第2章 第1讲 函数的概念及其表示(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数的概念及其表示，覆盖定义域求解、解析式确定、分段函数应用等高考核心考点，按“概念梳理-题型突破-方法总结”逻辑架构知识体系。通过课标要求解读、基础概念辨析、典型例题精讲、真题改编训练等环节，帮助学生系统掌握函数要素分析、多方法表示函数等关键技能，针对性突破易混易错点。 资料突出数学思维与数学语言的培养，如在分段函数求值中采用分类讨论策略，在定义域求解时强化不等式组逻辑推理，在解析式求法中训练换元法、待定系数法等抽象转化能力。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合素养小结提炼解题通法，助力学生在有限时间内构建函数知识网络，为教师精准把控复习进度、提升学生应考能力提供实用指导。

第1讲　函数的概念及其表示 课标要求　1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．　2.会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数，理解函数图象的作用．　3.了解简单的分段函数，并能简单应用． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．函数的有关概念 (1)函数的概念 (2)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 提醒　在函数的定义中，集合B不一定是函数的值域，它包含函数的值域，即值域是集合B的子集． 2．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 提醒　分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 1．(必修第一册P66例3改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是同一个函数的是(　　) A．y＝()2　 　　 B．y＝＋1 C．y＝＋1 D．y＝＋1 答案：B 2．设f(x)＝则f(f(－1))＝(　　) A．π＋2 B．0 C．π D．－1 解析：选C.当x<0时，f(x)＝0，故f(－1)＝0，当x＝0时，f(0)＝π.故f(f(－1))＝f(0)＝π. 3．(多选)下列所给曲线是函数图象的是(　　) 解析：选CD.由函数的概念知，定义域内的任意一个自变量x对应唯一的函数值，A，B均不是函数图象，C，D是函数图象． 4．函数f(x)＝＋(x－1)0的定义域为__________． 解析：由解得x＞且x≠1，所以函数f(x)的定义域为∪(1，＋∞). 答案：∪(1，＋∞) 5．若函数f()＝x－1，则f(x)＝________． 解析：令t＝≥0，则x＝t2－1，所以f(t)＝t2－1－1＝t2－2，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2(x≥0). 答案：x2－2(x≥0) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 题型一　函数的定义域 1．函数f(x)＝的定义域是(　　) A．{x|x≥－5且x≠±2} B．{x|x≥－5} C．{x|x≠±2} D．{x|x>－5且x≠2} 解析：选A.由解得x≥－5且x≠±2，所以函数f(x)＝的定义域是{x|x≥－5且x≠±2}． 2．若函数f(x)＝的定义域为R，则实数a的取值范围为(　　) A．(－3，－1) B．[－3，－1] C．(－3，1] D．[－3，1) 解析：选C.由题意可知，关于x的方程(a－1)x2＋(a－1)x－1＝0无解，此时需要进行分类讨论． ①当a－1＝0，即a＝1时，－1≠0，分母不为零，所以a＝1符合题意； ②当a－1≠0，即a≠1时，应满足Δ＝(a－1)2＋4(a－1)<0，解得－3<a<1. 综上，实数a的取值范围为(－3，1]. 3．已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[－1，2]，则函数y＝的定义域为________． 解析：由题知x∈[－1，2] ，所以2x＋1∈[－1，5]，即函数 f(x) 的定义域为 [－1，5].现求函数y＝的定义域，其自变量x需同时满足解得x∈(－1，0)∪(0，5]. 答案：(－1，0)∪(0，5] 4．已知等腰三角形的周长为12 cm，则该三角形的底边长y(单位：cm)关于腰长x(单位：cm)的函数解析式为____________；其定义域为____________________． 解析：根据题意得y＋2x＝12，即y＝－2x＋12.由三角形两边之和大于第三边得2x>y，所以4x>y＋2x＝12，即x>3.又因为y＝－2x＋12>0，解得x<6 ，所以3<x<6，即函数的定义域为(3，6). 答案：y＝－2x＋12　(3，6) 【素养小结】　(1)求给定函数解析式的定义域 ①求给定函数解析式的定义域转化为使解析式有意义的不等式(组)求解； ②当函数解析式较复杂时，要先确定全部限制条件，依次列出不等式(组)，再分别求出每个不等式的解集，最后求出这些集合的交集即为函数的定义域． (2) 注意　定义域要用集合或区间表示，如果定义域是多个区间，要用符号“∪”连接． 题型二　函数的解析式 [例1] (1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求函数f(x)的解析式； (2)已知二次函数f(x)满足f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求函数f(x)的解析式； (3)已知函数f(x)满足2f(x)＋f()＝3x，求函数f(x)的解析式． 【解】　(1)(换元法)设1－sinx＝t，t∈[0，2]，则sin x＝1－t， 因为f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， 所以f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]. 即f(x)＝2x－x2(0≤x≤2). (2)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋(a＋b＋c)＝4x2－6x＋5，故 解得 故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－5x＋9. (3)因为函数f(x)满足2f(x)＋f()＝3x， 则2f()＋f(x)＝， 联立方程组解得f(x)＝2x－，故函数f(x)的解析式为f(x)＝2x－(x≠0). 【素养小结】　求函数解析式的四种方法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的解析式，然后以x替代g(x)，求得 f(x)的解析式． (2)换元法：对于形如y＝f(g(x))的函数解析式，令t＝g(x)，从中求出x＝φ(t)，然后代入解析式求出f(t)，再将t换成x，得到f(x)的解析式，要注意新元的取值范围． (3)待定系数法：先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质或将已知条件代入，建立方程(组)，从而求出相应的待定系数． (4)解方程组法：已知关于f(x)与f()或f(－x)的解析式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，从而求出f(x)的解析式． [对点训练] 1.若函数f＝－＋1，则f(x)＝(　　) A． B．(x≠1) C．x2 D．x2(x≠1) 解析：选D.由f＝－＋1＝2＝2，而＝1－≠1，所以f(x)＝x2(x≠1). 2．已知一次函数f(x)满足f(2x－1)＋f(x＋1)＝2(x－3)，则f(x)＝(　　) A．x－3 B．x－3 C．x＋3 D．x＋3 解析：选A.由f(x)为一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，依题意，a(2x－1)＋b＋a(x＋1)＋b＝2x－6，整理得3ax＋2b＝2x－6， 因此解得所以f(x)＝x－3. 3．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)－3f(－x)＝12x－2，则函数f(x)的解析式是____________________________． 解析：由f(x)－3f(－x)＝12x－2，① 得f(－x)－3f(x)＝－12x－2，② 由①＋②×3得－8f(x)＝－24x－8， 所以f(x)＝3x＋1. 答案：f(x)＝3x＋1 题型三　分段函数 考向1　分段函数求值 [例2] (1)已知函数f(x)＝则f＝(　　) A．128 B．256 C．512 D．1 024 (2)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝4，则实数a的值为______． 【解析】　(1)由题意，f＝2f(－2×)＝22f((－2)2×)＝…＝210f((－2)10×)＝210f(－1)＝1 024×＝256. (2)因为f(1)＝2，f(a)＋f(1)＝4，所以f(a)＝2，当a>0时，则有2a＝2，解得a＝1； 当a≤0时，则有－a＋1＝2，解得a＝－1， 综上a＝1或a＝－1. 【答案】　(1)B　(2)±1 【素养小结】　关于分段函数求值问题的解题思路 (1)求函数值：根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式并代入求解． (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，再求出相应的自变量的值，切记代入检验． 考向2　分段函数与方程、不等式问题 [例3] (1)已知f(x)＝若f(m)＝f(m＋1)，则m＝(　　) A． B． C． D． (2)已知函数f(x)＝则不等式f(x)＋f>1的解集为________________________． 【解析】　(1)由题意可知m>0，当0<m<1时，m＋1>1，所以由f(m)＝f(m＋1)得＝3m，得m＝；当m≥1时，m＋1>1，所以由f(m)＝f(m＋1)得3(m－1)＝3m，无解．综上，m＝. (2)当x≤0时，x－≤－<0，所以f(x)＝2－x≥20＝1，f＝2≥2>1，所以f(x)＋f>1成立；当x>时，x－>0，所以－x＋1－＋1>1，解得x<， 所以<x<；当0<x≤时，x－≤0，所以f＝2－x≥20＝1，f(x)＝－x＋1∈，所以f(x)＋f>1成立，综上所述，x<. 【答案】　(1)C　(2) 【素养小结】　解决分段函数与方程、不等式问题的基本策略 (1)分类讨论：解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(取值范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，然后将各段的结果求并集即可． (2)数形结合：解决分段函数问题时，通过画出函数的图象，对代数问题进行转化，结合图形直观地分析判断，可以快速准确地解决问题． [对点训练] 1.已知函数f(x)＝其中a>0且a≠1，若f(2)＝6，则f(－2)＝__________． 解析：当x>0时，f(x)＝x2－ax＋6，所以f(2)＝10－2a＝6，解得a＝2， 当x≤0时，f(x)＝3－ax＝3－2x， 所以f(－2)＝3－2-2＝. 答案： 2．已知函数f(x)＝若f(a)＝－1，则a＝________；不等式f(x)≤2的解集为________________． 解析：当a＜0时，f(a)＝a2－2a＝－1，解得a＝1(舍去)；当a≥0时，f(a)＝－2a＋3＝－1，解得a＝2，符合题意．当x＜0时，由f(x)≤2，得1－≤x＜0，当x≥0时，由f(x)≤2，得x≥，故不等式f(x)≤2的解集为[1－，0)∪[，＋∞). 答案：2　[1－，0)∪[，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $