第2章 第4讲 函数的对称性 课后达标检测(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

1．与函数y＝7x的图象关于y轴对称的是(　　)

A．y＝－x     B．y＝x

C．y＝x     D．y＝－x

解析：选B.设(x，y)为函数y＝7x图象上任意一点，点(－x，y)在y＝x的图象上，所以y＝7x与y＝x的图象关于y轴对称，B正确．

2．已知函数f(x)＝x2＋mx，若∀x∈R，f(1－x)＝f(1＋x)，则m＝(　　)

A．－4     B．－2     

C．2     D．4

解析：选B.因为∀x∈R，f(1－x)＝f(1＋x)，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1，而由f(x)＝x2＋mx＝2－可知其图象的对称轴为直线x＝－，故－＝1，解得m＝－2.

3．将函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与函数g(x)＝的图象关于原点对称，则f(－5)＝(　　)

A．－     B．－2     

C．2     D．

解析：选B.函数g(x)＝的图象关于原点对称的函数图象对应的解析式为y＝－，将函数y＝－的图象向左平移1个单位长度，可得到函数f(x)＝－的图象，故f(－5)＝－2.

4．已知函数f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x＋2)＋2的图象(　　)

A．关于点(－2，2)对称     

B．关于点(2，－2)对称

C．关于直线x＝2对称     

D．关于直线x＝－2对称

解析：选A.因为f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－f(x)，则f(x)为奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，函数y＝f(x＋2)＋2的图象可由f(x)的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，所以函数y＝f(x＋2)＋2的图象关于点(－2，2)对称．

5．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(2－x)＝f(x)，f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(30)＝(　　)

A．2     B．0     

C．60     D．62

解析：选A.由题意f(2－x)＝f(x)＝－f(－x)，所以f(2＋x)＝－f(x)，即f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，且f(x)的图象关于直线x＝1对称，而f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(0)＋f(1)＋f(－1)＋f(2)＝f(2)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(30)＝f(29)＋f(30)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2.

6．(多选)已知函数f(x)＝x3－3x2＋3x，则(　　)

A．f(f(1))＝1

B．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称

C．函数f(x)是奇函数

D．函数f(x)的图象关于点(1，1)中心对称

解析：选AD.函数f(x)＝x3－3x2＋3x，所以f(1)＝1－3＋3＝1，所以f(f(1))＝f(1)＝1，故A正确；f(－x＋2)＝(－x＋2)3－3(－x＋2)2＋3(－x＋2)＝－x3＋3x2－3x＋2，f(x)≠f(－x＋2)，故函数f(x)的图象不关于直线x＝1对称，故B错误；f(－x＋2)＋f(x)＝2，所以函数f(x)的图象关于点(1，1)中心对称，故D正确；f(－x)＝－x3－3x2－3x≠f(x)且f(－x)＋f(x)＝－x3－3x2－3x＋x3－3x2＋3x＝－6x2≠0，所以函数f(x)是非奇非偶函数，故C错误．

7．已知函数f(x)的图象关于点(1，2)中心对称，且f(2)＝3，则f(0)＝

________．

解析：因为函数f(x)的图象关于点(1，2)中心对称，所以f(2－x)＋f(x)＝4，令x＝2，得f(0)＋f(2)＝4，由f(2)＝3，解得f(0)＝1.

答案：1

8．已知定义在R上的函数f(x)满足对任意实数x都有f(x＋3)＝f(x＋2)f(x＋1)，f(x)＝f(2－x)成立，若f(2)＝1，则f(k)＝__________．

解析：由f(x)＝f(2－x)可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，

因为f(2)＝1，所以f(0)＝1，

在f(x＋3)＝f(x＋2)f(x＋1)中，

令x＝－1，代入可得f(1)＝1，

再令x＝0，代入可得f(3)＝1，再令x＝1，代入可得f(4)＝1，…，

故令x＝n－3，n∈Z，代入可得f(n)＝1，故f(k)＝＝n.

答案：n

9．(13分)设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.

(1)求f(π)的值；(5分)

(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．(8分)

解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，又f(x)为奇函数，所以f(π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.

(2)由f(x)是奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))，即f(1＋x)＝f(1－x)，故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点中心对称，4为f(x)的周期，则当－4≤x≤4时，f(x)的图象如图所示．