第2章 第6讲 幂函数与二次函数(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习讲义聚焦幂函数与二次函数核心考点，依据课标要求构建定义、图象、性质及应用的逻辑体系，通过考点梳理、题型分类（如解析式求法、根的分布）、真题讲解和分层训练，帮助学生系统掌握知识内在联系，突破难点问题。 讲义突出数学思维与数学眼光的培养，如二次函数最值问题通过分类讨论对称轴与区间关系发展逻辑推理能力，幂函数图象分析结合实例提升几何直观。设置基础巩固与能力提升练习，配合方法总结，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第6讲　幂函数与二次函数 课标要求　1.通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 2．理解并掌握二次函数的图象与性质．　3.能判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．幂函数 (1)幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数y＝xα的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 点拨　幂函数的特征 (1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数； (2)xα的系数为1； (3)只有一项． 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)； 两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0). (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c (a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c (a<0) 图象 定义域 R R 值域 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝－对称 点拨　二次函数系数的特征 (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，系数a的正负决定函数图象的开口方向；(2)－的值决定图象对称轴的位置；(3)c的取值决定图象与y轴的交点；(4)b2－4ac的正负决定图象与x轴的交点个数． 1．(必修第一册P86T7改编)函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为(　　) A．[－6，2] B．[－6，1] C．[0，2] D．[0，1] 解析：选A.函数f(x)＝－2x2＋4x图象的对称轴为直线x＝1，则f(x)在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(－1)＝－2－4＝－6，即f(x)的值域为[－6，2]. 2．若幂函数y＝x-1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1＜m＜0＜n＜1 B．－1＜n＜0＜m＜ C.－1＜m＜0＜n＜ D．－1＜n＜0＜m＜1 解析：选D.幂函数y＝xα，当α＞0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0＜α＜1时，图象上凸，所以0＜m＜1；当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．不妨令x＝2，由题图得2-1＜2n，则－1＜n＜0.综上可知，－1＜n＜0＜m＜1. 3．(多选)已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2(a＞0)，则(　　) A．f(2)＜f(3) B．f(2)＞f(3) C．f(0)＜f(－1) D．f(0)＞f(－1) 解析：选AC.f(x)＝ax2－2ax＋2＝a(x－1)2＋2－a，因为a＞0，所以f(x)的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，故f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f(2)＜f(3)，A正确，B错误；f(0)＜f(－1)，C正确，D错误． 4．(必修第一册P91练习T1改编)已知幂函数f(x)的图象经过点(2，)，则f(4)的值为________． 解析：因为幂函数f(x)＝xα的图象经过点，所以f(2)＝2α＝，解得α＝－，所以f(x)＝x，故f(4)＝. 答案： 5．已知y＝f(x)为二次函数，若y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f(x)的图象经过原点，则函数解析式为________________． 解析：由题意，可设f(x)＝a(x－2)2－4(a>0)，又图象过原点，所以f(0)＝4a－4＝0，解得a＝1，所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x. 答案：f(x)＝x2－4x 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 题型一　幂函数的图象与性质 [例1] (1)已知函数f(x)＝则y＝－f(x)的图象大致为(　　) (2)已知幂函数f(x)＝(m2＋m－5)xm2＋2m－5在区间(0，＋∞)上单调递增，则f(3)＝(　　) A．27 B．9 C． D． 【解析】　(1)结合题意，当x<0时，易知f(x)＝x-2＝为幂函数，在(－∞，0)上单调递增且f(x)>0恒成立；当x≥0时，易知f(x)＝x＝为幂函数，在[0，＋∞)上单调递增，且f(0)＝0，f(x)在(0，＋∞)上恒大于0. 