第2章 第1讲 函数的概念及其表示 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦函数核心概念，以“概念辨析-解析式-定义域-分段函数”为逻辑主线，融合换元法、分类讨论等解题方法，覆盖高频考点，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数概念|1-2题|定义域+对应关系双要素判断|从函数定义出发，辨析相同函数本质| |解析式求法|3,9题|换元法、待定系数法、赋值法|通过代数变形构建函数表达式| |定义域问题|4,8题|分类讨论（含参数）、复合函数定义域转化|从不等式恒成立到定义域求解逻辑| |分段函数|5,11题|图象分析、分类求值|结合分段条件进行逻辑推理| |新定义与综合|13,14题|情境建模、新定义迁移|应用函数知识解决复杂问题|

1．下列各组函数中表示相同函数的是(　　) A．f(x)＝和g(x)＝()2 B．f(x)＝1和g(x)＝x0 C．f(t)＝和g(x)＝ D．f(x)＝x＋1和g(x)＝ 解析：选C．对于A，f(x)＝的定义域为R，g(x)＝()2＝x的定义域为[0，＋∞)，两个函数的定义域不相同，不是相同函数；对于B，f(x)＝1的定义域为R，g(x)＝x0＝1的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是相同函数；对于C，f(t)＝＝|t|＝函数f(t)，g(x)的定义域都是R，且对应关系相同，是相同函数；对于D，f(x)＝x＋1的定义域为R，g(x)＝＝x＋1的定义域为{x|x≠1}，两个函数的定义域不相同，不是相同函数． 2．(2026·茂名模拟)已知函数f(x)＝ 则f(－1)＋f(1)＝(　　) A． B．3 C． D． 解析：选C．因为f(x)＝ 所以f(1)＝log39＝2，f(－1)＝3-1＝， 所以f(－1)＋f(1)＝＋2＝. 3．已知f()＝＋，则f(x)＝(　　) A．(x＋1)2(x≠1) B．(x－1)2(x≠1) C．x2－x＋1(x≠1) D．x2＋x＋1(x≠1) 解析：选C．f()＝＋＝()2－＋1，令＝t(t≠1)，则f(t)＝t2－t＋1(t≠1)，即f(x)＝x2－x＋1(x≠1). 4．已知函数f(x)＝的定义域是R，则实数m的取值范围是(　　) A．(0，4] B．[0，4) C．[4，＋∞) D．[0，4] 解析：选D．因为函数f(x)＝ 的定义域是R，所以不等式mx2＋mx＋1≥0对任意x∈R恒成立，当m＝0时，1＞0，对任意x∈R恒成立，符合题意；当m≠0时，即解得0＜m≤4，综上，0≤m≤4，即实数m的取值范围是[0，4]. 5．已知函数f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f(－2a)＝(　　) A．－1 B．－2 C．－3 D．－4 解析：选B．作出函数f(x)＝ 的大致图象，如图， 由f(a)＝f(a＋1)， 得|a－1|＝|a＋1－1|， 即1－a＝a，解得a＝， 则f(－2a)＝f(－2×)＝f(－1)＝－2. 6．(多选)(2026·河南九校联考)若函数f(x)满足关系式f(x)＋2f(1－x)＝，则(　　) A．f(－2)＝ B．f(3)＝－ C．f(－)＝f() D．f(2)＋2f(－1)＝ 解析：选ABD．用1－x替换x代入计算，得f(1－x)＋2f(x)＝，联立f(x)＋2f(1－x)＝，解得f(x)＝－. 对于A，令x＝－2，则f(－2)＝－＝，故A正确； 对于B，令x＝3，则f(3)＝－＝－，故B正确； 对于C，令x＝，则f()＝－＝2，令x＝－，则f(－)＝－＝，所以f(－)≠f().故C错误； 对于D，令x＝2，代入原已知式子，则f(2)＋2f(1－2)＝，即f(2)＋2f(－1)＝，故D正确． 7．若函数f(x)在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则函数f(x)的解析式为_____________________________． 解析：由题图可知，当－1≤x＜0时，f(x)＝x＋1；当0≤x≤2时，f(x)＝－x， 所以f(x)＝ 答案：f(x)＝ 8．若函数y＝f(2x)的定义域为[－2，4]，则y＝f(x)－f(－x)的定义域为________． 解析：因为函数y＝f(2x)的定义域为[－2，4]，则－2≤x≤4，可得－4≤2x≤8，所以函数y＝f(x)的定义域为[－4，8]，对于函数y＝f(x)－f(－x)，则有解得－4≤x≤4，因此函数y＝f(x)－f(－x)的定义域为[－4，4]. 答案：[－4，4] 9．(13分)(1)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(6分) (2)已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式．(7分) 解：(1)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，所以3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17，即ax＋5a＋b＝2x＋17，所以解得所以f(x)＝2x＋7. (2)令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y＝(－y)2＋(－y)＋1， 所以f(x)＝x2＋x＋1. 