第2章 第3讲 函数的奇偶性、周期性(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数奇偶性、周期性核心考点，依据课标要求梳理概念、几何意义及判断应用，以定义-图象特征-性质结论为逻辑架构，通过考点表格对比、方法指导（定义法、图象法等）、真题典例及变式训练，帮助学生系统构建知识网络，突破判断、求值、求参数等难点。 讲义突出核心素养培养，如用定义法推导奇偶性判定培养数学思维，结合周期性转化区间问题提升数学语言表达，设置基础巩固、真题演练、变式拓展分层练习，确保高效复习。助力学生掌握解题策略，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第3讲　函数的奇偶性、周期性 课标要求　1.了解函数奇偶性的概念和几何意义，会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性．　2.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．函数的奇偶性 类别 偶函数 奇函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x) 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x) 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 提醒　函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． 2．函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 1．已知f(x)＝ax＋为偶函数，则a＝(　　) A．1 B．－1 C．0 D．2 解析：选C.因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，则ax＋＝－ax＋，可得a＝0. 2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x)，且f(1)＝8，则f(13)＝(　　) A．2 B．－8 C．8 D．－2 解析：选C.由f(x＋3)＝－f(x)，得f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，则6是函数f(x)的一个周期，由f(1)＝8，得f(13)＝f(6×2＋1)＝f(1)＝8. 3．(多选)(必修第一册P86T5改编)下列四个函数中是奇函数的有(　　) A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x|x| C．f(x)＝x3＋1 D．f(x)＝ 解析：选BD.对于A，f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)且定义域为R，偶函数；对于B，f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)且定义域为R，奇函数；对于C，f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，不为奇函数；对于D，f(－x)＝＝－＝－f(x)且定义域为{x|x≠0}，奇函数． 4．已知偶函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)＋2f(2)，则f(2 026)＝ ________． 解析：令x＝－2，则f(2)＝f(－2)＋2f(2)，又因为f(x)为偶函数， 则f(－2)＝f(2)，所以f(2)＝0， 所以f(x＋4)＝f(x)＋2f(2)＝f(x)，所以f(x)的周期为4， 所以f(2 026)＝f(506×4＋2)＝f(2)＝0. 答案：0 5．(必修第一册P86T11改编)已知函数f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2－2x，则当x>0时，f(x)＝________． 解析：设x>0，则－x<0，所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x， 又函数f(x)为奇函数， 所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x， 即当x>0时，f(x)＝－x2－2x. 答案：－x2－2x 常用结论 1.函数的奇偶性 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (2)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数的周期性 对f(x)定义域内任一自变量x的值： (1)若f(x＋a)＝－f(x)＋b(b为常数)，则T＝2a(a>0)； (2)若f(x＋a)＝f(x－a)，则T＝2a(a>0)； (3)若f(x＋a)＝(k为常数，且k≠0)，则T＝2a(a>0). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 题型一　函数的奇偶性 考向1　函数奇偶性的判断 [例1] 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1，4]； (2)f(x)＝； (3) f(x)＝ 【解】　(1)因为f(x)的定义域[－1，4]不是关于原点对称的区间，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (2)由得－2≤x≤2且x≠0，所以f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称，所以f(x)＝＝＝. 又f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)是偶函数． (3)方法一(定义法)：易知f(x)的定义域关于原点对称． 当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)； 当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数． 方法二(图象法)：作出函数f(x)的图象如图所示，则该图象关于原点对称，所以函数f(x)为奇函数． 【素养小结】　判定函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法：确定f(x)的定义域，若定义域不关于原点对称，则f(x)既不是奇函数，也不是偶函数；若定义域关于原点对称，再确定f(x)与f(－x)的关系，从而得出结论． (2)图象法：f(x)的图象若关于原点对称，则f(x)为奇函数；若关于y轴对称，则f(x)为偶函数． (3)性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇±奇＝奇，奇×奇＝偶，偶±偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. 考向2　利用函数奇偶性求值(解析式) [例2] (1) 若函数f(x)＝是偶函数，则g(－2)＝(　　) A．1 B．－1 C．