第2章 第4讲 函数的对称性(课件PPT)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的对称性”专题，依据课标要求梳理了函数轴对称、中心对称、两个函数对称关系及双对称与周期性四大核心考点，通过基础公式推导与典型例题解析，明确了分式函数对称中心、方程根对称求和等高频考向，构建了“知识梳理-技能训练-题型突破”的备考体系。 课件亮点在于“公式推论+题型建模+素养提升”的复习策略，如通过例1函数对称求交点横坐标之和培养数学思维的推理能力，例4双对称结合周期性训练逻辑思维，总结轴对称、中心对称的通性通法助学生掌握解题技巧，教师可依托此课件实现考点精准突破，提升复习效率。

第4讲　函数的对称性 课标要求 1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式与推论．　2.会利用函数的对称公式解决问题． 返回导航 内 容 索 引 落实必备知识 1 1 探究核心题型 2 落实必备知识 第一部分 4 1．奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称； (2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线_____对称；若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象的对称中心是点_______． x＝a (b，0) 返回导航 2．函数的轴对称和中心对称 (1)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，则y＝f(x)的图象关于直线_____对称； (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)的图象关于点_______中心对称． 3．两个函数图形的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于_____对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于_____对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于______对称． x＝a (a，0) y轴 x轴 原点 返回导航 1．函数y＝f(x)与函数g(x)＝2x+1－1的图象关于直线x＝2对称，则f(4)的值为(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析：因为函数y＝f(x)与函数g(x)＝2x+1－1的图象关于直线x＝2对称， 所以f(4)＝g(0)＝2－1＝1. A　 返回导航 D　 返回导航 AB　 返回导航 解析：函数的图象关于原点对称即函数为奇函数．对于A，y＝x是奇函数，故A符合题意； 对于D，y＝x2的定义域为R，且(－x)2＝x2，所以y＝x2是偶函数，故D不符合题意． 返回导航 (2，4) 返回导航 5．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2－x)＝f(4＋x).若方程f(x)＝0有5个根，则这5个根的和为________． 15 返回导航 探究核心题型 第二部分 13 题型一　一个函数的对称问题 D　 返回导航 返回导航 4 返回导航 返回导航 考向2　中心对称问题 [例2] (1)已知函数f(x)的图象关于点(1，0)成中心对称，当x<1时，f(x)＝x(x＋1)，则x>1时，f(x)＝(　　) A．－(x－2)(x－3) B．(x－2)(x－3) C．－x(x－1) D．x(x－1) 【解析】　若x>1，则2－x<1，故f(2－x)＝(2－x)(3－x)，由函数f(x)的图象关于点(1，0)成中心对称，得f(x)＝－f(2－x)＝－(x－2)(x－3). A　 返回导航 (2)已知函数y＝f(x＋1)－1为定义在R上的奇函数，则f(－1 011)＋f(－1 010)＋f(－1 009)＋…＋f(1 012)＋f(1 013)＝__________． 【解析】 由于y＝f(x＋1)－1为定义在R上的奇函数，故f(x)图象的对称中心为(1，1)，则f(2－x)＋f(x)＝2，令x＝1，得f(1)＋f(1)＝2，即f(1)＝1，所以f(－1 011)＋f(－1 010)＋f(－1 009)＋…＋f(1 012)＋f(1 013)＝[f(－1 011)＋f(1 013)]＋[f(－1 010)＋f(1 012)]＋…＋[f(0)＋f(2)]＋f(1)＝2×1 012＋1＝ 2 025. 2 025 返回导航 返回导航 [对点训练] 1.函数f(x)＝ex-2－e2-x的图象关于(　　) A．点(－2，0)中心对称 B．直线x＝－2对称 C．点(2，0)中心对称 D．直线x＝2对称 解析：方法一：因为f(x)＋f(4－x)＝(ex-2－e2-x)＋(e2-x－ex-2)＝0，所以f(x) 的图象关于点(2，0) 中心对称． 方法二：f(x) 的图象向左平移2个单位长度得g(x)＝ex－e－x 的图象，又g(x)＝－g(－x)，且g(x)的定义域R 关于原点对称，所以g(x)是奇函数，其图象关于点(0，0)中心对称，所以f(x) 的图象关于点(2，0)中心对称． C　 返回导航 2．