第1章 一题一课 一元二次不等式恒成立问题(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学讲义聚焦一元二次不等式恒成立问题及参数范围求解核心考点，以母题引入，按变量在R上、给定区间、角色互换、解的个数四大探究方向分层展开，通过考点梳理、方法指导（数形结合、分离参数等）、真题训练等环节，帮助学生构建系统知识网络，突破解题难点。 资料采用母题拓展与分类探究相结合的教学策略，如例2通过分离参数求给定区间最值，例3将参数视为变量转化为一次函数问题，培养学生数学思维与模型观念。设置基础到综合的分层练习，配合即时方法归纳，确保高效提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

一元二次不等式恒成立问题 一元二次不等式恒成立的充要条件： (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立 ⇔ (2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立 ⇔ 　　　　　人教A版必修第一册P58T6 当k取什么值时，一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立？ 感悟　母题考查由一元二次不等式在R上恒成立求参数问题，其核心是结合一元二次函数的图象，紧扣开口方向与判别式两大关键，数形结合让抽象的代数式变得直观．那么关于一元二次不等式恒成立问题的其他情况，让我们一起来探究吧！ 探究一　变量在R上的恒成立问题 [例1] (1)已知关于x的不等式kx2－6kx＋9≥0对任意x∈R恒成立，则实数k的取值范围是(　　) A．[0，1] B．(0，1] C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) (2)(多选)对任意实数x，不等式2kx2＋kx－3<0恒成立，则实数k可以是(　　) A．0 B．－24 C．－20 D．－2 【解析】　(1)当k＝0时，9>0恒成立，符合题意；当k≠0时，要使kx2－6kx＋9≥0对任意x∈R恒成立，只需解得0<k≤1，综上实数k的取值范围是[0，1].故选A.(2)当k＝0时，不等式即为－3<0，不等式恒成立；当k≠0时，若不等式恒成立，则解得－24<k<0.综上，－24<k≤0，故选ACD. 【答案】　(1)A　(2)ACD 探究二　变量在给定区间上的恒成立问题 [例2] 若不等式ln (2kx2＋kx－)<0，对任意x∈[1，2]恒成立，求实数k的取值范围． 【解】　原不等式等价于0<2kx2＋kx－<1对x∈[1，2]恒成立．若x∈[1，2]，则2x2＋x∈[3，10]，将2kx2＋kx－>0变形为k>，y＝在x∈[1，2]上的最大值为＝，所以k>.将2kx2＋kx－<1变形为k<，y＝在x∈[1，2]上的最小值为＝，所以k<.则实数k的取值范围为(，). 探究三　“角色互换”，由参数范围探究变量 [例3] 若不等式2kx2＋kx－<0，对任意0≤k≤1恒成立，求实数x的取值范围． 【解】　若不等式对任意0≤k≤1恒成立，则(2x2＋x)k－<0，即解得－<x<.所以实数x的取值范围为(－，). 探究四　“精准计数”，由解的个数探究参数 [例4] 若恰有一个整数x使得不等式2kx2＋kx－<0成立，求实数k的取值范围． 【解】　若恰有一个整数x使得不等式成立，则k>0，因为－<0，且f(x)＝2kx2＋kx－图象的对称轴为直线x＝－＝－，所以该整数解为x＝0，结合二次函数f(x)＝2kx2＋kx－(k>0)的图象，可得即解得k≥.所以实数k的取值范围是[，＋∞). 【性质归纳】　恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论． 1．(2026·广元模拟)对于任意x∈R，都有意义，则m的取值范围是(　　) A．m≥2 B．0＜m≤2 C．0≤m≤2 D．0≤m≤4 解析：选C.易知mx2＋2mx＋2≥0恒成立，显然当m＝0时，符合题意； 当m≠0时，要满足题意需 即0＜m≤2，综上0≤m≤2. 2．若命题“∃x∈R，2kx2－2kx－1≥0”是假命题，则实数k的取值范围是(　　) A．(－2，0) B．(－2，0] C．(－∞，－2]∪(0，＋∞) D．(－∞，－2)∪[0，＋∞) 解析：选B.由题可得∀x∈R，2kx2－2kx－1＜0是真命题，当k＝0时，不等式显然成立． 当k≠0时，由题可得函数y＝2kx2－2kx－1的图象恒在x轴下方，则 解得－2＜k＜0.综上可得－2＜k≤0. 3．已知满足x2－2x≤0的x使得ax2＋2x－1≤0恒成立，则a的取值范围为(　　) A．(－∞，－1] B． C．[0，＋∞) D． 解析：选A.由x2－2x≤0，得0≤x≤2，即ax2＋2x－1≤0在x∈[0，2]上恒成立，所以ax2＋2x－1≤0⇒ax2≤1－2x，当x＝0时，符合题意，则a∈R；当x∈(0，2]时，ax2≤1－2x⇒a≤－＝－1，其中－1≥－1，当且仅当x＝1时，等号成立，故a≤－1，综上，a的取值范围为(－∞，－1]. 4．(多选)在R上定义运算：＝ad－bc，若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的可能取值为(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选ACD.不等式≥1对任意实数x恒成立，所以(x－1)x－(a＋1)(a－2)≥1，即x2－x－a2＋a＋1≥0在R上恒成立，所以Δ＝1＋4a2－4a－4＝4a2－4a－3＝(2a－3)(2a＋1)≤0，解得－≤a≤，所以A，C，D符合，B不符合． 5．(2026·辽宁月考)已知关于x的不等式x2－(m＋3)x＋2m＋2≤0(m∈R)的整数解恰有4个，则m的取值范围为(　　) A．(－3，－2]∪[4，5] B．[－3，－2]∪[4，5) C．(－3，－2]∪[4，5) D．[－3，－2]∪[4，5] 解析：选C.由x2－(m＋3)x＋2m＋2≤0，得(x－2)[x－(m＋1)]≤0，因为不等式x2－(m＋3)x＋2m＋2≤0(m∈R)的整数解恰有4个，则－2<m＋1≤－1或5≤m＋1<6，所以－3<m≤－2或4≤m<5. 6．已知当a∈[－1，1]时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为________． 解析：把不等式的左边看成关于a的函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，a∈[－1，1]，故由f(a)>0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，得即 解得x<1或x>3. 答案：(－∞，1)∪(3，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $