第2章 第6讲 幂函数与二次函数 课后达标检测(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

**基本信息** 聚焦幂函数与二次函数核心素养，以题载法构建定义-性质-应用逻辑链，强化数学思维与符号表达能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |幂函数基础|3题|定义系数法、单调性判定、定义域分析|从幂函数定义（系数为1）到性质（奇偶性、单调性）递进| |二次函数性质|6题|对称轴分析法、判别式应用、分类讨论求最值|以开口方向和对称轴为核心，关联单调性、最值与根分布| |综合应用|5题|换元转化、参数分类讨论、函数图像综合判断|融合幂函数与二次函数，构建“定义-图像-性质-应用”完整链条|

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知幂函数f(x)＝(m＋2)xn的图象经过点(4，2)，则m－n＝(　　) A．－3 B．－ C．－2 D．－ 解析：选D.依题意可得m＋2＝1，所以m＝－1，又f(x)＝xn的图象经过点(4，2)，所以4n＝2，解得n＝，所以m－n＝－1－＝－. 2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，且a<0，a－b＋c>0，则一定有(　　) A．b2－4ac>0 B．b2－4ac＝0 C．b2－4ac<0 D．b2－4ac≤0 解析：选A.因为二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a－b＋c>0， 所以当x＝－1时，y＝a－b＋c>0. 又因为a<0，所以抛物线开口向下且穿过x轴，所以抛物线与x轴肯定有两个交点，即判别式Δ＝b2－4ac>0. 3．已知二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，则函数f(x)＝xa和g(x)＝xb在第一象限的图象可能为(　　) 解析：选B.因为二次函数y＝ax2＋bx的图象开口向上，所以a>0，又对称轴在y轴右侧，则－>0，所以b<0，则在第一象限，根据幂函数的单调性可得f(x)＝xa单调递增，g(x)＝xb单调递减，结合选项，B符合题意． 4．已知方程x2＋2mx－m＋12＝0的两根都大于－2，则实数m的取值范围是(　　) A．m＜－4 B．－5＜m＜－4 C．m≤－4 D．m＞4或m＜－4 解析：选C.令f(x)＝x2＋2mx－m＋12， 因为方程x2＋2mx－m＋12＝0的两根都大于－2，所以由题意可得 解得m≤－4. 5．若函数f(x)＝x2－2x＋3在区间[m，n]上的值域为[2，18]，则n－m的最大值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选D.因为函数f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，所以当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2，当f(x)＝18时，x2－2x＋3＝18，解得x＝－3或x＝5，又因为当x∈[－3，1)时，f(x)单调递减，当x∈(1，5]时，f(x)单调递增，所以n的最大值为5，m的最小值为－3，所以n－m的最大值为5－(－3)＝8. 6．(多选)已知幂函数f(x)的图象经过点，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(0，＋∞) C．f(x)为偶函数 D．f(x)是其定义域上的减函数 解析：选BC.设f(x)＝xa，其图象经过点，则3a＝，解得a＝－2，故f(x)＝x-2＝，那么f(x)的定义域为，故A错误；f(x)的值域为(0，＋∞)，故B正确；因为f(－x)＝＝f(x)，则f(x)为偶函数，故C正确；因为f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，不能说是在其定义域上的减函数，故D错误． 7．若函数f(x)＝ax2－2x＋4在区间[1，3]上不具有单调性，则实数a的取值范围是________． 解析：当a＝0时，f(x)＝－2x＋4，－2<0，f(x)在[1，3]上单调递减，具有单调性，不符合题意； 当a≠0时，f(x)＝ax2－2x＋4的图象为抛物线，对称轴为直线x＝－＝，因为f(x)在[1，3]上不具有单调性，所以1<<3，解得<a<1. 答案： 8．已知幂函数f(x)的图象经过点，若f(a＋1)＜f(3－2a)，则实数a的取值范围是________． 解析：设幂函数f(x)＝xα，因为幂函数f(x)的图象过点，则2α＝＝2，解得α＝－，则f(x)＝x＝，其定义域为(0，＋∞)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减．所以由f(a＋1)＜f(3－2a)， 可得解得＜a＜. 所以实数a的取值范围是. 答案： 9．(13分)已知一元二次函数f(x)满足f(0)＝－3，f(3)＝0，f(2－x)＝f(x). (1)求f(x)的解析式；(4分) (2)若f(x)在区间(m，m＋1)上单调，求m的取值范围；(4分) (3)若g(a)是f(x)在区间[a，a＋1]上的最小值，求g(a)的表达式．