若函数f(x)＝(x2－2x)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称，则a＋b＝________． 34 返回导航 [例3] 已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象(　　) A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝3对称 C．关于直线y＝3对称 D．关于点(3，0)对称 【解析】　设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上．而点P(x0，y0)与点Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称． 题型二　两个函数的对称问题 A　 返回导航 返回导航 C　 解析：设函数y＝3x与y＝32-x的图象关于直线x＝a对称， 因为函数y＝3x图象关于直线x＝a对称图象的函数解析式为y＝32a－x， 所以32a－x＝32-x，解得a＝1. 返回导航 2．已知f(x)＝ln (1－x)，函数g(x)的图象与f(x)的图象关于点(1，0)对称，则g(x)的解析式为___________________． 解析：方法一：设P(x，y)为函数y＝g(x)图象上任意一点，则点P(x，y)关于点(1，0)的对称点Q(2－x，－y)在函数y＝f(x)的图象上，即－y＝f(2－x)＝ln (x－1).所以y＝－ln (x－1)，所以g(x)＝－ln (x－1). 方法二：f(x)＝ln (1－x)的图象向左平移1个单位长度得y＝ln (－x)的图象，其关于原点对称的图象的函数解析式为y＝－ln x，再向右平移1个单位长度得y＝－ln (x－1)的图象，所以g(x)＝－ln (x－1). 方法三：y＝f(x)关于点(1，0)对称的函数g(x)＝－f(2－x)＝－ln (x－1). g(x)＝－ln (x－1) 返回导航 题型三　双对称问题 [例4] 已知f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　) A．－50 B．0 C．2 D．50 C　 返回导航 【解析】　方法一：因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，① 且f(0)＝0，因为f(1－x)＝f(1＋x)， 所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，② 由①②可得f(x)是周期为4的周期函数， 对于f(1＋x)＝f(1－x)， 令x＝1，得f(2)＝f(0)＝0； 令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2； 令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0. 故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12(f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4))＋f(1)＋f(2)＝2. 返回导航 方法二：因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，且f(－x)＝－f(x)，① 又因为f(1－x)＝f(1＋x)， 所以f(－x)＝f(2＋x)(用1＋x代替x)，② 由①②得f(2＋x)＝－f(x)， 所以f(4＋x)＝－f(2＋x)(用2＋x代替x)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)的最小正周期为4，下同方法一． 返回导航 【素养小结】　(1)若f(x)的图象关于直线x＝a，x＝b对称，则T＝2|a－b|(a≠b). (2)若f(x)的图象关于点(a，0)，(b，0)对称，则T＝2|a－b|(a≠b). (3)若f(x)的图象关于直线x＝a，点(b，0)对称，则T＝4|a－b|(a≠b). 返回导航 [对点训练] 1.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝1＋x，则f(8.6)＝________． 解析：由已知得f(x)的图象关于直线x＝0和x＝1对称，故f(x)的周期为2，所以f(8.6)＝f(0.6)＝f(－0.6)＝0.4. 0.4 返回导航 返回导航 考向1　轴对称问题 [例1] (1)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(4－x)，若函数y＝|x2－4x|与y＝f(x)的图象有6个交点，交点横坐标为xi(i＝1，2，3，4，5，6)，则i＝(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 【解析】　由f(x)＝f(4－x)，知f(x)的图象关于直线x＝2对称，又y＝|x2－4x|的图象也关于直线x＝2对称，所以函数y＝|x2－4x|与y＝f(x)的图象的6个交点分3对分别关于直线x＝2对称，每对交点的横坐标之和为4，所以i＝12. $