第2章 第4讲 函数的对称性 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦函数性质综合应用，以对称性、奇偶性、周期性为核心，构建"概念辨析-变换推导-综合应用"的递进式方法体系，培养直观想象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质判断|3题|定义法（奇偶性）、图象特征法（对称中心/轴）|从具体函数（正切、幂函数等）抽象对称性本质| |对称与平移变换|4题|对称点法（求对称函数）、平移转化法（f(x+1)→f(x)对称）|平移变换与对称性的关联推导| |综合性质应用|6题|周期推导（f(x+2)=-f(x)→T=4）、性质互推（奇偶性+对称性→周期性）|多性质融合的逻辑链构建（如奇函数+轴对称→周期函数）|

1．下列函数的图象中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　) A．y＝tan x B．y＝x-1 C．y＝x3 D．y＝ln |x| 解析：选B．由正切函数的图象性质：y＝tan x的图象关于原点对称，但没有对称轴，不符合题意；由幂函数的图象性质：y＝x-1的图象关于原点和直线y＝±x对称，符合题意；由幂函数的图象性质：y＝x3的图象关于原点对称，但没有对称轴，不符合题意；由ln |－x|＝ln |x|，即y＝ln |x|的图象关于y轴对称，但没有对称中心，不符合题意． 2．下列函数中，其图象与函数y＝log2x的图象关于直线x＝2对称的是(　　) A．y＝log2(2＋x) B．y＝log2(2－x) C．y＝log2(4＋x) D．y＝log2(4－x) 解析：选D．设所求函数的图象上任意一点P(x，y)，则点P关于直线x＝2对称的点为Q(4－x，y)，由题意知点Q在y＝log2x的图象上，可得y＝log2(4－x)，即函数y＝log2x的图象关于直线x＝2对称的函数图象的解析式为y＝log2(4－x). 3．已知函数y＝f(x＋2)为奇函数，则函数y＝f(x)＋2的图象(　　) A．关于点(2，2)对称 B．关于点(2，－2)对称 C．关于点(－2，2)对称 D．关于点(－2，－2)对称 解析：选A．因为函数y＝f(x＋2)为奇函数，所以f(－x＋2)＝－f(x＋2)，所以函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称，所以函数y＝f(x)＋2的图象关于点(2，2)对称． 4．已知函数f(x)对任意的x∈R都有f(x)＝f(2－x)成立，且当x≥1时，f(x)＝2x－1，则(　　) A．f()<f()<f() B．f()<f()<f() C．f()<f()<f() D．f()<f()<f() 解析：选B．由题意知，函数f(x)图象的对称轴方程是x＝1，当x≥1时，f(x)＝2x－1，则函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，由f(x)的对称性知f(x)在(－∞，1)上单调递减．因为1－<－1<1－，所以f()<f()<f(). 5．已知函数f(x)的定义域为R，且y＝f(x＋1)的图象关于点(－1，0)中心对称．当x>0时，f(x)＝，函数f(x)的图象与函数g(x)的图象关于直线x＝3对称，则g(8)＝(　　) A．1 B．3 C．－1 D．－3 解析：选C．将y＝f(x＋1)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝f(x)的图象，又y＝f(x＋1)的图象关于点(－1，0)中心对称，所以y＝f(x)的图象关于原点中心对称，则y＝f(x)在R上是奇函数．因为函数f(x)的图象与函数g(x)的图象关于直线x＝3对称，所以g(x)＝f(6－x)，所以g(8)＝f(6－8)＝f(－2)＝－f(2)＝－1. 6．(多选)已知定义域为R的函数f(x＋1)为奇函数，f(x)的图象关于直线x＝2对称，则(　　) A．f(x)的图象关于点(1，0)中心对称 B．f(x)为奇函数 C．f(x)是周期为4的周期函数 D．f(2 025)＝0 解析：选ACD．因为f(x＋1)为奇函数，f(x＋1)的图象向右平移1个单位长度得到f(x)的图象，所以f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，故A正确； 由f(x＋1)为奇函数，得f(x＋1)＝－f(－x＋1)，则f(x)＋f(－x＋2)＝0，又f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(－x＋2)＝f(x＋2)，则f(x)＝－f(x＋2)，则f(x＋2)＝－f(x＋4)，即f(x)＝f(x＋4)，则f(x)是周期为4的周期函数，故C正确； 令x＝1，则由f(x)＋f(－x＋2)＝0，得2f(1)＝0，则f(1)＝0，f(2 025)＝f(2 025－4×506)＝f(1)＝0，故D正确； 由f(－x＋2)＝f(x＋2)，得f(－x)＝f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故B错误． 7．(2026·日照模拟)已知函数f(x)＝的图象关于点P对称，则点P的坐标为________． 解析：令9－3x≠0，解得x≠2，可知f(x)的定义域为{x|x≠2}，又因为f(2＋x)＋f(2－x)＝＋＝(＋)＝.所以函数f(x)的图象关于点P(2，)对称． 答案：(2，) 8．已知定义在R上的函数f(x)满足f(4－x)＋f(x)＝2，若f(x)的图象关于直线x＝4对称，则f(－2)＝________． 解析：因为f(4－x)＋f(x)＝2，令x＝2，得2f(2)＝2，所以f(2)＝1.又f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以f(6)＝f(2)＝1.令x＝－2，得f(6)＋f(－2)＝2，所以f(－2)＝2－1＝1. 答案：1 9．(13分)已知函数f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x. (1)判断并证明函数f(x)图象的对称性；(6分) (2)求f(x)的单调区间．(7分) 解：(1)f(x)的图象关于直线x＝2对称．证明如下： 由|x－2|＞0，得x≠2，所以f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞). 因为f(2－x)＝log2|x|＋(2－x)2－4(2－x)＝log2|x|＋x2－4，f(2＋x)＝log2|x|＋(2＋x)2－4(2＋x)＝log2|x|＋x2－4， 所以f(2＋x)＝f(2－x)， 所以f(x)的图象关于直线x＝2对称． (2)设y1＝log2|x－2|，y2＝x2－4x，当x＞2时，y1＝log2|x－2|＝log2(x－2)单调递增，y2＝x2－4x也单调递增，故f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x在(2，＋∞)上单调递增． 又f(x)的图象关于直线x＝2对称， 故f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2). 10．(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x∈(0，1]时，f(x)＝ex-1，则(　　) A．f(2 025)＝1 B．f(x)的周期为4 C．f(x)的值域为[－1，1] D．f(x＋1)是偶函数 解析：选ABD．因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)，又f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)＝f(2－x)，则－f(－x)＝f(2－x)，即－f(x)＝f(2＋x)，即f(x)＝－f(2＋x)，则f(x＋2)＝－f(x＋4)，则f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)的周期为4，B正确； f(2 025)＝f(4×506＋1)＝f(1)＝e1-1＝e0＝1，A正确； 当x∈(0，1]时，f(x)＝ex-1，则f(x)∈(，1]，由奇函数的性质，可得当x∈[－1，0)时，f(x)∈[－1，－)，且f(0)＝0，又f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(x)的周期为4，所以f(x)的值域为[－1，－)∪{0}∪(，1]，C错误； 因为f(x)的图象向左平移1个单位长度得到f(x＋1)的图象，又f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x＋1)的图象关于y轴对称，则f(x＋1)是偶函数，D正确． 11．(多选)(2025·辽宁五校联考)若定义域为R的函数f(x)满足f(1＋2x)＝4－f(1－2x)，且函数g(x)＝f(x)＋2x的图象关于直线x＝2对称，则(　　) A．f(x)的图象关于点(1，2)中心对称 B．g(x)的图象关于点(1，2)中心对称 C．g(x＋4)＝g(x) D．若f(2)＝1，则f(2 026)＝－4 047 解析：选ACD．由f(1＋2x)＝4－f(1－2x)，得f(x)＝4－f(2－x)，所以f(x)＋f(2－x)＝4，所以f(x)的图象关于点(1，2)中心对称，故A正确； 由f(x)＋f(2－x)＝4，得(g(x)－2x)＋[g(2－x)－2(2－x)]＝4，即g(x)＋g(2－x)＝8，所以g(x)的图象关于点(1，4)中心对称，故B错误；又因为函数g(x)＝f(x)＋2x的图象关于直线x＝2对称，所以g(x)＝g(4－x)，所以g(4－x)＋g(2－x)＝8，所以g(2－x)＋g(－x)＝8，所以g(－x)＝g(4－x)，即g(x＋4)＝g(x)，所以g(x)是以4为周期的周期函数，故C正确； 若f(2)＝1，则g(2)＝f(2)＋2×2＝5，所以g(2 026)＝g(2)＝5，所以f(2 026)＝g(2 026)－2×2 026＝－4 047，故D正确． 12．已知函数y＝f(x)－1是奇函数，若曲线y＝1＋ 与曲线y＝f(x)共有6个交点，分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)，则(xi＋yi)＝________． 解析：因为y＝f(x)－1为奇函数，所以y＝f(x)的图象关于点(0，1)对称．又y＝1＋的图象关于点(0，1)对称，所以x1＋x2＋…＋x6＝0，y1＋y2＋…＋y6＝3×2＝6，所以(xi＋yi)＝(x1＋x2＋…＋x6)＋(y1＋y2＋…＋y6)＝6. 答案：6 13．(15分)设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x. (1)求f(π)的值；(7分) (2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．(8分) 解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数， 又f(x)为奇函数，所以f(π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f(x)是奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))，即f(1＋x)＝f(1－x)，故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称． 又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点中心对称，4为f(x)的周期，则当－4≤x≤4时，f(x)的图象如图所示． 设f(x)的图象与x轴所围成图形的面积为S，则S＝4S△OAB＝4×(×2×1)＝4. 14．(多选)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝9，则下列关于f(x)的说法正确的有(　　) A．f(x)的一个周期为4 B．直线x＝2 026是函数f(x)图象的一条对称轴 C．当x∈[1，2]时，f(x)＝3x2－3 D．f()＝ 解析：选ABD．对于A，因为f(x＋1)为奇函数，所以f(1)＝0，且f(x＋1)＝－f(－x＋1)，函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，f((x＋1)＋1)＝－f(－(x＋1)＋1)＝－f(－x)，即f(x＋2)＝－f(－x)，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)＝－f(－x)，令t＝－x，则f(t＋2)＝－f(t)，所以f(t＋4)＝－f(t＋2)＝f(t)，所以f(x＋4)＝f(x)，故f(x)的一个周期为4，故A正确； 对于B，因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(x)的一个周期为4，所以直线x＝2 026是函数f(x)图象的一条对称轴，故B正确； 对于C，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b，f(0)＝－f(2)＝－4a－b，f(3)＝f(1)＝a＋b，又f(0)＋f(3)＝9，所以－3a＝9，解得a＝－3，因为f(1)＝a＋b＝0，所以b＝－a＝3，所以当x∈[1，2]时，f(x)＝－3x2＋3，故C不正确； 对于D，f()＝f(253×4＋)＝f()＝－f()＝，故D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $