第2章 第6讲 幂函数与二次函数(课件PPT)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习课件聚焦幂函数与二次函数专题，依据课标要求梳理了幂函数定义及图象性质、二次函数解析式与图象性质、一元二次方程根的分布三大核心考点，通过主干知识清单与性质对比表，明确常考题型及高频考点权重，体现高考备考的系统性和针对性。 课件亮点在于“真题改编+题型突破+素养提升”策略，如二次函数解析式求法中三种形式的选择技巧，根的分布问题的“三点一轴”分析方法，培养学生数学思维与数学语言表达能力。特设易错点警示和解题模板，助力学生掌握得分技巧，教师可据此实施精准复习教学。

第6讲　幂函数与二次函数 课标要求 返回导航 内 容 索 引 落实必备知识 1 1 探究核心题型 2 落实必备知识 第一部分 4 1．幂函数 (1)幂函数的定义：一般地，函数_______叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象 y＝xα 返回导航 (3)幂函数y＝xα的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点___________和___________，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点___________，且在(0，＋∞)上单调递减． (1，1) (0，0) (1，1) 返回导航 点拨　幂函数的特征 (1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数； (2)xα的系数为1； (3)只有一项． 返回导航 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)； 两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0). 返回导航 (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象     定义域 R R 值域 ________________ ______________ 返回导航 返回导航 返回导航 1．(必修第一册P86T7改编)函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为(　　) A．[－6，2] B．[－6，1] C．[0，2] D．[0，1] 解析：函数f(x)＝－2x2＋4x图象的对称轴为直线x＝1，则f(x)在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(－1)＝－2－4＝－6，即f(x)的值域为[－6，2]. A　 返回导航 D　 解析：幂函数y＝xα，当α＞0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0＜α＜1时，图象上凸，所以0＜m＜1；当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．不妨令x＝2，由题图得2-1＜2n，则－1＜n＜0.综上可知，－1＜n＜0＜m＜1. 返回导航 3．(多选)已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2(a＞0)，则(　　) A．f(2)＜f(3) B．f(2)＞f(3) C．f(0)＜f(－1) D．f(0)＞f(－1) 解析：f(x)＝ax2－2ax＋2＝a(x－1)2＋2－a，因为a＞0，所以f(x)的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，故f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f(2)＜f(3)，A正确，B错误； f(0)＜f(－1)，C正确，D错误． AC　 返回导航 返回导航 5．已知y＝f(x)为二次函数，若y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f(x)的图象经过原点，则函数解析式为________________． 解析：由题意，可设f(x)＝a(x－2)2－4(a>0)，又图象过原点，所以f(0)＝4a－4＝0，解得a＝1，所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x. f(x)＝x2－4x 返回导航 探究核心题型 第二部分 17 题型一　幂函数的图象与性质 C　 返回导航 返回导航 A　 返回导航 【解析】　由题意得，m2＋m－5＝1， 即m2＋m－6＝0，解得m＝2或m＝－3. 当m＝2时，可得函数f(x)＝x3，此时函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，符合题意； 当m＝－3时，可得f(x)＝x-2， 此时函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，不符合题意． 即幂函数f(x)＝x3，则f(3)＝27. 返回导航 【素养小结】　利用幂函数性质的求解策略 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定幂函数的解析式． (2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． 返回导航 B　 返回导航 C　 返回导航 返回导航 题型二　二次函数的解析式 [例2] 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)的解析式． 返回导航 返回导航 返回导航 【素养小结】　求二次函数解析式的策略 返回导航 [对点训练] 1.已知函数y＝f(x)的对应关系如表所示，二次函数g(x)的图象如图所示，则g(f(2))＝(　　)   A.0 B．1 C．3 D．24 解析：根据题中二次函数图象，可设二次函数g(x)＝a(x－2)2－1(a>0)，因为图象经过点(0，3)，所以代入得3＝a(0－2)2－1，解得a＝1，所以g(x)＝(x－2)2－1，所以g(f(2))＝g(3)＝(3－2)2－1＝0. A　 x 0 1 2 f(x) －3 0 3 返回导航 2．已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，则二次函数的解析式为___________________________________． 返回导航 题型三　二次函数的图象与性质 BD　 返回导航 当x＝1时，a＋b＋c＝0且a＜0，所以b＋c＞0，故B正确； 因为2a＋b＋c＝a＋a＋b＋c＝a＜0，故C错误； 返回导航 返回导航 【素养小结】　识别二次函数图象应学会“三看” 返回导航 考向2　二次函数的性质 [例4] 设函数f(x)＝x2－2tx＋2，其中t∈R. (1) 若t＝1，且当x∈[0，a＋2]时，f(x)的最大值为5，求实数a的值； 【解】　若t＝1，则f(x)＝(x－1)2＋1，f(x)在区间(－∞，1] 上单调递减，在区间[1，＋∞) 上单调递增．因为f(0)＝2<5，所以f(a＋2)＝5，解得a＝1或a＝－3，又因为a＋2>0，所以a＝1. 返回导航 (2) 若对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f(x1)－f(x2)|≤8,求实数t的取值范围． 返回导航 【素养小结】　二次函数最值问题的类型及求解策略 (1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴变动、区间固定；③对称轴固定、区间变动． (2)求解策略：抓住“三点一轴”进行数形结合，三点是指区间的两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可求解． 返回导航 [对点训练] 1.若函数y＝x2－2x＋3的定义域为(－1，m)，值域为[2，6)，则实数m的值可能为(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：函数y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，当x＝－1时，y＝6；当x＝1时，y＝2； 又当x＝3时，y＝6，如图， 可知当m∈(1，3]时，值域为[2，6). C　 返回导航 2．已知函数f(x)＝－x2＋2mx＋1－m2，其中m∈R. (1)若f(x)在区间[4，6]上具有单调性，求实数m的取值范围； 解：因为二次函数f(x)的图象开口向下，对称轴为直线x＝m，且f(x)在[4，6]上具有单调性，所以当f(x)在[4，6]上单调递减时，m≤4；当f(x)在[4，6]上单调递增时，m≥6.所以实数m的取值范围是(－∞，4]∪[6，＋∞). 返回导航 (2)当x∈[1，3]时，函数f(x)的最大值为－8，求实数m的值． 解：二次函数f(x)的图象开口向下，对称轴为直线x＝m， ①当m≤1时，f(x)在[1，3]上单调递减，此时f(x)max＝f(1)＝－m2＋2m＝－8， 解得m＝4或m＝－2，所以m＝－2； ②当1<m<3时，f(x)在[1，m)上单调递增，在(m，3]上单调递减， 此时f(x)max＝f(m)＝－m2＋2m2＋1－m2＝1≠－8，所以m不存在； ③当m≥3时，f(x)在[1，3]上单调递增， 此时f(x)max＝f(3)＝－9＋6m＋1－m2＝－m2＋6m－8＝－8， 解得m＝6或m＝0，所以m＝6. 综上所述，m＝－2或m＝6. 返回导航 题型四　一元二次方程根的分布 D　 返回导航 返回导航 (2)方程x2－2mx＋m2－1＝0的一根在(1，2)内，另一根在(3，4)内，则实数m的取值范围是_______________． 　(2，3) 返回导航 返回导航 C　 [对点训练] 1.一元二次方程ax2＋4x＋3＝0有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(　　) A．a＜0 B．a＞0 C．a＜－1 D．a＞1 返回导航 2．若一元二次方程x2＋(m－1)x＋m＋2＝0的一个根大于1，另一个根小于1，则实数m的取值范围为_____________． (－∞，－1) 返回导航 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c (a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c (a<0) 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 对称性 函数的图象关于直线_______________对称 2．若幂函数y＝x-1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1＜m＜0＜n＜1 B．－1＜n＜0＜m＜ C.－1＜m＜0＜n＜ D．－1＜n＜0＜m＜1 解析：因为幂函数f(x)＝xα的图象经过点，所以f(2)＝2α＝，解得α＝－，所以f(x)＝x，故f(4)＝. 解析：因为一元二次方程ax2＋4x＋3＝0有一个正根和一个负根， 所以f(x)＝ax2＋4x＋3有两个异号零点， 所以解得a＜0. 故满足题意的a的取值集合应是集合{a|a＜0}的真子集,结合选项可知选C. $