第2章 第4讲 函数的对称性(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数对称性核心考点，涵盖奇函数偶函数性质、轴对称与中心对称公式、两函数对称关系及双对称综合应用，按“定义-性质-应用”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法归纳、真题精讲、分层训练四环节，帮助学生构建对称问题解题框架，突破抽象函数对称性质应用难点。 讲义创新采用“性质辨析-题型建模-素养提升”教学路径，如在中心对称问题中，引导学生通过对称点坐标关系抽象函数解析式，培养数学抽象与逻辑推理能力。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合即时方法反馈，确保学生快速掌握对称性质应用技巧，为教师精准把控复习进度、提升学生高考解题效率提供实用指导。

第4讲　函数的对称性 课标要求　1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式与推论．　2.会利用函数的对称公式解决问题． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称； (2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象的对称中心是点(b，0)． 2．函数的轴对称和中心对称 (1)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)中心对称． 3．两个函数图形的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称． 1．函数y＝f(x)与函数g(x)＝2x+1－1的图象关于直线x＝2对称，则f(4)的值为(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析：选A.因为函数y＝f(x)与函数g(x)＝2x+1－1的图象关于直线x＝2对称， 所以f(4)＝g(0)＝2－1＝1. 2．若曲线f(x)＝关于点(1，－2)中心对称，则a＝(　　) A．3 B．4 C．－3 D．－4 解析：选D.因为函数f(x)的定义域为R，且曲线f(x)＝关于点(1，－2)中心对称，所以f(1)＝＝－2，即a＝－4. 3．(多选)(必修第一册P84例6改编)下列函数的图象关于原点对称的是(　　) A．y＝x B．y＝－ C．y＝ D．y＝x2 解析：选AB.函数的图象关于原点对称即函数为奇函数．对于A，y＝x是奇函数，故A符合题意；对于B，y＝－的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且－＝－，可得y＝－是奇函数，故B符合题意；对于C，y＝的定义域为[0，＋∞)，是非奇非偶函数，故C不符合题意；对于D，y＝x2的定义域为R，且(－x)2＝x2，所以y＝x2是偶函数，故D不符合题意． 4．函数y＝的图象的对称中心是_________． 解析：y＝＝＝4＋.因为y＝的图象关于(0，0)中心对称，y＝的图象向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到y＝4＋的图象，即可得到y＝4＋图象的对称中心为(2，4). 答案：(2，4) 5．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2－x)＝f(4＋x).若方程f(x)＝0有5个根，则这5个根的和为________． 解析：因为定义在R上的函数f(x)满足f(2－x)＝f(4＋x)，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝＝3，所以方程f(x)＝0的5个根满足x＝＝3，所以这5个根的和为15. 答案：15 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 题型一　一个函数的对称问题 考向1　轴对称问题 [例1] (1)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(4－x)，若函数y＝|x2－4x|与y＝f(x)的图象有6个交点，交点横坐标为xi(i＝1，2，3，4，5，6)，则i＝(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 (2)若函数f(x)＝a·2x＋b·2－x的图象关于直线x＝1对称，则＝________． 【解析】　(1)由f(x)＝f(4－x)，知f(x)的图象关于直线x＝2对称，又y＝|x2－4x|的图象也关于直线x＝2对称，所以函数y＝|x2－4x|与y＝f(x)的图象的6个交点分3对分别关于直线x＝2对称，每对交点的横坐标之和为4，所以i＝12. (2)由题意知，对任意x∈R，恒有f(x)＝f(2－x)成立，即a·2x＋b·2－x＝a·22-x＋b·2x-2恒成立，化简得(4a－b)(2x-2－2－x)＝0，故4a－b＝0，又a≠0，则＝4. 【答案】　(1)D　(2)4 【素养小结】　轴对称的几种表述形式 (1)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称 ⇔ f(x)＝f(2a－x) ⇔ f(a－x)＝f(a＋x)； (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． 考向2　中心对称问题 [例2] (1)已知函数f(x)的图象关于点(1，0)成中心对称，当x<1时，f(x)＝x(x＋1)，则x>1时，f(x)＝(　　) A．－(x－2)(x－3) B．(x－2)(x－3) C．－x(x－1) D．x(x－1) (2)已知函数y＝f(x＋1)－1为定义在R上的奇函数，则f(－1 011)＋f(－1 010)＋f(－1 009)＋…＋f(1 012)＋f(1 013)＝__________． 【解析】　(1)若x>1，则2－x<1，故f(2－x)＝(2－x)(3－x)，由函数f(x)的图象关于点(1，0)成中心对称，得f(x)＝－f(2－x)＝－(x－2)(x－3). (2)由于y＝f(x＋1)－1为定义在R上的奇函数，故f(x)图象的对称中心为(1，1)，则f(2－x)＋f(x)＝2，令x＝1，得f(1)＋f(1)＝2，即f(1)＝1，所以f(－1 011)＋f(－1 010)＋f(－1 009)＋…＋f(1 012)＋f(1 013)＝[f(－1 011)＋f(1 013)]＋[f(－1 010)＋f(1 012)]＋…＋[f(0)＋f(2)]＋f(1)＝2×1 012＋1＝2 025. 