－ D． (2)已知奇函数f(x)的定义域为R，且当x≥0时，f(x)＝－3x＋m，则f(x)＝________． 【解析】　(1)由于函数f(x)＝ 是偶函数，故x<0 时，－x>0，则g(x)＝f(x)＝f(－x)＝2－x－3，故g(－2)＝22－3＝1. (2)因为奇函数f(x)的定义域为R， 所以f(0)＝－1＋m＝0，得m＝1， 当x<0时，－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－(－3－x＋m)＝3－x－m＝3－x－1， 所以f(x)＝ 【答案】　(1)A　(2) 【素养小结】　(1)求函数值：将待求函数值利用函数的奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f(x)的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程式(组)，从而得到f(x)的解析式． 考向3　利用奇偶性求参数 [例3] (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a，2a]上的偶函数，则a＋b ＝(　　) A．－1 B．1 C．2 D．－2 (2)已知函数f(x)＝(x＋a－2)(x2＋a－1)为奇函数，则a的值是________． 【解析】　(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a，2a]上的偶函数， 则 解得a＝1，b＝0，所以a＋b＝1. (2)因为f(x)＝(x＋a－2)(x2＋a－1)为奇函数，所以f(0)＝(a－2)(a－1)＝0，解得a＝1或a＝2. 当a＝1时，f(x)＝x2(x－1)，f(－x)＝x2(－x－1)≠－f(x)，故a＝1不符合题意，舍去；当a＝2时，f(x)＝x(x2＋1)，f(－x)＝－x(x2＋1)＝－f(x)，故a＝2符合题意． 【答案】　(1)B　(2)2 【素养小结】　利用函数的奇偶性求参数问题，一是根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性，得出参数的值；二是对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求出参数，再进行检验． 易错点　“f(0)＝0”是“函数f(x)为R上的奇函数”的必要条件． [对点训练] 1.已知函数f(x)＝a－(x∈R)，若函数f(x)－2是奇函数，则实数a的值为(　　) A．0 B．1 C．3 D．5 解析：选C.由函数f(x)－2＝a－－2(x∈R) 是奇函数，可得f(－x)－2＝－[f(x)－2]对定义域内的任意x都成立，所以a－－2＝－a＋＋2， 即2a＝＋＋4＝6，即a＝3. 2．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)＝，则f(x)＝________，g(x)＝________． 解析：由题意得f(－x)＋g(－x)＝，则有 两式相减得2f(x)＝＋＝，所以f(x)＝，g(x)＝. 答案：　 题型二　函数的周期性 [例4] (2025·全国一卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． 【解析】　 由f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数可得，f(－)＝f()＝f(＋2)＝f().因为当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，所以f()＝5－2×＝－，即f(－)＝－. 【答案】　A 　　真题源于教材人教A版必修第一册P214习题5.4T15：已知函数y＝f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，若f(0.5)＝1，求f(1)，f(3.5)的值． 与必修第一册P214习题5.4T18：已知函数y＝f(x)(x∈R)是周期函数，周期为2，其部分图象如图所示， (1)写出函数y＝f(x)的解析式； (2)画出函数y＝f(x＋1)的图象． 相似度　真题是两习题的合成，将函数的基本特征或特性巧妙嫁接． 事实上，根据两道习题蕴含的信息，可用图象妙解考题．从图易知当－1≤x≤0时，f(x)＝2x＋1，所以f(－)＝－.原考题中的函数可表示为f(x)＝－2|x－2k|＋1，x∈[2k－1，2k＋1)，k∈Z.当k＝0时，x∈[－1，1)，f(x)＝－2|x|＋1，所以f(－)＝－.源于T18(1)的函数解析式f(x)＝|x－2k|，x∈[2k－1，2k＋1)，k∈Z. 变式点　可以变换函数的性质(如偶函数改为奇函数)，变换已知区间与表达式，还可与函数的其他性质结合． [变式1]　已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝x3－1，当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f(x＋)＝f(x－)，则f()＝(　　) A．－　　 B．－　　 C．　　 D． 解析：选C.当x>时，由f(x＋)＝f(x－)可得f(x＋1)＝f(x)，故f()＝f(＋6)＝f().当－1≤x≤1时，由f(－x)＝－f(x)，可得f()＝－f(－)＝－[(－)3－1]＝. [变式2]　已知f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数，当2<x<3时，f(x)＝5－2x，则f(x)在(－1，0)上的解析式为____________． 解析：因为f(x)是周期为2的奇函数，对于x∈(－1，0)，则－x∈(0，1)，－x＋2∈(2，3). 因此f(－x＋2)＝5－2(－x＋2)＝1＋2x， 又因为f(－x＋2)＝f(－x)＝－f(x)， 所以－f(x)＝1＋2x，则f(x)＝－1－2x. 答案：f(x)＝－2x－1 【素养小结】　函数周期性的判定与应用 (1)判定：判断函数为周期函数只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题； (2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间上的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期． [对点训练] 1.若偶函数f(x)对任意x∈R都有f(x＋3)＝－，且当x∈[2，3]时，f(x)＝4x，则f(2 026)＝(　　) A．8 B．－8 C．12 D．－12 解析：选A.由f(x＋3)＝－得f(x)＝－，所以f(x＋3)＝f(x－3)，故f(x)的一个周期为6.所以f(2 026)＝f(337×6＋4)＝f(4)，又f(x)为偶函数，故f(4)＝f(6－2)＝f(－2)＝f(2)，而当x∈[2，3]时，f(x)＝4x，故f(2 026)＝f(2)＝4×2＝8. 2．已知函数y＝f(x)是以4为周期的周期函数，且当x∈[－2，2)时，f(x)＝＋1，则当x∈[4，8)时，f(x)的解析式为____________． 解析：依题意，函数y＝f(x)是以4为周期的周期函数，当4≤x<6时，0≤x－4<2，所以f(x)＝f(x－4)＝＋1＝，当6≤x<8时，－2≤x－8<0，所以f(x)＝f(x－8)＝＋1＝，综上所述，f(x)＝ 答案：f(x)＝ 学科网（北京）股份有限公司 $