第2章 第2讲 函数的单调性与最值 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦函数单调性，覆盖基础判断、复合函数、分段函数及新定义应用，以题构建从概念到综合应用的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判断|1-4题|单选，直接判断基本函数单调性|从具体函数（对数、一次、指数、对勾函数）出发，强化单调性定义理解| |复合/分段函数|3、5、6题|单选、多选，结合定义域与单调性|承接基础函数，延伸至复合函数“同增异减”及分段函数单调性分析| |综合应用|7-14题|填空、解答、新定义，含模拟题|整合单调性与最值、不等式、新定义（如“2间距函数”），体现知识迁移与逻辑推理|

1．下列函数在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝ln x B．y＝－ C．y＝()x D．y＝x＋ 解析：选A．对于A，y＝ln x在定义域(0，＋∞)上单调递增，故A符合题意； 对于B，y＝－在定义域[0，＋∞)上单调递减，故B不符合题意； 对于C，y＝()x在定义域R上单调递减，故C不符合题意； 对于D，结合对勾函数的性质易知y＝x＋在(0，1)上单调递减，故D不符合题意． 2．若函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是减函数，则f(m)与f(1)的大小关系是(　　) A．f(m)＜f(1) B．f(m)＞f(1) C．f(m)≤f(1) D．f(m)≥f(1) 解析：选B．因为函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是减函数，所以m－1＜0，得m＜1，所以f(m)＞f(1). 3．(2026·茂名模拟)已知函数f(x)＝在区间(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围为(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，3] C．[3，＋∞) D．[5，＋∞) 解析：选D．由x2－6x＋5≥0，可得x≤1或x≥5，即函数f(x)的定义域为(－∞，1]∪[5，＋∞)，又因为t＝x2－6x＋5在[5，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减， y＝在[0，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性可知f(x)＝在区间[5，＋∞)上单调递增，所以a≥5. 4．已知函数f(x)在R上是增函数，则下列说法正确的是(　　) A．y＝－f(x)在R上是减函数 B．y＝在R上是减函数 C．y＝[f(x)]2在R上是增函数 D．y＝af(x)(a为实数)在R上是增函数 解析：选A．A中，因为函数f(x)在R上是增函数，所以y＝－f(x)在R上是减函数，故A正确；B中，函数f(x)在R上是增函数，但y＝在R上不一定是减函数，如f(x)＝x在R上是增函数，但y＝＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故B错误； C中，函数f(x)在R上是增函数，但y＝[f(x)]2在R上不一定是增函数，如f(x)＝x在R上是增函数，但y＝[f(x)]2＝x2在R上不是增函数，故C错误； D中，函数f(x)在R上是增函数，但y＝af(x)(a为实数)在R上不一定是增函数，例如f(x)＝x在R上是增函数，但f(x)＝－2x在R上不是增函数，故D错误． 5．(2026·青岛调研)设f(x)＝ 若f(0)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围为(　　) A．[－1，0] B．[－1，2] C．[－2，－1] D．[－2，0] 解析：选A．f(x)＝当x＝0时，f(0)＝a2，由于f(0)是f(x)的最小值，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，即有a≤0，且a2≤x＋＋a，x>0恒成立． 当x>0时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，所以a2≤2＋a，解得－1≤a≤2.综上，实数a的取值范围为[－1，0]. 6．(多选)函数f(x)＝在区间(n，＋∞)上单调递增，则下列说法正确的是(　　) A．m<－2 B．m>－2 C．n≤－1 D．n≥－1 解析：选BD．函数f(x)＝＝2－，由f(x)在区间(n，＋∞)上单调递增，则m＋2>0，即m>－2，故A错误，B正确；又f(x)＝2－在区间(－1，＋∞)上单调递增，则(n，＋∞)⊆(－1，＋∞)，即n≥－1，故C错误，D正确． 7．(2026·淄博实验中学月考)已知f(x)是定义在[－1，1]上的增函数，则不等式f(x－1)<f(1－3x)的解集为________． 解析：由f(x)是定义在[－1，1]上的增函数，且f(x－1)<f(1－3x)，得－1≤x－1<1－3x≤1，解得0≤x<.综上所述，不等式f(x－1)<f(1－3x)的解集为[0，). 答案：[0，) 8．