第2章 第2讲 函数的单调性与最值(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学讲义围绕函数单调性与最值核心考点，依据课标要求构建“定义-单调区间-最值-应用”逻辑体系，通过表格对比增减函数定义，梳理复合函数“同增异减”等方法，结合改编题和模拟题训练，形成考点梳理、方法指导、真题演练的系统复习路径。 资料突出几何直观与推理意识培养，如通过函数图象分析单调区间，用定义法证明单调性强化逻辑推理，在解不等式时构造新函数转化问题渗透模型意识。设置基础、提升、综合分层练习，配合即时反馈，帮助学生高效突破难点，为教师精准把控复习节奏提供有力支持。

第2讲　函数的单调性与最值 课标要求　1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最值．　2.理解函数的单调性、最值的实际意义，掌握函数单调性的简单应用． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．函数的单调性 (1)增函数和减函数 类别 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 1．若函数f(x)在(－∞，－1]上单调递增，则下列关系式中成立的是(　　) A．f<f(－1)<f(－2) B．f(－1)<f<f(－2) C．f(－2)<f(－1)<f D．f(－2)<f<f(－1) 解析：选D.因为f(x)在(－∞，－1]上单调递增，且－2<－<－1， 所以f(－2)<f<f(－1). 2．(必修第一册P81例5改编)已知函数f(x)＝(x∈[0，3])，则函数f(x)的最小值为(　　) A．－1 B． C．1 D．4 解析：选B.因为f(x)＝在[0，3]上单调递减，所以当x＝3时f(x)取得最小值，为f(3)＝＝. 3．(多选)关于函数y＝－的单调性的叙述正确的是(　　) A．函数在(－∞，0)上单调递增 B．函数在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递增 C．函数在[0，＋∞)上单调递增 D．函数的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞) 解析：选AD.作出函数y＝－的图象，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数的单调区间之间不能用并集形式，故B，C错误，结合函数图象可知，函数y＝－在(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递增，故A，D正确． 4．函数y＝的单调递增区间为________． 解析：因为函数y＝，令t＝x2＋3x≥0，解得x≥0或x≤－3，所以函数的定义域为(－∞，－3]∪[0，＋∞)，又t＝x2＋3x在[0，＋∞)上单调递增，y＝在[0，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，y＝的单调递增区间为[0，＋∞). 答案：[0，＋∞) 5．已知函数f(x)的定义域为R，且对任意两个实数a，b(a≠b)，总有＞0，则满足f(2x－3)＜f(1)的实数x的取值范围是________． 解析：由题意知，函数f(x)为增函数，因为f(2x－3)＜f(1)，所以2x－3＜1，解得x＜2，故实数x的取值范围是(－∞，2). 答案：(－∞，2) 常用结论 1.函数单调性的两个等价结论：设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则 (1)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0) ⇔ f(x)在D上单调递增； (2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0) ⇔ f(x)在D上单调递减． 2．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质： (1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数； (2)若k>0，则kf(x)与f(x)的单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)的单调性相反； (3)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反； (4)复合函数y＝f(g(x))的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关，简记为“同增异减”． 　 题型一　函数的单调性 1．下列函数在区间(0，1)上单调递增的是(　　) A．y＝1－x B．y＝x2－2x C．y＝x D．y＝ 解析：选C.y＝1－x为R上的减函数；y＝x2－2x＝(x－1)2－1，在(0，1)上单调递减； y＝x为R上的增函数，符合题意；y＝在(0，1)上单调递减． 2．函数y＝ln (x2－2x)的单调递减区间是(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，0) D．(2，＋∞) 解析：选C.由y＝ln (x2－2x)，所以x2－2x>0，解得x<0或x>2，所以函数y＝ln (x2－2x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，令u＝x2－2x，则函数u＝x2－2x在(－∞，0)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，而函数y＝ln u在(0，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性可得y＝ln (x2－2x)的单调递减区间为(－∞，0). 3．∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)的较小者，记为M(x)＝min，若f(x)＝x＋1，g(x)＝x2－2x－3，则M(x)的单调递增区间为________________． 解析： 根据已知函数解析式，画出函数图象，M(x)图象为实线部分， 由图知，M(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞) 答案：(－∞，－1)和(1，＋∞) 4．已知定义在R＋上的函数F(x)满足条件：①对定义域上任意x，y，都有F(x)＋F(y)＝F(xy)；②当x>1时，F(x)>0.求证： (1)F＝－F(x)； (2)F(x)在R＋上单调递增． 证明：(1)令x＝y＝1得F(1)＝0， 令y＝，则F＋F(x)＝F(1)＝0， 即F＝－F(x). (2)设0<x1<x2，则>1，故F>0， 因为F(x2)－F(x1)＝F(x2)＋F＝F>0，所以F(x2)>F(x1)，即F(x)在R＋上单调递增． 【素养小结】　(1)求函数单调区间的方法：定义法，图象法，利用已知函数的单调性，导数法． (2)复合函数应根据“同增异减”确定函数的单调区间． (3)利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤 注意　(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示． (2)当函数有多个单调区间时应分开写，不能用“∪”，“或”连接，只能用“，”或“和”连接． 题型二　函数的最值(值域) [例1] (多选)下列函数中，值域正确的是(　　) A．当x∈[0，3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2，6) B．函数y＝的值域为R C．函数y＝2x－的值域为 D．函数y＝＋的值域为[，＋∞) 【解析】　对于A，y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2， 由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图1所示)，可得函数的值域为[2，6). 对于B，y＝＝＝2＋，显然≠0，所以y≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞). 对于C，设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0， 所以y＝2(t2＋1)－t＝2(t－)2＋， 由t≥0，再结合函数的图象(如图2所示)，可得函数的值域为.　 对于D，函数的定义域为[1，＋∞)， 因为y＝与y＝在[1，＋∞)上均单调递增，所以y＝＋在[1，＋∞)上为增函数，所以当x＝1时，ymin＝，即函数的值域为[，＋∞). 【答案】　ACD 【素养小结】　求函数值域(最值)的几种方法 (1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题． (2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域． (3)数形结合法：利用函数图象来解决值域问题． (4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行“变量代换”． (5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式． [对点训练] 1.函数f(x)＝在区间[2，6]上的最大值为(　　) A．3 B． C．2 D． 解析：选A.因为f(x)＝＝＝1＋，所以f(x)＝ 在区间[2，6] 上单调递减，所以f(x) 在[2，6] 上的最大值为f(2)＝3. 2．函数f(x)＝的值域为________． 解析：方法一(图象法)：作出函数 f(x)＝ 的图象如图所示，f(x)max＝f(0)＝2.由函数图象可知，f(x)的值域为(－∞，2]. 方法二(单调性法)：当x≥1时，函数f(x)＝单调递减，所以f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝1，此时f(x)∈(0，1]；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2 在x＝0 处取得最大值，最大值为f(0)＝2，此时f(x)∈(－∞，2].综上，函数f(x)的最大值为2，所以函数f(x) 的值域为(－∞，2]. 答案：(－∞，2] 题型三　函数单调性的应用 考向1　比较函数值的大小 [例2] 已知函数f(x)对任意实数x都有f(2－x)＝f(2＋x)，并且对任意x1＜x2＜2，总有f(x1)＜f(x2)，则下列不等式正确的是(　　) A．f(1.2)＞f(1.5) B．f(1.5)＞f(3) C．f(1.5)＜f(3) D．f(3)＜f(4) 【解析】　因为对任意x1＜x2＜2，总有f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(－∞，2)上单调递增，故f(1.2)＜f(1.5)，A错误；对于f(2－x)＝f(2＋x)，分别令x＝1，2，可得f(1)＝f(3)，f(0)＝f(4)，又f(1.5)＞f(1)，所以f(1.5)＞f(3)，B正确，C错误；又f(1)＞f(0)，所以f(3)＞f(4)，D错误． 【答案】　B 【素养小结】　利用函数的单调性比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，或采用中间量法比较大小． 考向2　解不等式 [例3] (1)(2026·绵阳模拟)已知函数f(x)＝则使不等式f(x)>f(x2)成立的x的取值范围是__________． (2)已知函数f(x)满足：∀x1，x2∈R，当x1≠x2时，<2恒成立，且f(2)＝12，则不等式f(x2)≥2x2＋8的解集是________． 【解析】　(1)若x≥0，则x2≥0， 因为当x≥0时，f(x)＝－2在[0，＋∞)上单调递增， 所以f(x)>f(x2) ⇔ x>x2，解得0<x<1； 若x<0，则x2>0，f(x2)＝－2＝|x|－2＝－x－2， 由f(x)>f(x2)可得，－x2>－x－2，即x2－x－2<0，解得－1<x<2， 又因为x<0，所以－1<x<0. 故使不等式f(x)>f(x2)成立的x的取值范围是(－1，0)∪(0，1). (2)不妨设x1>x2，<2⇒f(x1)－f(x2)<2x1－2x2， 故f(x1)－2x1<f(x2)－2x2，令F(x)＝f(x)－2x，则F(x1)<F(x2)， 所以F(x)＝f(x)－2x在R上单调递减， 因为f(2)＝12，所以F(2)＝f(2)－4＝8， 由f(x2)≥2x2＋8，得f(x2)－2x2≥8，即F(x2)≥F(2)，所以x2≤2，解得－≤x≤，所以不等式的解集为[－，]. 【答案】　(1)(－1，0)∪(0，1)　(2)[－，] 【素养小结】　利用函数单调性解不等式的步骤 (1)将函数不等式转化为f(x1)>f(x2)的形式； (2)确定函数f(x)的单调性； (3)根据函数f(x)的单调性去掉对应关系“f”，转化为形如“x1>x2”或“x1<x2”的不等式，从而求解． 考向3　求参数的值(范围) [例4] (2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．[－1，0] C．[－1，1] D．[0，＋∞) 【解析】　因为函数f(x) 在R 上单调递增，且当x<0 时，f(x)＝－x2－2ax－a 在(－∞，0) 上单调递增，所以－a≥0，即a≤0；当x≥0 时，f(x)＝ex＋ln (x＋1)为增函数．若函数f(x) 在R 上单调递增，则－a≤f(0)＝1，即a≥－1. 综上，实数a 的取值范围是[－1，0]. 【答案】　B 【素养小结】　利用函数的单调性求参数的解题思路 (1)根据函数单调性直接构建参数满足的方程式(组)(不等式(组))或先得到函数图象的升降，再结合图象求解． (2)对于分段函数，要注意各段的单调性以及衔接点的取值． [对点训练] 1.定义在N上的函数f(x)＝x2－2kx是增函数，则实数k的取值范围是(　　) A．k< B．k<1 C．k< D．k<0 解析：选A.二次函数f(x)＝x2－2kx的对称轴为直线x＝k，考虑到其定义域为N，故k<. 2．已知定义域为R的函数f(x)，∀x1，x2∈R，x1<x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则(　　) A．f(3)<f(π)<f(2) B．f(π)<f(3)<f(2) C．f(2)<f(π)<f(3) D．f(π)<f(2)<f(3) 解析：选B.由题意可知f(x)是R上的减函数，且π>3>2，所以f(π)<f(3)<f(2). 3．已知函数f(x)是定义在R上的增函数，并且满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1.则不等式f(x－2)＋f(x)<3的解集为________． 解析：因为f(2)＝1，所以f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)＝1＋1＝2， 又因为f(6)＝f(4＋2)＝f(4)＋f(2)＝2＋1＝3，即由f(x－2)＋f(x)<3，得f(x－2)＋f(x)<f(6)，即f(x－2＋x)<f(6)， 则f(2x－2)<f(6)， 又因为f(x) 在R 上为增函数， 所以2x－2<6，解得x<4，故不等式f(x－2)＋f(x)<3 的解集为(－∞，4). 答案：(－∞，4) 学科网（北京）股份有限公司 $