第2章 第7讲 指数与指数函数(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习讲义围绕指数与指数函数专题，涵盖指数幂运算、指数函数概念及性质等核心考点，按“基础概念—图象性质—综合应用”逻辑架构知识点，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建知识体系，突破运算化简、单调性应用等难点。 讲义突出数学思维与应用意识培养，如在比较大小题型中，引导学生利用函数单调性转化问题，在解不等式时结合分类讨论思想。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合即时反馈，助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第7讲　指数与指数函数 课标要求　1.了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．　2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．　3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．根式与指数幂 (1)根式性质 当n为奇数时， ＝a； 当n为偶数时， ＝|a|＝ (2)分数指数幂与根式关系 正分数指数幂：a＝；负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1). 2．指数函数 (1)概念 一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 提醒　形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数． (2)图象和性质 底数 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域为R，值域为(0，＋∞) 图象过定点(0，1) 性质 当x＞0时，恒有y＞1；当x＜0时，恒有0＜y＜1 当x＞0时，恒有0＜y＜1；当x＜0时，恒有y＞1 在定义域R上为增函数 在定义域R上为减函数 提醒　指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要注意应分a＞1与0＜a＜1来研究． 1．化简(x<0，y<0)＝(　　) A．2x2y B．－2x2y C．2xy2 D．－2xy2 解析：选B.因为x<0，y<0，所以＝(16x8y4)＝(16)·(x8)·(y4)＝2x2|y|＝－2x2y. 2．函数y＝ax-2 026－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点(　　) A．(2 026，0) B．(2 026，－1) C．(－2 026，0) D．(－2 026，－1) 解析：选A.对于函数y＝ax-2 026－1(a>0，a≠1)，令x－2 026＝0，解得x＝2 026，此时y＝a0－1＝0，所以函数y＝ax-2 026－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点(2 026，0). 3．(多选)已知实数a，b满足等式()a＝()b，则下列式子不可能成立的有(　　) A．a＝b B．a<b<0 C．0<a<b D．b<a<0 解析： 选CD.作出函数y＝()x和y＝()x的图象如图所示．设()a＝()b＝m，m＞0.当m＞1时，由图可知a＜b＜0；当m＝1时，由图可知a＝b＝0；当0＜m＜1时，由图可知0<b<a. 4．(必修第一册P119T3改编)已知2x-1<23-x，则x的取值范围是________． 解析：由指数函数的性质，得x－1<3－x，解得x<2，所以x的取值范围是(－∞，2). 答案：(－∞，2) 5．若函数f(x)＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝________． 解析：若a>1，则f(x)max＝f(1)＝a＝2；若0<a<1，则f(x)max＝f(－1)＝a-1＝2，得a＝. 答案：2或 常用结论 1．函数y＝ax与y＝()x(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称． 2．底数a的大小决定了指数函数图象相对位置的高低，不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 题型一　指数幂的运算 1．若2m＝5，4n＝3，则43n－m的值是(　　) A．0.9 B．1.08 C．2 D．4 解析：选B.因为2m＝5，4n＝3，所以43n－m＝＝＝＝1.08. 2．已知a＋a-1＝3，则a2＋a-2＝____________，a－a－＝______________． 解析：将a＋a-1＝3两边平方，得(a＋a-1)2＝a2＋2＋a-2＝9，所以a2＋a-2＝7，因为(a－a－)2＝a－2＋a-1＝3－2＝1，a，a－的大小不确定，所以a－a－＝±1. 答案：7　±1 3．化简与求值： (1)8×100－××； (2) ÷ (a＞0). 解：(1)原式＝(23)×(102)－×(2-2)-3×＝22×10-1×26×＝. (2)原式＝(aa－)÷(aa) ＝(a3)÷(a2)＝a÷a＝1. 【素养小结】　指数幂的运算顺序与原则 题型二　指数函数的图象及应用 [例1] (1)(多选)若函数f(x)＝ax＋b(其中a＞0且a≠1)的图象过第一、三、四象限，则(　　) A．0＜a＜1 B．a＞1 C．－1＜b＜0 D．b＜－1 (2)若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________． 【解析】　(1)函数f(x)＝ax＋b(其中a＞0且a≠1)的图象过第一、三、四象限，根据图象的性质可得a＞1，a0＋b＜0，即a＞1，b＜－1. (2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移1个单位长度后，再把位于x轴下方的图 象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示． 由图象知，其在(－∞，0]上单调递减． 所以k的取值范围为(－∞，0]. 【答案】　(1)BD　(2)(－∞，0] 【素养小结】　应用指数函数图象的技巧 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到． 注意　当底数a与1的大小关系不确定时应分类讨论． [对点训练] 1.函数y＝2的大致图象是(　　) 解析：选B.易知函数y＝2 的定义域为R，且满足2|－x|＝2，可得其为偶函数，图象关于y 轴对称； 又当x＝0 时，y＝1，排除A， 又y＝2|x|＝ 利用指数函数图象性质可知其在[0，＋∞) 上单调递增，且增长速度越来越快，排除C，D. 2．已知函数f(x)＝ax-1＋1过定点M，且点M在直线mx＋ny＝1上，则2m＋22n的最小值为__________． 解析：因为f(x)＝ax-1＋1，令x－1＝0可得x＝1，f(1)＝a0＋1＝2，所以该函数过定点M(1，2).又该定点在直线mx＋ny＝1上，所以m＋2n＝1，因此2m＋22n≥2＝2＝2，当且仅当2m＝22n，即m＝2n＝时，等号成立． 答案：2 题型三　指数函数的性质及应用 考向1　比较大小 [例2] (1)已知a＝20.3，b＝40.1，c＝0.2，则三个数的大小关系是(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>a>b (2)若3a＋πb≥3－b＋π－a，则(　　) A．a＋b≤0 B．a－b≥0 C．a－b≤0 D．a＋b≥0 【解析】　(1)依题意，b＝(22)0.1＝20.2<20.3＝a，c＝0.2<0＝1，b＝40.1>40＝1，所以a>b>c. (2)因为不等式3a＋πb≥3－b＋π－a，所以3a－π－a≥3－b－πb＝3－b－π－(－b)， 令f(x)＝3x－π－x，显然函数y＝3x，y＝－π－x在R上都单调递增，因此函数f(x)在R上单调递增，又原不等式可化为f(a)≥f(－b)，则a≥－b，即a＋b≥0. 【答案】　(1)A　(2)D 【素养小结】　比较指数式的大小的方法 (1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小． (2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小． 易错点　不能抽象出合适的函数或者找不到中间量进行比较． 考向2　解简单的指数方程或不等式 [例3] (1)已知函数f(x)＝a|x|(a＞0，且a≠1)，若f(－3)＜f(4)，则不等式f(x2－2x)≤f(3)的解集为(　　) A.(－1，3) B．[－1，3] C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．[－1，0)∪(0，2)∪(2，3] (2)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________． 【解析】　(1)因为函数f(x)＝a|x|的定义域为R，且f(－x)＝a|－x|＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，则f(|x|)＝f(x)，因为f(－3)＜f(4)，则f(|－3|)＜f(4)，即f(3)＜f(4)，所以a＞1，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x2－2x)≤f(3)可以转化为f(|x2－2x|)≤f(3)，则|x2－2x|≤3，解得－1≤x≤3. (2)①当a<1时，由f(1－a)＝f(a－1)得41-a＝2a－(a-1)，即22-2a＝2，所以2－2a＝1，解得a＝； ②当a>1时，由f(1－a)＝f(a－1)得2a－(1-a)＝4a-1， 即22a-1＝22a-2，所以2a－1＝2a－2，无解． 综上可知，a＝. 【答案】　(1)B　(2) 【素养小结】　指数方程或不等式的解法 (1)解指数方程或不等式的依据：①af(x)＝ag(x) ⇔ f(x)＝g(x).②af(x)＞ag(x)，当a＞1时，等价于f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，等价于f(x)＜g(x). (2)先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解． [对点训练] 1.已知0<a<1<b，则(　　) A．ba<ab<aa<bb B．ab<aa<ba<bb C．bb<ab<aa<ba D．ab<ba<aa<bb 解析：选B.因为0<a<1<b，故函数y＝ax(0<a<1)是减函数，所以0<ab<aa<1，同理，函数y＝bx(b>1)是增函数，所以1<ba<bb. 综上，可得ab<aa<ba<bb. 2．已知a>0且a≠1，若关于x的不等式a>a的解集是(－2，3)，则a的取值范围是____________． 解析：当a>1时，y＝ax单调递增，故a>a等价于3x2－4x－5>2x2－3x＋1，即x2－x－6>0，解得x>3或x<－2，不符合题意；当0<a<1时，y＝ax单调递减，故a3x2－4x－5>a2x2－3x＋1等价于3x2－4x－5<2x2－3x＋1，即x2－x－6<0，解得－2<x<3，符合题意，故a的取值范围是(0，1). 答案：(0，1) 题型四　指数型函数的综合应用 [例4] (1)(2025·淄博部分学校期中)已知函数f(x)＝()在区间(2，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，8] B．(－∞，8) C．[8，＋∞) D．(8，＋∞) (2)(多选)已知f(x)＝，则(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减 C．f(x)的值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．f(f(x))的定义域为{x|x≠0} 【解析】　(1)令u＝2x2－ax，则二次函数u＝2x2－ax的图象开口向上，对称轴为直线x＝，因为外层函数y＝()u为R上的减函数，函数f(x)＝()在区间(2，＋∞)上单调递减，所以函数u＝2x2－ax在(2，＋∞)上单调递增，所以≤2，解得a≤8. (2)对于A，由ex－1≠0，得x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，又f(－x)＝＝＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；对于B，f(1)＝＞0，f(－1)＝＜0，所以f(1)＞f(－1)，故B错误；对于C，f(x)＝＝1＋，因为ex－1＞－1且ex－1≠0，所以∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)，所以f(x)＝1＋∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故C正确；对于D，由函数f(x)的定义域为{x|x≠0}且f(x)≠0，得f(f(x))的定义域为{x|x≠0}，故D正确． 【答案】　(1)A　(2)ACD 【素养小结】　涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． [对点训练] 1.若函数f(x)＝a|x-1|(a>0，且a≠1)满足f(－1)＝4，则f(x)的单调递减区间是(　　) A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1] 解析：选A.由得a＝2, 所以f(x)＝2.当x≥1时，＝x－1，此时f(x)＝2x-1，f(x)在[1，＋∞)上单调递增；当x≤1时，＝1－x，此时f(x)＝21-x，f(x)在(－∞，1]上单调递减．所以函数f(x)＝2在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减． 2．已知函数f(x)＝，若m>0，n>0，且f(2m)＋f(n－1)＝f(0)，则2m＋n的值为__________． 解析：函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝＝＝＝－f(x)，所以f(x) 为奇函数．又函数y＝3x为R上的增函数，且f(x)＝＝＝－1，根据复合函数的单调性可知f(x)为R上的减函数．所以f(2m)＋f(n－1)＝f(0)＝0，即f(2m)＝－f(n－1)＝f(1－n)，即2m＝1－n，所以2m＋n＝1. 答案：1 学科网（北京）股份有限公司 $