第2章 第3讲 函数的奇偶性、周期性(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

第3讲　函数的奇偶性、周期性

课标要求　1.了解函数奇偶性的概念和几何意义，会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性．　2.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．

 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

1．函数的奇偶性

提醒　函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．

2．函数的周期性

(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

 

1．已知f(x)＝ax＋为偶函数，则a＝(　　)

A．1     B．－1     

C．0     D．2

解析：选C.因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，则ax＋＝－ax＋

，可得a＝0.

2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x)，且f(1)＝8，则f(13)＝(　　)

A．2     B．－8     

C．8     D．－2

解析：选C.由f(x＋3)＝－f(x)，得f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，则6是函数f(x)的一个周期，由f(1)＝8，得f(13)＝f(6×2＋1)＝f(1)＝8.

3．(多选)(必修第一册P86T5改编)下列四个函数中是奇函数的有(　　)

A．f(x)＝x4     B．f(x)＝x|x|

C．f(x)＝x3＋1     D．f(x)＝

解析：选BD.对于A，f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)且定义域为R，偶函数；对于B，f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)且定义域为R，奇函数；对于C，f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，不为奇函数；对于D，f(－x)＝＝－＝－f(x)且定义域为{x|x≠0}，奇函数．

4．已知偶函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)＋2f(2)，则f(2 026)＝ ________．

解析：令x＝－2，则f(2)＝f(－2)＋2f(2)，又因为f(x)为偶函数，

则f(－2)＝f(2)，所以f(2)＝0，

所以f(x＋4)＝f(x)＋2f(2)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，

所以f(2 026)＝f(506×4＋2)＝f(2)＝0.

答案：0

5．(必修第一册P86T11改编)已知函数f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2－2x，则当x>0时，f(x)＝________．

解析：设x>0，则－x<0，所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，

又函数f(x)为奇函数，

所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x，

即当x>0时，f(x)＝－x2－2x.

答案：－x2－2x

 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

题型一　函数的奇偶性

考向1　函数奇偶性的判断

[例1] 判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1，4]；

(2)f(x)＝；

(3) f(x)＝

【解】　(1)因为f(x)的定义域[－1，4]不是关于原点对称的区间，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．

(2)由得－2≤x≤2且x≠0，所以f(x)的定义域为[－2，