第2章 第4讲 函数的对称性 课后达标检测(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

**基本信息** 聚焦函数性质与图象变换，以题载法构建"性质判定-变换规则-综合应用"的递进式训练体系，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |对称性|3题|坐标对称法、中点公式法|从点对称到轴对称，构建对称性质判定框架| |奇偶性与周期性|5题|定义法、周期推导公式|奇偶性判定→周期性质推导→综合应用| |图象变换|4题|平移法则、对称变换口诀|平移变换→对称变换→复合变换规律| |综合应用|2题|性质综合应用模型|多性质融合，培养数学思维的严谨性|

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．与函数y＝7x的图象关于y轴对称的是(　　) A．y＝－x B．y＝x C．y＝x D．y＝－x 解析：选B.设(x，y)为函数y＝7x图象上任意一点，点(－x，y)在y＝x的图象上，所以y＝7x与y＝x的图象关于y轴对称，B正确． 2．已知函数f(x)＝x2＋mx，若∀x∈R，f(1－x)＝f(1＋x)，则m＝(　　) A．－4 B．－2 C．2 D．4 解析：选B.因为∀x∈R，f(1－x)＝f(1＋x)，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1，而由f(x)＝x2＋mx＝2－可知其图象的对称轴为直线x＝－，故－＝1，解得m＝－2. 3．将函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与函数g(x)＝的图象关于原点对称，则f(－5)＝(　　) A．－ B．－2 C．2 D． 解析：选B.函数g(x)＝的图象关于原点对称的函数图象对应的解析式为y＝－，将函数y＝－的图象向左平移1个单位长度，可得到函数f(x)＝－的图象，故f(－5)＝－2. 4．已知函数f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x＋2)＋2的图象(　　) A．关于点(－2，2)对称 B．关于点(2，－2)对称 C．关于直线x＝2对称 D．关于直线x＝－2对称 解析：选A.因为f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－f(x)，则f(x)为奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，函数y＝f(x＋2)＋2的图象可由f(x)的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，所以函数y＝f(x＋2)＋2的图象关于点(－2，2)对称． 5．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(2－x)＝f(x)，f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(30)＝(　　) A．2 B．0 C．60 D．62 解析：选A.由题意f(2－x)＝f(x)＝－f(－x)，所以f(2＋x)＝－f(x)，即f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，且f(x)的图象关于直线x＝1对称，而f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(0)＋f(1)＋f(－1)＋f(2)＝f(2)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(30)＝f(29)＋f(30)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2. 6．(多选)已知函数f(x)＝x3－3x2＋3x，则(　　) A．f(f(1))＝1 B．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称 C．函数f(x)是奇函数 D．函数f(x)的图象关于点(1，1)中心对称 解析：选AD.函数f(x)＝x3－3x2＋3x，所以f(1)＝1－3＋3＝1，所以f(f(1))＝f(1)＝1，故A正确；f(－x＋2)＝(－x＋2)3－3(－x＋2)2＋3(－x＋2)＝－x3＋3x2－3x＋2，f(x)≠f(－x＋2)，故函数f(x)的图象不关于直线x＝1对称，故B错误；f(－x＋2)＋f(x)＝2，所以函数f(x)的图象关于点(1，1)中心对称，故D正确；f(－x)＝－x3－3x2－3x≠f(x)且f(－x)＋f(x)＝－x3－3x2－3x＋x3－3x2＋3x＝－6x2≠0，所以函数f(x)是非奇非偶函数，故C错误． 7．已知函数f(x)的图象关于点(1，2)中心对称，且f(2)＝3，则f(0)＝________． 解析：因为函数f(x)的图象关于点(1，2)中心对称，所以f(2－x)＋f(x)＝4，令x＝2，得f(0)＋f(2)＝4，由f(2)＝3，解得f(0)＝1. 答案：1 8．已知定义在R上的函数f(x)满足对任意实数x都有f(x＋3)＝f(x＋2)f(x＋1)，f(x)＝f(2－x)成立，若f(2)＝1，则f(k)＝__________． 解析：由f(x)＝f(2－x)可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称， 因为f(2)＝1，所以f(0)＝1， 在f(x＋3)＝f(x＋2)f(x＋1)中， 令x＝－1，代入可得f(1)＝1， 再令x＝0，代入可得f(3)＝1，再令x＝1，代入可得f(4)＝1，…， 故令x＝n－3，n∈Z，代入可得f(n)＝1，故f(k)＝＝n. 答案：n 9．(13分)设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x. (1)求f(π)的值；(5分) (2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．(8分) 解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，又f(x)为奇函数，所以f(π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f(x)是奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))，即f(1＋x)＝f(1－x)，故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点中心对称，4为f(x)的周期，则当－4≤x≤4时，f(x)的图象如图所示． 设f(x)的图象与x轴所围成图形的面积为S，则S＝4S△OAB＝4×(×2×1)＝4. 10．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝1－f(1－x)，若函数y＝与函数y＝f(x)的图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x2 025，y2 025)，则 (xi＋yi)＝(　　) A．