【答案】　(1)A　(2)2 025 【素养小结】　中心对称的几种表述形式 (1)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称 ⇔ f(a＋x)＋f(a－x)＝2b ⇔ 2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点中心对称． (2)双曲线型函数f(x)＝(a≠0)的图象的对称中心为. [对点训练] 1.函数f(x)＝ex-2－e2-x的图象关于(　　) A．点(－2，0)中心对称 B．直线x＝－2对称 C．点(2，0)中心对称 D．直线x＝2对称 解析：选C.方法一：因为f(x)＋f(4－x)＝(ex-2－e2-x)＋(e2-x－ex-2)＝0，所以f(x) 的图象关于点(2，0) 中心对称． 方法二：f(x) 的图象向左平移2个单位长度得g(x)＝ex－e－x 的图象，又g(x)＝－g(－x)，且g(x)的定义域R 关于原点对称，所以g(x)是奇函数，其图象关于点(0，0)中心对称，所以f(x) 的图象关于点(2，0)中心对称． 2．若函数f(x)＝(x2－2x)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称，则a＋b＝________． 解析：因为函数f(x)＝(x2－2x)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称，令f(x)＝0，可得x2－2x＝0，可得x＝0或x＝2，由对称性可知，方程x2＋ax＋b＝0的两根分别为x1＝－4，x2＝－6，由根与系数的关系可得可得　则a＋b＝34. 答案：34 题型二　两个函数的对称问题 [例3] 已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象(　　) A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝3对称 C．关于直线y＝3对称 D．关于点(3，0)对称 【解析】　设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上．而点P(x0，y0)与点Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称． 【答案】　A 【素养小结】　破解两个函数图象间的对称的方法 (1)利用函数y＝f(a＋x)与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称，即可求出对称轴； (2)利用图象的变换进行判断，注意口诀“左加右减”在题中的应用． [对点训练] 1.函数y＝3x与y＝32-x的图象(　　) A．关于直线x＝对称 B．关于直线x＝对称 C．关于直线x＝1对称 D．关于直线x＝2对称 解析：选C.设函数y＝3x与y＝32-x的图象关于直线x＝a对称， 因为函数y＝3x图象关于直线x＝a对称图象的函数解析式为y＝32a－x， 所以32a－x＝32-x，解得a＝1. 2．已知f(x)＝ln (1－x)，函数g(x)的图象与f(x)的图象关于点(1，0)对称，则g(x)的解析式为______________． 解析：方法一：设P(x，y)为函数y＝g(x)图象上任意一点，则点P(x，y)关于点(1，0)的对称点Q(2－x，－y)在函数y＝f(x)的图象上，即－y＝f(2－x)＝ln (x－1).所以y＝－ln (x－1)，所以g(x)＝－ln (x－1). 方法二：f(x)＝ln (1－x)的图象向左平移1个单位长度得y＝ln (－x)的图象，其关于原点对称的图象的函数解析式为y＝－ln x，再向右平移1个单位长度得y＝－ln (x－1)的图象，所以g(x)＝－ln (x－1). 方法三：y＝f(x)关于点(1，0)对称的函数g(x)＝－f(2－x)＝－ln (x－1). 答案：g(x)＝－ln (x－1) 题型三　双对称问题 [例4] 已知f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　) A．－50 B．0 C．2 D．50 【解析】　方法一：因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，① 且f(0)＝0，因为f(1－x)＝f(1＋x)， 所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，② 由①②可得f(x)是周期为4的周期函数， 对于f(1＋x)＝f(1－x)， 令x＝1，得f(2)＝f(0)＝0； 令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2； 令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0. 故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12(f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4))＋f(1)＋f(2)＝2. 方法二：因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，且f(－x)＝－f(x)，① 又因为f(1－x)＝f(1＋x)， 所以f(－x)＝f(2＋x)(用1＋x代替x)，② 由①②得f(2＋x)＝－f(x)， 所以f(4＋x)＝－f(2＋x)(用2＋x代替x)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)的最小正周期为4，下同方法一． 【答案】　C 【素养小结】　(1)若f(x)的图象关于直线x＝a，x＝b对称，则T＝2|a－b|(a≠b). (2)若f(x)的图象关于点(a，0)，(b，0)对称，则T＝2|a－b|(a≠b). (3)若f(x)的图象关于直线x＝a，点(b，0)对称，则T＝4|a－b|(a≠b). [对点训练] 1.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝1＋x，则f(8.6)＝________． 解析：由已知得f(x)的图象关于直线x＝0和x＝1对称，故f(x)的周期为2，所以f(8.6)＝f(0.6)＝f(－0.6)＝0.4. 答案：0.4 2．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且满足f(x＋1)＋f(3－x)＝0，当x∈(2，4)时，f(x)＝－log(x－1)＋m，若＝f(－1)，则实数m的值为________． 解析：由已知得f(x)的图象关于点(0，0)与(2，0)对称，所以f(x)是周期为2|2－0|＝4的周期函数，当x∈(2，4)时，f(x)＝－log(x－1)＋m，则f(3)＝m＋1，则f(2 025)＝f(1)＝－f(－1)＝－f(3)＝－m－1，所以＝m＋1，解得m＝－. 答案：－ 学科网（北京）股份有限公司 $