故函数f(x)的图象如图所示． 只需将y＝f(x)的图象沿x轴对称即可得到y＝－f(x)的图象． (2)由题意得，m2＋m－5＝1， 即m2＋m－6＝0，解得m＝2或m＝－3. 当m＝2时，可得函数f(x)＝x3，此时函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，符合题意； 当m＝－3时，可得f(x)＝x-2， 此时函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，不符合题意． 即幂函数f(x)＝x3，则f(3)＝27. 【答案】　(1)C　(2)A 【素养小结】　利用幂函数性质的求解策略 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定幂函数的解析式． (2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． [对点训练] 1.已知幂函数f(x)＝mxn的图象过点(，2)，设a＝f(m)，b＝f(n)，c＝f(ln 2)，则(　　) A．c<b<a B．c<a<b C．b<c<a D．a<b<c 解析：选B.因为f(x)＝mxn为幂函数，故m＝1.因为函数f(x)＝mxn的图象过点(，2)，所以()n＝2，解得n＝3.故函数f(x)＝x3，且函数为增函数．因为n>m>ln 2，故c<a<b. 2．如图所示是函数y＝x(m，n∈N*且互质)与y＝x的图象，则(　　) A．m，n是奇数，且<1 B．m是偶数，n是奇数，且>1 C．m是偶数，n是奇数，且<1 D．m，n是偶数，且>1 解析：选C.函数y＝x＝的图象关于y轴对称，故m是偶数，n是奇数．当x∈(0，1)时，y＝x的图象在y＝x的图象的上方，当x∈(1，＋∞)时，y＝x的图象在y＝x的图象的下方，故<1. 题型二　二次函数的解析式 [例2] 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)的解析式． 【解】　方法一(一般式)： 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0). 由题意得解得 所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 方法二(顶点式)： 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a<0). 因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为直线x＝＝， 所以m＝.根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝a＋8. 因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1， 解得a＝－4，所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 方法三(两根式)：由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a<0)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数f(x)有最大值8， 即＝8，解得a＝－4. 故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 【素养小结】　求二次函数解析式的策略 [对点训练] 1.已知函数y＝f(x)的对应关系如表所示，二次函数g(x)的图象如图所示，则g(f(2))＝(　　) x 0 1 2 f(x) －3 0 3 A.0 B．1 C．3 D．24 解析：选A.根据题中二次函数图象，可设二次函数g(x)＝a(x－2)2－1(a>0)，因为图象经过点(0，3)，所以代入得3＝a(0－2)2－1，解得a＝1，所以g(x)＝(x－2)2－1，所以g(f(2))＝g(3)＝(3－2)2－1＝0. 2．已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，则二次函数的解析式为_____________． 解析：因为二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以可设二次函数为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，整理得y＝ax2＋2ax－3a， 顶点的纵坐标为＝－4a， 由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2， 所以|－4a|＝2，即a＝±， 所以二次函数的解析式为y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋. 答案：y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋ 题型三　二次函数的图象与性质 考向1　二次函数的图象 [例3] (多选)已知函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则(　　) A.abc＜0 B．b＋c＞0 C．2a＋b＋c＞0 D．关于x的方程cx2＋bx＋a＝0的解集为 【解析】　由题图知，当x＝0时，y＝c＞0，图象开口向下，则a＜0，－3＋1＝－＜0，即＞0，则b＜0，所以abc＞0，故A错误；当x＝1时，a＋b＋c＝0且a＜0，所以b＋c＞0，故B正确；因为2a＋b＋c＝a＋a＋b＋c＝a＜0，故C错误；方法一：由cx2＋bx＋a＝0可得a＋b·＋c＝0，因为－3，1是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以－，1是方程a＋b·＋c＝0的两根，所以关于x的方程cx2＋bx＋a＝0的解集为；方法二：由根与系数的关系得所以所以cx2＋bx＋a＝0，即为－3ax2＋2ax＋a＝0，化简得－a(x－1)(3x＋1)＝0，因为a<0，解得x＝1或x＝－，即关于x的方程cx2＋bx＋a＝0的解集为，故D正确． 【答案】　BD 【素养小结】　识别二次函数图象应学会“三看” 考向2　二次函数的性质 [例4] 设函数f(x)＝x2－2tx＋2，其中t∈R. (1) 若t＝1，且当x∈[0，a＋2]时，f(x)的最大值为5，求实数a的值； (2) 若对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f(x1)－f(x2)|≤8，求实数t的取值范围． 【解】　(1)若t＝1，则f(x)＝(x－1)2＋1，f(x)在区间(－∞，1] 上单调递减，在区间[1，＋∞) 上单调递增．因为f(0)＝2<5，所以f(a＋2)＝5，解得a＝1或a＝－3，又因为a＋2>0，所以a＝1. (2) 设函数f(x) 在区间[0，4] 上的最大值为M，最小值为m， 所以“对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f(x1)－f(x2)|≤8”等价于“M－m≤8”． ①当t≤0 时，M＝f(4)＝18－8t，m＝f(0)＝2，由M－m＝18－8t－2≤8，得t≥1，又t≤0，无解； ②当0<t≤2 时，M＝f(4)＝18－8t，m＝f(t)＝2－t2，由M－m＝18－8t－(2－t2)＝t2－8t＋16＝(t－4)2≤8，得4－2≤t≤4＋2，因此4－2≤t≤2； ③当2<t≤4 时，M＝f(0)＝2，m＝f(t)＝2－t2，由M－m＝2－(2－t2)＝t2≤8， 得－2≤t≤2，因此2<t≤2； ④当t>4 时，M＝f(0)＝2，m＝f(4)＝18－8t，由M－m＝2－(18－8t)＝8t－16≤8，得t≤3，无解． 综上所述，实数t 的取值范围为[4－2，2]. 【素养小结】　二次函数最值问题的类型及求解策略 (1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴变动、区间固定；③对称轴固定、区间变动． (2)求解策略：抓住“三点一轴”进行数形结合，三点是指区间的两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可求解． [对点训练] 1.若函数y＝x2－2x＋3的定义域为(－1，m)，值域为[2，6)，则实数m的值可能为(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：选C.函数y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，当x＝－1时，y＝6；当x＝1时，y＝2； 又当x＝3时，y＝6，如图， 可知当m∈(1，3]时，值域为[2，6). 2．已知函数f(x)＝－x2＋2mx＋1－m2，其中m∈R. (1)若f(x)在区间[4，6]上具有单调性，求实数m的取值范围； (2)当x∈[1，3]时，函数f(x)的最大值为－8，求实数m的值． 解：(1)因为二次函数f(x)的图象开口向下，对称轴为直线x＝m，且f(x)在[4，6]上具有单调性，所以当f(x)在[4，6]上单调递减时，m≤4；当f(x)在[4，6]上单调递增时，m≥6.所以实数m的取值范围是(－∞，4]∪[6，＋∞). (2)二次函数f(x)的图象开口向下，对称轴为直线x＝m， ①当m≤1时，f(x)在[1，3]上单调递减，此时f(x)max＝f(1)＝－m2＋2m＝－8， 解得m＝4或m＝－2，所以m＝－2； ②当1<m<3时，f(x)在[1，m)上单调递增，在(m，3]上单调递减， 此时f(x)max＝f(m)＝－m2＋2m2＋1－m2＝1≠－8，所以m不存在； ③当m≥3时，f(x)在[1，3]上单调递增， 此时f(x)max＝f(3)＝－9＋6m＋1－m2＝－m2＋6m－8＝－8， 解得m＝6或m＝0，所以m＝6. 综上所述，m＝－2或m＝6. 题型四　一元二次方程根的分布 [例5] (1)若x1，x2是关于x的方程x2＋ax＋a＝0的解，且满足－2＜x1＜x2＜1，则a的取值范围是(　　) A．－2＜a＜0 B．－2＜a＜4 C．－＜a＜0或a＞4 D．－＜a＜0 (2)方程x2－2mx＋m2－1＝0的一根在(1，2)内，另一根在(3，4)内，则实数m的取值范围是________． 【解析】　(1)因为x1，x2是关于x的方程x2＋ax＋a＝0的解，且满足－2＜x1＜x2＜1，所以f(x)＝x2＋ax＋a在(－2，1)上有两个零点， 所以 解得 则－＜a＜0，所以a的取值范围是－＜a＜0. (2)设f(x)＝x2－2mx＋m2－1，图象开口向上，由题意得解得m∈(2，3)，所以实数m的取值范围是(2，3). 【答案】　(1)D　(2)(2，3) 【素养小结】　由一元二次方程根的分布情况，解决方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解． (1)判别式Δ的符号． (2)对称轴方程x＝－与所给区间的位置关系． (3)区间端点处函数值的符号． [对点训练] 1.一元二次方程ax2＋4x＋3＝0有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(　　) A．a＜0 B．a＞0 C．a＜－1 D．a＞1 解析：选C.因为一元二次方程ax2＋4x＋3＝0有一个正根和一个负根， 所以f(x)＝ax2＋4x＋3有两个异号零点， 所以解得a＜0. 故满足题意的a的取值集合应是集合{a|a＜0}的真子集，结合选项可知选C. 2．若一元二次方程x2＋(m－1)x＋m＋2＝0的一个根大于1，另一个根小于1，则实数m的取值范围为________． 解析：设f(x)＝x2＋(m－1)x＋m＋2，则y＝f(x)的大致图象如图所示，要使方程的一个根大于1，另一个根小于1，需使f(1)＝2m＋2＜0，解得m＜－1， 所以实数m的取值范围为(－∞，－1). 答案：(－∞，－1) 学科网（北京）股份有限公司 $