(5分) 解：(1)因为f(2－x)＝f(x)， 所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1， 设f(x)＝t(x－1)2＋c(t≠0)， 由f(0)＝－3，f(3)＝0， 得解得 所以f(x)＝(x－1)2－4＝x2－2x－3. (2)由(1)得函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1，因为f(x)在区间(m，m＋1)上单调， 所以m≥1或m＋1≤1，解得m≥1或m≤0， 所以m的取值范围为(－∞，0]∪[1，＋∞). (3)由(1)得函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1，且图象开口向上， 当a≥1时，f(x)在[a，a＋1]上单调递增， 则f(x)min＝f(a)＝a2－2a－3； 当a＋1≤1，即a≤0时，f(x)在[a，a＋1]上单调递减，所以f(x)min＝f(a＋1)＝a2－4； 当a<1<a＋1，即0<a<1时， f(x)min＝f(1)＝－4. 综上所述，g(a)＝ 10．若函数f(x)＝为减函数，则实数a的取值范围为(　　) A．(1，2) B． C． D．(2，＋∞) 解析：选B.因为f(x)为(0，＋∞)上的减函数，所以当x≥1时，f(x)单调递减，即1－a<0，则a>1；当0<x<1时，f(x)单调递减，即a－2<0，则a<2；且1＋≥1－a＋2，即a≥.综上，实数a的取值范围是. 11．(多选)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于两点(x1，0)，(2，0)，其中0<x1<1.下列四个结论正确的是(　　) A.abc>0 B．a＋b＋c<0 C．2a－c>0 D．＋<－4 解析：选BCD.由题图可知，抛物线开口向上，且交于y轴正半轴，则a>0，c>0， 因为对称轴在y轴右侧，则－>0，所以b<0，所以abc<0，故A错误； 当x＝1时，a＋b＋c<0，故B正确； 当x＝2时，4a＋2b＋c＝0，则2b＝－4a－c，又a＋b＋c<0，则2a＋2b＋2c<0， 所以2a－c>0，故C正确； 因为a>0，b<0，则＋≤－2＝－4，当且仅当2a＝－b时，等号成立，但二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于两点(x1，0)，(2，0)，其中0<x1<1，则对称轴为直线x＝－＝>1，则－b>2a，则等号无法取到，故＋<－4，故D正确． 12．已知函数f(x)既是二次函数又是幂函数，函数g(x)是R上的奇函数，函数h(x)＝＋1，则h(2 026)＋h(2 025)＋h(2 024)＋…＋h(－2 024)＋h(－2 025)＋h(－2 026)＝________． 解析：由函数f(x) 既是二次函数又是幂函数，得f(x)＝x2，即h(x)＝＋1，又g(x)是R 上的奇函数，则h(x)＋h(－x)＝＋1＋＋1＝2，h(0)＝＋1＝1，因此h(2 026)＋h(2 025)＋h(2 024)＋…＋h(1)＋h(0)＋h(－1)＋…＋h(－2 024)＋h(－2 025)＋h(－2 026)＝2 026×2＋1＝4 053. 答案：4 053 13．(15分)已知幂函数f(x)＝(p2＋p－1)x (p∈R)满足f(3)<f(5). (1)求函数f(x)的解析式；(6分) (2)若函数g(x)＝[f(x)]2＋mf(x)，x∈[4，16]，且g(x)的最小值为0，求实数m的值．(9分) 解：(1)因为f(x)是幂函数，所以p2＋p－1＝1，解得p＝1或p＝－2，当p＝－2时，f(x)＝x－，不满足f(3)<f(5)， 当p＝1时，f(x)＝，满足f(3)<f(5)， 所以p＝1，函数f(x)的解析式为f(x)＝. (2)g(x)＝[f(x)]2＋mf(x)＝()2＋m，令t＝，因为x∈[4，16]，所以t∈[2，4]，记k(t)＝t2＋mt，其图象的对称轴为直线t＝－， ①当－≤2，即m≥－4时，则k(t)min＝k(2)＝4＋2m＝0，解得m＝－2，满足题意； ②当2<－<4，即－8<m<－4时， 则k(t)min＝k＝－＝0，解得m＝0，不满足题意，舍去； ③当－≥4，即m≤－8时， 则k(t)min＝k(4)＝4m＋16＝0，解得m＝－4，不满足题意，舍去． 综上所述，存在m＝－2使得g(x)的最小值为0. 14．已知函数f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋1，g(x)＝mx，若对于任意的实数x，f(x)与g(x)至少有一个为正数，则实数m的取值范围是____________． 解析：当m>0 时，g(x)>0在(0，＋∞) 上恒成立，g(x)<0在(－∞，0) 上恒成立，g(0)＝0，而f(0)＝1，所以f(x)>0 在(－∞，0) 上需恒成立， 又因为f(x) 的图象开口向上，所以≥0 或Δ＝4(4－m)2－4×2m＝4(m2－10m＋16)<0，解得0<m≤4 或2<m<8，所以0<m<8； 当m＝0 时，g(x)＝0，f(x)＝－8x＋1>0不恒成立，故m＝0 不符合题意； 当m<0 时，g(x)>0在(－∞，0) 上恒成立，g(x)<0在(0，＋∞) 上恒成立，g(0)＝0，而f(0)＝1，所以f(x)>0 在(0，＋∞) 上需恒成立，又因为f(x) 的图象开口向下，所以f(x)>0 在(0，＋∞) 上不恒成立，故m<0 不符合题意． 综上可得0<m<8. 答案：(0，8) 学科网（北京）股份有限公司 $