第2章 第3讲 函数的奇偶性、周期性 课后达标检测(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

1．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝(　　)

A．1     B．－1     

C．0     D．±1

解析：选A.因为函数y＝x2＋(1－a)x－a为偶函数，图象关于y轴对称，所以x＝＝0，所以a＝1.

2．(2026·赣州模拟)已知函数f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数，则f(－5)＝(　　)

A．－5     B．0     

C．2     D．5

解析：选B.因为函数f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数，则f(－5)＝f(－5＋4)＝f(－1)，

又因为f(－5)＝f(－5＋6)＝f(1)，

所以f(1)＝f(－1)＝－f(1)，故f(1)＝0，

即f(－5)＝f(1)＝0.

3．(2025·天津卷)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　)

A.f(x)＝

B．f(x)＝

C．f(x)＝

D．f(x)＝

解析：选D.由题图可知函数y＝f(x)是偶函数，而函数f(x)＝，f(x)＝是奇函数，故A，B错误；当x>1时，由题图知f(x)>0，且此时x2>1，即x2－1>0，1－x2<0，所以当x>1时，f(x)＝<0，f(x)＝>0，故C错误，D正确．

4．已知函数f(x)是定义在R上且以4为周期的周期函数，当x∈[－1，3]时，f(x)＝|x－1|－1，则当x∈时，f(x)的最小值为(　　)

A．－1     B．－     

C．     D．1

解析：选A.由x∈，则x＋16∈，又函数f(x)的周期为4，所以f(x)＝f(x＋16)＝|x＋16－1|－1＝|x＋15|－1≥－1，当x＝－15时取等号，即所求f(x)的最小值为－1.

5．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，若函数f(x)＋g(x)的值域是[－2，4]，则函数f(x)－g(x)的最大值是(　　)

A．－2     B．－1     

C．2     D．4

解析：选C.因为函数f(x)＋g(x)的值域是[－2，4]，所以任取x∈R，则－x∈R，有－2≤f(－x)＋g(－x)≤4，因为f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，所以－2≤－f(x)＋g(x)≤4，故－4≤f(x)－g(x)≤2，即x∈R时，函数f(x)－g(x)的最大值是2.

6．(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋x＋5，

则(　　)

A．f(0)＝0     

B．g(x)＝xf(x)是奇函数

C．f(－1)＝7     

D．当x<0时，f(x)＝－x2＋x－5

解析：选AD.对于A，B，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，A正确；g(x)＝xf(x)的定义域为R，由于f(－x)＝－f(x)，则g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，即g(x)为偶函数，B错误；对于C，当x>0时，f(x)＝x2＋x＋5，则f(1)＝7，故f(－1)＝－f(1)＝－7，C错误；对于D，当x<0时，－x>0，则f(－x)＝x2－x＋5＝－f(x)，所以f(x)＝－x2＋x－5，D正确．

7．已知函数f(x)既是偶函数， 又是以6为周期的周期函数， 若当x∈[0，3]时，f(x)＝－x2＋2x＋4，则f(－8)＝________．

解析：由题设f(－8)＝f(8)＝f(6＋2)＝f(2)＝－22＋2×2＋4＝4.

答案：4

8．已知函数f(x)＝是定义在[－1，a＋b]上的奇函数，则a＝________，b＝________．

解析：因为函数f(x)＝是定义在[－1，a＋b]上的奇函数，所以a＋b＝1且f(0)＝＝0，所以a＝1，b＝0.此时f(x)＝是定义在[－1，1]上的奇函数．

答案：1　0

9．(13分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，根据图象解答下列问题．