第1章 一题一课 一元二次不等式恒成立问题(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

一元二次不等式恒成立问题

 

一元二次不等式恒成立的充要条件：

(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立 ⇔

(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立 ⇔

 

　　　　　人教A版必修第一册P58T6

当k取什么值时，一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立？

感悟　母题考查由一元二次不等式在R上恒成立求参数问题，其核心是结合一元二次函数的图象，紧扣开口方向与判别式两大关键，数形结合让抽象的代数式变得直观．那么关于一元二次不等式恒成立问题的其他情况，让我们一起来探究吧！

探究一　变量在R上的恒成立问题

[例1] (1)已知关于x的不等式kx2－6kx＋9≥0对任意x∈R恒成立，则实数k的取值范围是(　　)

A．[0，1]

B．(0，1]

C．(－∞，0)∪(1，＋∞)

D．(－∞，0]∪[1，＋∞)

(2)(多选)对任意实数x，不等式2kx2＋kx－3<0恒成立，则实数k可以是(　　)

A．0     B．－24

C．－20      D．－2

【解析】　(1)当k＝0时，9>0恒成立，符合题意；当k≠0时，要使kx2－6kx＋9≥0对任意x∈R恒成立，只需解得0<k≤1，综上实数k的取值范围是[0，1].故选A.(2)当k＝0时，不等式即为－3<0，不等式恒成立；当k≠0时，若不等式恒成立，则解得－24<k<0.综上，－24<k≤0，故选ACD.

【答案】　(1)A　(2)ACD

探究二　变量在给定区间上的恒成立问题

[例2] 若不等式ln (2kx2＋kx－)<0，对任意x∈[1，2]恒成立，求实数k的取值范围．

【解】　原不等式等价于0<2kx2＋kx－<1对x∈[1，2]恒成立．若x∈[1，2]，则2x2＋x∈[3，10]，将2kx2＋kx－>0变形为k>，y＝在x∈[1，2]上的最大值为＝，所以k>.将2kx2＋kx－<1变形为k<，y＝在x∈[1，2]上的最小值为＝，所以k<.则实数k的取值范围为(，).

探究三　“角色互换”，由参数范围探究变量

[例3] 若不等式2kx2＋kx－<0，对任意0≤k≤1恒成立，求实数x的取值范围．

【解】　若不等式对任意0≤k≤1恒成立，则(2x2＋x)k－<0，即解得－<x<.所以实数x的取值范围为(－，).