第2章 第3讲 函数的奇偶性与周期性(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学讲义聚焦函数奇偶性与周期性高考核心考点，依据课标要求构建“定义-性质-应用”知识体系，涵盖奇偶性判定、周期性应用等关键内容。通过基础梳理、方法归纳、真题演练的教学流程，帮助学生突破定义域对称判断、周期转化等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以数学思维培养为核心，创新采用“定义辨析-结论应用-真题变式”三步教学法，如在奇偶性判断中结合定义域对称分析培养抽象能力，在周期性问题中通过周期转化训练推理能力。设置分层练习与即时反馈，保障复习效率，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第3讲　函数的奇偶性与周期性 课标要求　1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义．　2.会依据函数的性质进行简单的应用． 1．函数的奇偶性 类别 偶函数 奇函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D 且f(－x)＝f(x) 且f(－x)＝－f(x) 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 提醒　函数存在奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称． 2．函数的周期性 (1)周期函数：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D 都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 常用结论 1．函数奇偶性的常用结论 (1)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；若函数f(x)是偶函数，则f(x)＝f(|x|). (2)奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性． (3)若F(x)＝f(x)＋c(c为常数)，且f(x)为奇函数，则F(－x)＋F(x)＝2c.特别地，若F(x)存在最值，则F(x)min＋F(x)max＝2c. 2．函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0). (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). (4)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝|a－b|(a≠b). 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x2在(0，＋∞)上是偶函数．(　　) (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0成立．(　　) (3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．(多选)(必修第一册P84例6改编)给出下列函数，其中是奇函数的有(　　) A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x5 C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝ 解析：选BC．对于f(x)＝x4，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，可知f(x)＝x4是偶函数，同理可知f(x)＝x5，f(x)＝x＋是奇函数，f(x)＝是偶函数． 3．若函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a，2a]上的偶函数，则a＋b ＝(　　) A．－1 B．1 C．2 D．－2 解析：选B．若函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a，2a]上的偶函数， 则 解得a＝1，b＝0，所以a＋b＝1. 4．(必修第一册P86T11改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________． 解析：f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数， 所以f(－1)＝－f(1)＝－2. 答案：－2 5．(用结论)若函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝，则f(23)＝______________________________. 解析：由f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，f(23)＝f(23－4×6)＝f(－1).因为f(－1＋2)＝－f(－1)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝，所以f(－1)＝－f(1)＝－＝－，即f(23)＝－. 答案：－ 考点一　奇偶性的判断 　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝lg ； (4)f(x)＝ 【解】　(1)函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，所以f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)由得－2≤x≤2且x≠0，所以f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称，所以f(x)＝＝＝. 又f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)是偶函数． (3)由＞0，解得x∈(－1，1)，则函数f(x)的定义域为(－1，1)，关于原点对称，又f(－x)＝lg ，所以f(－x)＋f(x)＝lg ＋lg ＝lg 1＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数． (4)方法一(定义法)：f(x)的定义域关于原点对称，当x>0时，－x<0，f(x)＝－x2＋2x＋1，则f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)； 当x<0时，－x>0，f(x)＝x2＋2x－1，则f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x).所以f(x)为奇函数． 方法二(图象法)：作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特性知函数f(x)为奇函数． 【感悟进阶】　判断函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法 (2)图象法 (3)性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇±奇＝奇，奇×奇＝偶，偶±偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 　1.(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 解析：选B．通解：对于A，f(－x)＝＝≠f(x)，故f(x)不是偶函数；对于B，f(－x)＝＝＝f(x)，故f(x)是偶函数；对于C，f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故f(x)不是偶函数；对于D，f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，故f(x)是奇函数． 优解一(特殊值法)：对于A，f(1)＝＝，f(－1)＝＝，f(1)≠f(－1)，故f(x)不是偶函数；对于B，f(－x)＝＝＝f(x)，故f(x)是偶函数；对于C，f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故f(x)不是偶函数；对于D，f(π)＝＝，f(－π)＝＝，f(π)≠f(－π)，故f(x)不是偶函数． 优解二(性质法)：易知y＝x2＋1与y＝e|x|均为偶函数，且恒为正．对于A，由于y＝ex－x2是非奇非偶函数，所以f(x)也是非奇非偶函数；对于B，y＝cos x＋x2是偶函数，所以f(x)是偶函数；对于C，易知f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数；对于D，y＝sin x＋4x是奇函数，所以f(x)是奇函数． 2．已知f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，且g(x)≠0，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)＋g(x)为R上的奇函数 B．f(x)－g(x)为R上的偶函数 C．为R上的偶函数 D．|f(x)g(x)|为R上的偶函数 解析：选D．因为f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x).对于A，x∈R，设F(x)＝f(x)＋g(x)，则F(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－f(x)－g(x)＝－F(x)，故A错误；对于B，x∈R，设N(x)＝f(x)－g(x)，则N(－x)＝f(－x)－g(－x)＝－f(x)－g(x)≠f(x)－g(x)＝N(x)，故B错误；对于C，x∈R，g(x)≠0，设M(x)＝，M(－x)＝＝－＝－M(x)≠M(x)，故C错误；对于D，x∈R，设H(x)＝|f(x)g(x)|，H(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝H(x)，所以H(x)为偶函数，故D正确． 考点二　函数奇偶性的应用 角度1　求解析式(函数值) 　已知奇函数f(x)＝则g(x)＝________． 【解析】　当x>0时，－x<0，f(x)＝g(x)＋1＝－f(－x)＝－[(－x)2－3－(－x)]＝－x2＋3x，则g(x)＝－x2＋3x－1. 【答案】　－x2＋3x－1 【感悟进阶】　利用奇偶性求解析式，先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f(x)的解析式，或利用奇偶性构造关于f(x)的方程式(组)，从而得到f(x)的解析式． 角度2　求参数 　(2026·济宁模拟)已知函数f(x)＝(a－)cos x是奇函数，则实数a＝________． 【解析】　因为2x＋1>0，可知函数f(x)的定义域为R， 且函数f(x)是奇函数，则f(0)＝a－1＝0， 解得a＝1，则f(x)＝(1－)cos x， 又因为f(－x)＋f(x)＝(1－)·cos (－x)＋(1－)cos x ＝(2－－)cos x＝0， 即f(－x)＝－f(x)，可知函数f(x)是奇函数，所以a＝1符合题意． 【答案】　1 【感悟进阶】　利用待定系数法求参数：根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等得出参数的值．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解． 　1.设函数g(x)＝f(x)＋x2是定义在R上的奇函数，且F(x)＝f(x)＋3x，若f(1)＝1，则F(－1)＝(　　) A．－ B．－ C．－ D． 解析：选C．因为g(x)是奇函数， 所以g(－x)＝－g(x)，即f(－x)＋x2＝－f(x)－x2，即f(－x)＋f(x)＝－2x2. 因为f(1)＝1，所以f(－1)＝－3. 所以F(－1)＝f(－1)＋3-1＝－3＋＝－. 2．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)＝，则f(x)＝______，g(x)＝______． 解析：由题意得f(－x)＋g(－x)＝，则有 两式相减得2f(x)＝＋＝， 所以f(x)＝，g(x)＝. 答案：　 考点三　函数的周期性 　(2025·全国一卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． 【解析】　由f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数可得，f(－)＝f()＝f(＋2)＝f().因为当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，所以f()＝5－2×＝－，即f(－)＝－. 【答案】　A 真题源于教材人教A版必修第一册P203 T4.设函数f(x)(x∈R)是以2为最小正周期的周期函数，且当x∈[0，2]时，f(x)＝(x－1)2，求f(3)，f()的值． 相似度　两题都围绕函数的周期性展开考查，利用周期将不在已知区间内的自变量，通过加减周期的整数倍，转化到已知函数表达式的区间上，再代入计算函数值． 变式点　真题可以变换函数的性质(如偶函数改为奇函数)，也可变换已知区间或函数表达式，还可与函数的其他性质结合． [变式1]　已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝x3－1，当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f(x＋)＝f(x－)，则f()＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选C．当x>时，由f(x＋)＝f(x－)可得f(x＋1)＝f(x)，故f()＝f(＋6)＝f(). 当－1≤x≤1时，由f(－x)＝－f(x)， 可得f()＝－f(－) ＝－[(－)3－1]＝. [变式2]　已知f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数，当2<x<3时，f(x)＝5－2x，则f(x)在(－1，0)上的解析式为____________． 解析：因为f(x)是周期为2的奇函数，对于x∈(－1，0)，则－x∈(0，1)，－x＋2∈(2，3). 因此f(－x＋2)＝5－2(－x＋2)＝1＋2x， 又因为f(－x＋2)＝f(－x)＝－f(x)， 所以－f(x)＝1＋2x，则f(x)＝－1－2x. 答案：f(x)＝－2x－1 【感悟进阶】　函数周期性的判定与应用 (1)判定：判断函数为周期函数只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题； (2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间上的功能． 注意　若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期． 　1.已知函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(3)＝2，则f(2 025)＝________． 解析：因为f(x)f(x＋2)＝13，所以f(x＋2)＝，所以f(x＋4)＝＝＝f(x)，所以f(x)的周期为4，所以f(2 025)＝f(4×506＋1)＝f(1)＝＝. 答案： 2．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，4]上与x轴的交点有________个．　 解析：当0≤x<2时，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，得y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1.当2≤x<4时，0≤x－2<2，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x－2)＝f(x)，所以当2≤x<4时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.又f(4)＝f(2)＝0，综上，共有5个交点． 答案：5 学科网（北京）股份有限公司 $