第2章 第2讲 函数的单调性与最值(课件PPT)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习课件聚焦函数单调性与最值专题，依据课标要求梳理单调性定义、单调区间、最值求法及应用三大核心考点，结合高考评价体系分析选择、填空、解答题等常考题型，融入2024新课标I卷等真题实例，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题引领+方法归纳+素养落地”，如通过2024新课标I卷分段函数单调性参数题，详解定义法证明、复合函数“同增异减”等技巧，培养数学思维的推理能力与数学语言的符号表达能力。特设易错点警示（单调区间不合并）和答题模板，助力学生高效突破考点，教师可据此精准指导复习。

第2讲　函数的单调性与最值 课标要求 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最值．　2.理解函数的单调性、最值的实际意义，掌握函数单调性的简单应用． 返回导航 内 容 索 引 落实必备知识 1 1 探究核心题型 2 落实必备知识 第一部分 4 类别 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有_________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增． 特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有__________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减． 特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数 f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 1．函数的单调性 (1)增函数和减函数 返回导航 类别 增函数 减函数 图象     (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上____________或____________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 单调递增 单调递减 返回导航 2．函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有______________； (2)∃x0∈D，使得_____________ (1)∀x∈D，都有____________； (2)∃x0∈D，使得________________ 结论 M为最大值 M为最小值 f(x)≤M f(x0)＝M f(x)≥M f(x0)＝M 返回导航 D　 返回导航 B　 返回导航 AD　 返回导航 [0，＋∞) 返回导航 (－∞，2) 返回导航 常用 结论 返回导航 返回导航 探究核心题型 第二部分 15 题型一　函数的单调性 C　 返回导航 2．函数y＝ln (x2－2x)的单调递减区间是(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，0) D．(2，＋∞) 解析：由y＝ln (x2－2x)，所以x2－2x>0，解得x<0或x>2，所以函数y＝ln (x2－2x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，令u＝x2－2x，则函数u＝x2－2x在(－∞，0)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，而函数y＝ln u在(0，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性可得y＝ln (x2－2x)的单调递减区间为(－∞，0). C　 返回导航 (－∞，－1)和(1，＋∞) 解析：根据已知函数解析式，画出函数图象，M(x)图象为实线部分，由图知，M(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞) 返回导航 返回导航 (2)F(x)在R＋上单调递增． 返回导航 【素养小结】　(1)求函数单调区间的方法：定义法，图象法，利用已知函数的单调性，导数法． (2)复合函数应根据“同增异减”确定函数的单调区间． (3)利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤 返回导航 注意　(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示． (2)当函数有多个单调区间时应分开写，不能用“∪”，“或”连接，只能用“，”或“和”连接． 返回导航 题型二　函数的最值(值域) ACD　 返回导航 【解析】　对于A，y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图1所示)，可得函数的值域为[2，6). 返回导航 返回导航 返回导航 【素养小结】　求函数值域(最值)的几种方法 (1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题． (2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域． (3)数形结合法：利用函数图象来解决值域问题． (4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行“变量代换”． (5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式． 返回导航 A　 返回导航 (－∞，2] 返回导航 返回导航 题型三　函数单调性的应用 考向1　比较函数值的大小 [例2] 已知函数f(x)对任意实数x都有f(2－x)＝f(2＋x)，并且对任意x1＜x2＜2，总有f(x1)＜f(x2)，则下列不等式正确的是(　　) A．f(1.2)＞f(1.5) B．f(1.5)＞f(3) C．f(1.5)＜f(3) D．f(3)＜f(4) B　 返回导航 【解析】　因为对任意x1＜x2＜2，总有f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(－∞，2)上单调递增，故f(1.2)＜f(1.5)，A错误； 对于f(2－x)＝f(2＋x)，分别令x＝1，2，可得f(1)＝f(3)，f(0)＝f(4)，又f(1.5)＞f(1)，所以f(1.5)＞f(3)，B正确，C错误； 又f(1)＞f(0)，所以f(3)＞f(4)，D错误． 返回导航 【素养小结】　利用函数的单调性比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，或采用中间量法比较大小． 返回导航 (－1，0)∪(0，1)　 返回导航 返回导航 【素养小结】　利用函数单调性解不等式的步骤 (1)将函数不等式转化为f(x1)>f(x2)的形式； (2)确定函数f(x)的单调性； (3)根据函数f(x)的单调性去掉对应关系“f”，转化为形如“x1>x2”或“x1<x2”的不等式，从而求解． 返回导航 B　 【解析】　因为函数f(x) 在R 上单调递增，且当x<0 时，f(x)＝－x2－2ax－a 在(－∞，0) 上单调递增，所以－a≥0，即a≤0；当x≥0 时，f(x)＝ex＋ln (x＋1)为增函数．若函数f(x) 在R 上单调递增，则－a≤f(0)＝1，即a≥－1. 综上，实数a 的取值范围是[－1，0]. 返回导航 【素养小结】　利用函数的单调性求参数的解题思路 (1)根据函数单调性直接构建参数满足的方程式(组)(不等式(组))或先得到函数图象的升降，再结合图象求解． (2)对于分段函数，要注意各段的单调性以及衔接点的取值． 返回导航 A　 返回导航 2．已知定义域为R的函数f(x)，∀x1，x2∈R，x1<x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则(　　) A．f(3)<f(π)<f(2) B．f(π)<f(3)<f(2) C．f(2)<f(π)<f(3) D．f(π)<f(2)<f(3) 解析：由题意可知f(x)是R上的减函数，且π>3>2，所以f(π)<f(3)<f(2). B　 返回导航 3．已知函数f(x)是定义在R上的增函数，并且满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1.则不等式f(x－2)＋f(x)<3的解集为________． 解析：因为f(2)＝1，所以f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)＝1＋1＝2， 又因为f(6)＝f(4＋2)＝f(4)＋f(2)＝2＋1＝3，即由f(x－2)＋f(x)<3，得f(x－2)＋f(x)<f(6)，即f(x－2＋x)<f(6)， 则f(2x－2)<f(6)， 又因为f(x) 在R 上为增函数， 所以2x－2<6，解得x<4，故不等式f(x－2)＋f(x)<3 的解集为(－∞，4). (－∞，4) 返回导航 1．若函数f(x)在(－∞，－1]上单调递增，则下列关系式中成立的是(　　) A．f<f(－1)<f(－2) B．f(－1)<f<f(－2) C．f(－2)<f(－1)<f D．f(－2)<f<f(－1) 解析：因为函数y＝，令t＝x2＋3x≥0，解得x≥0或x≤－3，所以函数的定义域为(－∞，－3]∪[0，＋∞)，又t＝x2＋3x在[0，＋∞)上单调递增，y＝在[0，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，y＝的单调递增区间为[0，＋∞). 常用结论 2．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质： (1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数； (2)若k>0，则kf(x)与f(x)的单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)的单调性相反； (3)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反； (4)复合函数y＝f(g(x))的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关，简记为“同增异减”． 3．∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)的较小者，记为M(x)＝min，若f(x)＝x＋1，g(x)＝x2－2x－3，则M(x)的单调递增区间为______________________． 考向2　解不等式 [例3] (1)(2026·绵阳模拟)已知函数f(x)＝则使不等式f(x)>f(x2)成立的x的取值范围是________________． $