10．已知g(x)＝f(2x－1)＋1，且g(x)的定义域为(1，4]，值域为[3，＋∞)，设函数f(x)的定义域为A，值域为B，则A∩B＝(　　) A．∅ B．[4，7] C．[2，7] D． 解析：选C．因为g(x)＝f(2x－1)＋1，且g(x)的定义域为(1，4]，值域为[3，＋∞)，所以f(2x－1)的定义域为(1，4]，值域为[2，＋∞).由1＜x≤4，得1<2x－1≤7，所以f(x)的定义域为(1，7]，值域为[2，＋∞)，则A＝(1，7]，B＝[2，＋∞)，所以A∩B＝[2，7]. 11．(2026·镇江、丹阳联考)设函数f(x)＝ 则满足f(x)＋f(x＋)>2的实数x的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B． C．(－∞，) D． 解析：选C．当x<－时，x＋<0，所以f(x)＋f(x＋)＝()x＋1＋()x＋＋1＝()x＋()x＋＋2>2恒成立，符合题意；当－≤x<0时，x＋≥0，所以f(x)＋f(x＋)＝()x＋1＋[－2(x＋)＋2]＝()x－2x＋2>2恒成立，符合题意；当x≥0时，x＋>0，所以f(x)＋f(x＋)＝－2x＋2＋[－2(x＋)＋2]＝－4x＋3>2，解得x<，则0≤x<，符合题意．综上所述，满足f(x)＋f(x＋)>2的实数x的取值范围是(－∞，). 12．已知集合A＝，B＝，函数f(x)＝若x0∈A且f(f(x0))∈A，则的取值范围为________． 解析：当f(x0)∈A时，若f(f(x0))＝f(x0)＋∈A，则0≤f(x0)＋<⇒－≤f(x0)<0，矛盾，不符合题意． 当f(x0)∈B时，若f(f(x0))＝2[1－f(x0)]∈A，则0≤2[1－f(x0)]<⇒<f(x0)≤1. 令f(x0)＝x0＋，则<x0＋≤1⇒<x0≤，此时x0∈(，)，符合题意． 所以x0∈(，)，则∈(2，4). 答案：(2，4) 13．(15分)如图，在矩形ABCD中，AB＝2 cm，AD＝4 cm.动点P，Q从A同时出发，且速度均为2 cm/s，点P，Q分别沿折线AB－BC，AD－DC向终点C运动．设点P的运动时间为x(单位：s)(0<x<3)，△APQ的面积为y(单位：cm2). (1)当点P与点B重合时，求x的值；(3分) (2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；(6分) (3)当PQ的长度不变时，直接写出x的取值范围及PQ的长度．(6分) 解：(1)当点P与点B重合时，AP＝2 cm，且点P的速度为2 cm/s，所以点P的运动时间x＝1 s. (2)当0<x≤1时，如图1，AP＝AQ＝2x cm， 所以y＝AP·AQ＝2x2； 当1<x≤2时，如图2，AQ＝2x cm，△APQ的高为AB的长，所以y＝AB·AQ＝2x； 当2<x<3时，如图3，DQ＝(2x－4)cm，BP＝(2x－2)cm，PC＝QC＝(6－2x) cm，所以y＝AB·AD－AB·BP－AD·DQ－PC·QC＝－2x2＋6x. 综上，y＝ (3)由题意可知， 当点P在AB上运动或点Q在CD上运动时PQ的长度一定发生变化，所以讨论1≤x≤2时即可，此时点P在BC上运动，点Q在AD上运动，如图4，过点P作PE⊥AD于点E. 所以AE＝BP＝(2x－2)cm，AQ＝2x cm，PE＝AB＝2 cm，所以EQ＝2x－(2x－2)＝2 cm，PQ＝＝2cm， 所以当PQ的长度不变时，x的取值范围为[1，2]，此时PQ＝2 cm. 14．(新定义)(多选)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数F(x)＝被称为狄利克雷函数．则下列说法正确的是(　　) A．F(F(x))＝0 B．对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立 C．任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)对任意实数x均成立 D．存在三个点A(x1，F(x1))，B(x2，F(x2))，C(x3，F(x3))，使得△ABC为等边三角形 解析：选BD．依题意，当x为有理数时，F(F(x))＝F(1)＝1，当x为无理数时，F(F(x))＝F(0)＝1，因此F(F(x))＝1恒成立，A错误； 当x是有理数时，F(x)＝1＝F(－x)，当x是无理数时，F(x)＝0＝F(－x)，所以对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立，B正确； 若T是无理数，当x是有理数时，则x＋T是无理数，有F(x＋T)＝0，而F(x)＝1，此时F(x＋T)≠F(x)，C错误； 取x1＝－，x2＝0，x3＝，得F(x1)＝0，F(x2)＝1，F(x3)＝0，则A(－，0)，B(0，1)，C(，0)，此时|AB|＝|BC|＝|AC|＝，即△ABC为等边三角形，D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $