点问题考法，提升创新意识与应用能力|

1．(2026·南昌模拟)已知f(x)＝ 则方程f(x)＝8的所有根之和为(　　) A．1 B．2 C．5 D．7 解析：选A．若x<0，则x2－2x＝8⇒(x＋2)·(x－4)＝0，所以x＝－2；若x≥0，则2x＝8⇒x＝3.因为－2＋3＝1，所以方程f(x)＝8的所有根之和为1. 2．已知函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且f(0)>0，f(1)>0，f(2)>0，f(3)<0，f(4)<0，则在下列区间中，一定包含f(x)零点的区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析：选C．因为f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且f(0)f(1)>0，f(1)f(2)>0，f(2)f(3)<0，f(3)f(4)>0，所以由函数零点存在定理可知一定包含f(x)零点的区间是(2，3). 3．(2026·西安联考)已知函数f(x)＝ 若f(x)在R上有2个零点，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(－1，0) C．(－∞，－1] D．[－1，0) 解析：选B．因为当x≥0时，f(x)＝－x＋2有1个零点2，所以当x<0时，f(x)＝2x＋a有且只有1个零点，即方程2x＋a＝0在x<0时有1个解，即方程2x＝－a在x<0时有1个解．因为函数y＝2x为增函数，且当x<0时，0<2x<1，则0<－a<1，即－1<a<0. 4．已知函数f(x)＝a－是R上的奇函数，若函数y＝f(x－2m)的零点在区间(－1，1)内，则m的取值范围是(　　) A．(－，) B．(－1，1) C．(－2，2) D．(0，1) 解析：选A．因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝a－＝0，解得a＝1，则f(x)＝1－.易知f(x)在R上是增函数，所以f(x)有唯一零点0.因为函数y＝f(x－2m)的零点在区间(－1，1)内，所以x－2m＝0在(－1，1)上有解，m＝， 所以m∈(－，). 5．(多选)(2026·东莞五校联考)下列说法正确的是(　　) A．方程ex＝8－的解在区间(1，2)内 B．函数h(x)＝x2－x－6的零点是(3，0)，(－2，0) C．函数y＝2x－x2有三个不同的零点 D．用二分法求函数f(x)＝3x＋3x－8在区间(1，2)内的零点近似值的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则零点近似值在区间(1.25，1.5)内 解析：选ACD．记g(x)＝ex－8＋，易知y＝ex－8，y＝都在R上单调递增，所以g(x)在R上单调递增，又g(1)＝e－<0，g(2)＝e2－7>0，所以g(x)存在唯一零点x0，且x0∈(1，2)，即方程ex＝8－的唯一解在区间(1，2)内，故A正确； 令h(x)＝x2－x－6＝0，解得x＝－2或x＝3，所以函数h(x)＝x2－x－6的零点是－2和3，故B错误； 作出y＝2x，y＝x2的图象，如图， 当x<0时，函数y＝2x和y＝x2的图象显然只有一个交点， 又22＝22，24＝42，所以函数y＝2x和y＝x2的图象在x＝2和x＝4处相交，所以y＝2x－x2有三个不同的零点，故C正确； 因为f(x)在R上单调递增，且f(1.25)f(1.5)<0，所以由函数零点存在定理可知，零点近似值在区间(1.25，1.5)内，故D正确． 6．(多选)(2026·绍兴期末)设函数f(x)＝ 若x1<x2，且f(x1)＝f(x2)，则(　　) A．0<x1< B．2x1x2＝x1＋x2 C．x1x2>1 D．x1＋x2>2 解析：选BCD．作出函数f(x)的大致图象，如图所示， 由图可知，0<x1<1<x2，由f(x1)＝f(x2)知，－1＝1－，即＋＝2，则2x1x2＝x1＋x2，则x1＝>，故A错误，B正确；由2x1x2＝x1＋x2，得x1x2＝>，所以x1x2>1，故C正确；所以x1＋x2＝2x1x2>2，故D正确． 7．已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)的零点是________． 解析：依题意 或解得x＝－1或x＝4. 答案：－1和4 8．若函数f(x)＝log2(a－2x)＋x－1存在零点，则实数a的取值范围是________． 