已知函数f(x)＝－2x2＋1，g(x)＝－x，x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较小者，记为M(x)＝min{f(x)，g(x)}，则M(x)的最大值为________． 解析：令－2x2＋1＞－x，即2x2－x－1＜0， 解得－＜x＜1， 所以M(x)＝ 作出函数M(x)的图象如图所示，由图象易得函数M(x)的最大值为. 答案： 9．(13分)已知函数f(x)＝()x，g(x)＝－x2＋4x＋1，x∈R. (1)在同一平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象；(5分) (2)∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，试判断M(x)在区间(－∞，a]上的单调性．(8分) 解：(1)y＝f(x)，y＝g(x)的图象如图所示． (2)由(1)及M(x)的定义得，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．所以当a≤0时，M(x)在(－∞，a]上单调递减；当0<a≤2时，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，a]上单调递增；当a>2时，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，2]上单调递增，在[2，a]上单调递减． 10．已知函数f(x)＝若m＜n且f(n)＝f(m)，则n＋m的取值范围是(　　) A．(1，2] B． C． D． 解析： 选B．设f(n)＝f(m)＝t，则m，n为直线y＝t与函数y＝f(x)图象的两个交点的横坐标，如图，则≤t≤2， 由f(n)＝f(m)且m<n，得 则n＋m＝t＋－2，令g(t)＝t＋－2，根据对勾函数的性质可知g(t)＝t＋－2在[，1)上单调递减， 在(1，2]上单调递增，且g()＝＋4－2＝，g(1)＝1＋1－2＝0，g(2)＝2＋－2＝，所以n＋m的取值范围是[0，]. 11．(2026·威海模拟)已知函数f(x)＝2ax2－2x－1＋x，若对∀x1，x2∈(1，3)，且x1≠x2，都有<1，则(　　) A．a≤ B．a≤0 C．a≥－3 D．a≥1 解析：选A．由题设，∀x1，x2∈(1，3)，且x1≠x2，都有<0，所以f(x)－x＝2ax2－2x－1在(1，3)上单调递减，易知y＝ax2－2x－1在(1，3)上单调递减，当a＝0时，y＝－2x－1满足题设，当a≠0时，⇒0<a≤或⇒a<0，综上，a≤. 12．(开放探究)能使“函数f(x)＝x|x－1|在区间I上不是单调函数，且在区间I上的函数值的集合为[0，2]”是真命题的一个区间I为________． 解析：当x≥1时，f(x)＝x(x－1)＝x2－x；当x<1时，f(x)＝x(1－x)＝－x2＋x，所以f(x)在(－∞，)，[1，＋∞)上单调递增，在(，1)上单调递减．令f(x)＝0，解得x＝1或x＝0；当x≥1时，令f(x)＝2，解得x＝2，所以只需I＝[a，2]，0≤a<1或I＝(b，2]，0≤b<1，故I可以为[0，2]. 答案：[0，2](答案不唯一) 13．(15分)已知函数f(x)＝ 且f(x)在区间(－∞，－2]上单调递增，在区间[－2，＋∞)上单调递减． (1)求a的值以及c的取值范围；(7分) (2)若f(x)≤6恒成立，求不等式f(x)＞0的解集．(8分) 解：(1)由题意知，当x≥0时，f(x)＝4－3x单调递减；当x＜0时，f(x)＝ax2－2x＋c，所以a<0，二次函数y＝ax2－2x＋c的图象的对称轴为直线x＝－＝－2，解得a＝－. 即f(x)＝ 且c≥4－3×0＝4，即c的取值范围是[4，＋∞). (2)由(1)可得f(x)max＝f(－2)＝c＋2， 所以c＋2≤6，解得c≤4， 又c∈[4，＋∞)，所以c＝4， 此时f(x)＝ 则不等式f(x)＞0等价于 或 解得0≤x＜或－2－2＜x＜0.综上可得，不等式f(x)＞0的解集为(－2－2，). 14．(新定义)(多选)(2026·安阳模拟)定义：已知函数f(x)在其定义域上的最大值为m，最小值为n，若m－n＝2，则称f(x)是“2间距函数”，则下列函数是“2间距函数”的有(　　) A．f(x)＝2sin x，x∈R B．f(x)＝，x∈ C．f(x)＝，x∈[0，4] D．f(x)＝22x－2x，x∈[0，1] 解析：选BCD．易知f(x)＝2sin x的最大值为m＝2，最小值为n＝－2，则m－n＝4，所以A错误； 因为f(x)＝＝1＋在区间[，2]上单调递减，所以f(x)＝的最大值为m＝1＋＝，最小值为n＝，则m－n＝2，所以B正确； f(x)＝＝，令u＝－(x－2)2＋4，y＝，当x∈[0，4]时，u∈[0，4]，又u＝－(x－2)2＋4在区间[0，2]上单调递增，在区间[2，4]上单调递减，y＝在区间[0，4]上单调递增，所以f(x)＝的最大值为m＝2，最小值为n＝0，则m－n＝2，所以C正确； 令t＝2x，x∈[0，1]，则y＝t2－t，且t＝2x∈[1，2]，易知y＝t2－t在区间[1，2]上单调递增，所以y＝t2－t在区间[1，2]上的最大值为m＝2，最小值为n＝0，则m－n＝2，所以D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $