第2章 第3讲 函数的奇偶性与周期性(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

第3讲　函数的奇偶性与周期性

课标要求　1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义．　2.会依据函数的性质进行简单的应用．

1．函数的奇偶性

提醒　函数存在奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称．

2．函数的周期性

(1)周期函数：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D 都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

常用结论

1．函数奇偶性的常用结论

(1)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；若函数f(x)是偶函数，则f(x)＝f(|x|).

(2)奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．

(3)若F(x)＝f(x)＋c(c为常数)，且f(x)为奇函数，则F(－x)＋F(x)＝2c.特别地，若F(x)存在最值，则F(x)min＋F(x)max＝2c.

2．函数周期性的常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).

(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).

(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).

(4)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝|a－b|(a≠b).

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝x2在(0，＋∞)上是偶函数．(　　)

(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0成立．(　　)

(3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√

2．(多选)(必修第一册P84例6改编)给出下列函数，其中是奇函数的有(　　)

A．f(x)＝x4    B．f(x)＝x5

C．f(x)＝x＋    D．f(x)＝

解析：选BC．对于f(x)＝x4，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，可知f(x)＝x4是偶函数，同理可知f(x)＝x5，f(x)＝x＋是奇函数，f(x)＝是偶函数．

3．若函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a，2a]上的偶函数，则a＋b ＝(　　)

A．－1    B．1  

C．2    D．－2

解析：选B．若函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a，2a]上的偶函数，

则

解得a＝1，b＝0，所以a＋b＝1.

4．(必修第一册P86T11改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________．

解析：f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，

所以f(－1)＝－f(1)＝－2.

答案：－2

5．(用结论)若函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝，则f(23)＝______________________________.

解析：由f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，f(23)＝f(23－4×6)＝f(－1).因为f(－1＋2)＝－f(－1)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝，所以f(－1)＝－f(1)＝－＝－，即f(23)＝－.

答案：－

考点一　奇偶性的判断

　判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝＋；

(2)f(x)＝；

(3)f(x)＝lg ；

(4)f(x)＝

【解】　(1)函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．

(2)由得－2≤x≤2且x≠0，所以f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称，所以f(x)＝＝＝.

又f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)是偶函数．