解析：当log2(a－2x)＋x－1＝0⇔log2(a－2x)＝1－x⇔a－2x＝21-x＝，即a＝2x＋≥2，当且仅当2x＝，即2x＝，即x＝时等号成立，所以实数a的取值范围是[2，＋∞). 答案：[2，＋∞) 9．(13分)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的两个零点为2，3. (1)求b，c的值；(5分) (2)若函数g(x)＝f(x)＋mx的两个零点分别在区间(1，2)，(2，4)内，求实数m的取值范围．(8分) 解：(1)由题意得2，3为方程x2＋bx＋c＝0的两根，所以所以 (2)由(1)知f(x)＝x2－5x＋6， 所以g(x)＝x2＋(m－5)x＋6， 依题意得解得－<m<0，故实数m的取值范围是(－，0). 10．(2025·湖北七市联合调研)已知f(x)是定义域为R的减函数，且存在函数g(x)使得f(g(x))＝x.若x1，x2分别是方程f(x)－x＝3和g(x)－x＝－3的根，则x2－x1＝(　　) A．3 B．－3 C．6 D．－6 解析：选A．因为f(g(x))＝x，且g(x2)－x2＝－3，所以g(x2)－x2＝g(x2)－f(g(x2))＝－3，即f(g(x2))－g(x2)＝3. 因为f(x)是定义域为R的减函数，所以函数y＝f(x)－x单调递减，又因为f(x1)－x1＝3，故x1＝g(x2)，g(x2)－x2＝x1－x2＝－3，即x2－x1＝3. 11．(2026·杭州模拟)设f(x)＝ex＋ln x，满足f(a)f(b)f(c)<0(0<a<b<c).若函数f(x)存在零点x0，则(　　) A．x0<a B．x0>a C．x0<c D．x0>c 解析：选B．函数f(x)＝ex＋ln x的定义域为{x|x>0}，且y＝ex，y＝ln x均为增函数，故函数f(x)＝ex＋ln x是增函数，由于0<a<b<c，所以f(a)<f(b)<f(c)，又f(a)·f(b)f(c)<0(0<a<b<c)，则f(a)，f(b)，f(c)中有1个负数，2个正数或3个都是负数，且f(a)<0恒成立，由于f(x)存在零点x0，所以x0>a. 12．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝则函数F(x)＝f(x)－的所有零点之和为________． 解析：由题意知，当x＜0时，f(x)＝ 作出函数y＝f(x)的图象如图所示， 设函数y＝f(x)的图象与直线y＝的交点的横坐标从左到右依次为x1，x2，x3，x4，x5，由图象的对称性可知，x1＋x2＝－6，x4＋x5＝6，x1＋x2＋x4＋x5＝0，由－x＝，得x3＝－，所以函数F(x)＝f(x)－的所有零点之和为－. 答案：－ 13．(15分)已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x. (1)求函数y＝f(x2)f()＋2g(x)在[1，4]上的零点；(7分) (2)若函数h(x)＝[f(x)＋1]g(x)－k在[1，4]上有零点，求实数k的取值范围．(8分) 解：(1)由f(x2)f()＋2g(x)＝0， 得(3－4log2x)(3－log2x)＋2log2x＝0. 令t＝log2x，因为x∈[1，4]，所以t∈[0，2]， 则原式可转化为(3－4t)(3－t)＋2t＝0，化简为4t2－13t＋9＝0， 解得t＝1或t＝(舍去)，所以log2x＝1， 解得x＝2，即函数y＝f(x2)f()＋2g(x)在[1，4]上的零点为2. (2)h(x)＝(4－2log2x)log2x－k ＝－2(log2x－1)2＋2－k， 令t＝log2x，因为x∈[1，4]，所以t∈[0，2]， 所以y＝－2(t－1)2＋2－k，t∈[0，2]， 令y＝0，得k＝－2(t－1)2＋2， 因为t∈[0，2]，所以－2(t－1)2＋2∈[0，2]， 即实数k的取值范围为[0，2]. 14．(新定义)在数学中，对于满足一定条件的连续函数g(x)，若存在实数x0，使得g(x0)＝x0，我们就称该函数为“不动点”函数，实数x0为该函数的不动点．已知函数g(x)＝ax2＋(a－2)x＋1在区间(－∞，)上恰有两个不同的“不动点”，则实数a的取值范围为(　　) A．(，＋∞) B．(9，＋∞) C．(－∞，0)∪(9，＋∞) D．(－∞，) 解析：选C．根据题意可得g(x)＝ax2＋(a－2)x＋1＝x在(－∞，)上恰有两个不同的解，即f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间(－∞，)上恰有两个不同的零点，所以 或 解得a>9或a<0. 学科网（北京）股份有限公司 $