第2章 第4讲 函数的对称性 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

1．下列函数的图象中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)

A．y＝tan x    B．y＝x-1

C．y＝x3    D．y＝ln |x|

解析：选B．由正切函数的图象性质：y＝tan x的图象关于原点对称，但没有对称轴，不符合题意；由幂函数的图象性质：y＝x-1的图象关于原点和直线y＝±x对称，符合题意；由幂函数的图象性质：y＝x3的图象关于原点对称，但没有对称轴，不符合题意；由ln |－x|＝ln |x|，即y＝ln |x|的图象关于y轴对称，但没有对称中心，不符合题意．

2．下列函数中，其图象与函数y＝log2x的图象关于直线x＝2对称的是(　　)

A．y＝log2(2＋x)    B．y＝log2(2－x)

C．y＝log2(4＋x)    D．y＝log2(4－x)

解析：选D．设所求函数的图象上任意一点P(x，y)，则点P关于直线x＝2对称的点为Q(4－x，y)，由题意知点Q在y＝log2x的图象上，可得y＝log2(4－x)，即函数y＝log2x的图象关于直线x＝2对称的函数图象的解析式为y＝log2(4－x).

3．已知函数y＝f(x＋2)为奇函数，则函数y＝f(x)＋2的图象(　　)

A．关于点(2，2)对称

B．关于点(2，－2)对称

C．关于点(－2，2)对称

D．关于点(－2，－2)对称

解析：选A．因为函数y＝f(x＋2)为奇函数，所以f(－x＋2)＝－f(x＋2)，所以函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称，所以函数y＝f(x)＋2的图象关于点(2，2)对称．

4．已知函数f(x)对任意的x∈R都有f(x)＝f(2－x)成立，且当x≥1时，f(x)＝2x－1，则(　　)

A．f()<f()<f()

B．f()<f()<f()

C．f()<f()<f()

D．f()<f()<f()

解析：选B．由题意知，函数f(x)图象的对称轴方程是x＝1，当x≥1时，f(x)＝2x－1，则函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，由f(x)的对称性知f(x)在(－∞，1)上单调递减．因为1－<－1<1－，所以f()<f()<f().

5．已知函数f(x)的定义域为R，且y＝f(x＋1)的图象关于点(－1，0)中心对称．当x>0时，f(x)＝，函数f(x)的图象与函数g(x)的图象关于直线x＝3对称，则g(8)＝(　　)

A．1    B．3

C．－1    D．－3

解析：选C．将y＝f(x＋1)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝f(x)的图象，又y＝f(x＋1)的图象关于点(－1，0)中心对称，所以y＝f(x)的图象关于原点中心对称，则y＝f(x)在R上是奇函数．因为函数f(x)的图象与函数g(x)的图象关于直线x＝3对称，所以g(x)＝f(6－x)，所以g(8)＝f(6－8)＝f(－2)＝－f(2)＝－1.

6．(多选)已知定义域为R的函数f(x＋1)为奇函数，f(x)的图象关于直线x＝2对称，则(　　)

A．f(x)的图象关于点(1，0)中心对称

B．f(x)为奇函数

C．f(x)是周期为4的周期函数

D．f(2 025)＝0

解析：选ACD．因为f(x＋1)为奇函数，f(x＋1)的图象向右平移1个单位长度得到f(x)的图象，所以f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，故A正确；

由f(x＋1)为奇函数，得f(x＋1)＝－f(－x＋1)，则f(x)＋f(－x＋2)＝0，又f(x)的图

象关于直线x＝2对称，则f(－x＋2)＝f(x＋2)，则f(x)＝－f(x＋2)，则f(x＋2)＝－f(x＋4)，即f(x)＝f(x＋4)，则f(x)是周期为4的周期函数，故C正确；

令x＝1，则由f(x)＋f(－x＋2)＝0，得2f(1)＝0，则f(1)＝0，f(2 025)＝f(2 025－4×506)＝f(1)＝0，故D正确；

由f(－x＋2)＝f(x＋2)，得f(－x)＝f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故B错误．

7．(2026·日照模拟)已知函数f(x)＝的图象关于点P对称，则点P的坐标为________．

解析：令9－3x≠0，解得x≠2，可知f(x)的定义域为{x|x≠2}，又因为f(2＋x)＋f(2－x)＝＋＝(＋)＝.所以函数f(x)的图象关于点P(2，)对称．

答案：(2，)

8．已知定义在R上的函数f(x)满足f(4－x)＋f(x)＝2，若f(x)的图象关于直线x＝4对称，则f(－2)＝________．

解析：因为f(4－x)＋f(x)＝2，令x＝2，得2f(2)＝2，所以f(2)＝1.又f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以f(6)＝f(2)＝1.令x＝－2，得f(6)＋f(－2)＝2，所以f(－2)＝2－1＝1.

答案：1

9．(13分)已知函数f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x.

(1)判断并证明函数f(x)图象的对称性；(6分)

(2)求f(x)的单调区间．(7分)

解：(1)f(x)的图象关于直线x＝2对称．证明如下：

由|x－2|＞0，得x≠2，所以f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞).

因为f(2－x)＝log2|x|＋(2－x)2－4(2－x)＝log2|x|＋x2－4，f(2＋x)＝log2|x|＋(2＋x)2－4(2＋x)＝log2|x|＋x2－4，