第2章 第4讲 函数的对称性(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

第4讲　函数的对称性

 

课标要求　1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式与推论．　2.会利用函数的对称公式解决问题．

 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

1．奇函数、偶函数的对称性

(1)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称；

(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象的对称中心是点(b，0)．

2．函数的轴对称和中心对称

(1)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；

(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)中心对称．

3．两个函数图形的对称

(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；

(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称；

(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．

 

1．函数y＝f(x)与函数g(x)＝2x+1－1的图象关于直线x＝2对称，则f(4)的值为(　　)

A．1     B．－1     

C．2     D．－2

解析：选A.因为函数y＝f(x)与函数g(x)＝2x+1－1的图象关于直线x＝2

对称，

所以f(4)＝g(0)＝2－1＝1.

2．若曲线f(x)＝关于点(1，－2)中心对称，则a＝(　　)

A．3     B．4     

C．－3     D．－4

解析：选D.因为函数f(x)的定义域为R，且曲线f(x)＝关于点(1，－2)中心对称，所以f(1)＝＝－2，即a＝－4.

3．(多选)(必修第一册P84例6改编)下列函数的图象关于原点对称的是(　　)

A．y＝x     B．y＝－     

C．y＝     D．y＝x2

解析：选AB.函数的图象关于原点对称即函数为奇函数．对于A，y＝x是奇函数，故A符合题意；对于B，y＝－的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且－＝－，可得y＝－是奇函数，故B符合题意；对于C，y＝的定义域为[0，＋∞)，是非奇非偶函数，故C不符合题意；对于D，y＝x2的定义域为R，且(－x)2＝x2，所以y＝x2是偶函数，故D不符合题意．

4．函数y＝的图象的对称中心是_________．

解析：y＝＝＝4＋.因为y＝的图象关于(0，0)中心对称，y＝的图象向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到y＝4＋的图象，即可得到y＝4＋图象的对称中心为(2，4).

答案：(2，4)

5．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2－x)＝f(4＋x).若方程f(x)＝0有5个根，则这5个根的和为________．

解析：因为定义在R上的函数f(x)满足f(2－x)＝f(4＋x)，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝＝3，所以方程f(x)＝0的5个根满足x＝＝3，所以这5个根的和为15.

答案：15

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

题型一　一个函数的对称问题

考向1　轴对称问题

[例1] (1)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(4－x)，若函数y＝|x2－4x|与y＝f(x)的图象有6个交点，交点横坐标为xi(i＝1，2，3，4，5，6)，则i＝(　　)

A．4     B．6     

C．8     D．12

(2)若函数f(x)＝a·2x＋b·2－x的图象关于直线x＝1对称，则＝________．

【解析】　(1)由f(x)＝f(4－x)，知f(x)的图象关于直线x＝2对称，又y＝|x2－4x|的图象也关于直线x＝2对称，所以函数y＝|x2－4x|与y＝f(x)的图象的6个交点分3对分别关于直线x＝2对称，每对交点的横坐标之和为4，所以i＝12.

(2)由题意知，对任意x∈R，恒有f(x)＝f(2－x)成立，即a·2x＋b·2－x＝a·22-x＋b·2x-2恒成立，化简得(4a－b)(2x-2－2－x)＝0，故4a－b＝0，又a≠0，