0 B． C．2 025 D． 解析：选C.依题意，由f(x)＝1－f(1－x)，得f(x)＋f(1－x)＝1，则函数y＝f(x) 的图象关于点对称．令g(x)＝，则g(x)＋g(1－x)＝＋＝＋＝1，因此函数y＝g(x)的图象关于点对称，且在函数y＝g(x)的图象上，显然函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象的对称中心相同，则函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象的交点关于点对称，不妨令点(xi，yi) 与(x2 026－i，y2 026－i)(i＝1，2，3，…，2 025) 关于点对称，则xi＋x2 026－i＝1，yi＋y2 026－i＝1，(xi＋yi)＋(x2 026－i＋y2 026－i)＝2，所以 (xi＋yi)＝2×1 012＋x1 013＋y1 013＝2 025. 11．(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x∈(0，1]时，f(x)＝ex-1，则(　　) A．f(2 025)＝1 B．f(x)的周期为4 C．f(x)的值域为[－1，1] D．f(x＋1)是偶函数 解析：选ABD.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)，又f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)＝f(2－x)，则－f(－x)＝f(2－x)，即－f(x)＝f(2＋x)，即f(x)＝－f(2＋x)，则f(x＋2)＝－f(x＋4)，则f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)的周期为4，B正确；f(2 025)＝f(4×506＋1)＝f(1)＝e1-1＝e0＝1，A正确；当x∈(0，1]时，f(x)＝ex-1，则f(x)∈，由奇函数的性质，可得当x∈[－1，0)时，f(x)∈，且f(0)＝0，又f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(x)的周期为4，所以f(x)的值域为∪{0}∪，C错误；因为f(x)的图象向左平移1个单位长度得到f(x＋1)的图象，又f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x＋1)的图象关于y轴对称，则f(x＋1)是偶函数，D正确． 12．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，设函数g(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________． 解析：由函数g(x)＝＝＝1＋， 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以有f(－x)＝－f(x)，则g(x)＋g(－x)＝1＋＋1＋＝2＋＝2， 所以可得函数g(x)的图象关于点(0，1)中心对称，因为函数g(x)的最大值为M，最小值为m，所以最大值与最小值关于点(0，1)中心对称，即M＋m＝2. 答案：2 13．(15分)给定函数f(x)＝x－. (1)求函数f(x)图象的对称中心；(4分) (2)用定义证明f(x)在区间(－1，＋∞)上的单调性，并求f(x)在[1，5]上的值域；(4分) (3)已知函数g(x)的图象关于点(1，1)对称，且当x∈[0，1]时，g(x)＝x2.若对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[1，5]，使得g(x1)＝f(x2)＋m，求实数m的取值范围．(7分) 解：(1)设函数f(x)图象的对称中心为(a，b)，则f(a＋x)＋f(a－x)－2b＝0，即(x＋a)－＋(－x＋a)－－2b＝0，整理得(a－b)x2＝(a－b)(a＋1)2－6(a＋1)， 于是a－b＝(a－b)(a＋1)2－6(a＋1)＝0，解得a＝b＝－1，所以函数f(x)图象的对称中心为(－1，－1). (2)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2，则 f(x1)－f(x2) ＝x1－－ ＝(x1－x2)， 因为x1－x2<0且1＋>0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)＝x－在(－1，＋∞)上单调递增． 所以f(x)在[1，5]上单调递增，故f(x)的值域为[－2，4]. (3)由于对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[1，5]，使得g(x1)＝f(x2)＋m， 于是问题转化为g(x)在[0，2]上的值域是f(x)＋m在[1，5]上值域的子集， 由g(x)在[0，1]上单调递增，图象又关于点(1，1)对称且经过点(1，1)， 可知g(x)在(1，2]上也单调递增，故g(x)在[0，2]上单调递增，又g(0)＝0，g(2)＝2， 所以g(x)在[0，2]上的值域为[0，2]. 又f(x)＋m在[1，5]上的值域为[－2＋m，4＋m]，所以[0，2]⊆[－2＋m，4＋m]， 所以 解得－2≤m≤2， 故实数m的取值范围是[－2，2]. 14．(多选)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝9，则下列关于f(x)的说法正确的有(　　) A．f(x)的一个周期为4 B．直线x＝26是函数f(x)图象的一条对称轴 C．当x∈[1，2]时，f(x)＝3x2－3 D．f()＝ 解析：选ABD.对于A，因为f(x＋1)为奇函数，所以f(1)＝0，且f(x＋1)＝－f(－x＋1)，函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，f((x＋1)＋1)＝－f(－(x＋1)＋1)＝－f(－x)，即f(x＋2)＝－f(－x)，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)＝－f(－x)，令t＝－x，则f(t＋2)＝－f(t)，所以f(t＋4)＝－f(t＋2)＝f(t)，所以f(x＋4)＝f(x)，故f(x)的一个周期为4，故A正确；对于B，因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(x)的一个周期为4，所以直线x＝26是函数f(x)图象的一条对称轴，故B正确；对于C，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b，f(0)＝－f(2)＝－4a－b，f(3)＝f(1)＝a＋b，又f(0)＋f(3)＝9，所以－3a＝9，解得a＝－3，因为f(1)＝a＋b＝0，所以b＝－a＝3，所以当x∈[1，2]时，f(x)＝－3x2＋3，故C不正确；对于D，f()＝f(253×4＋)＝f()＝－f()＝，故D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $