第1章 第5讲 一元二次不等式(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习讲义围绕一元二次不等式核心考点，涵盖解法（含参数与不含参数）、与二次函数及方程的联系、分式及绝对值不等式等内容，以“三个二次”关系为框架梳理对应关系，通过课标要求引领、题型分类讲解、真题改编训练等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破解题难点。 讲义突出数学思维与数学语言培养，如通过含参数不等式的分类讨论（例2分a<0、0<a<1等情况）发展逻辑推理能力，结合三个“二次”关系的根与系数应用（例4）提升模型意识，设置基础巩固与能力提升分层练习，确保高效复习，助力学生掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第5讲　一元二次不等式 课标要求　1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．　2.能借助一元二次函数解一元二次不等式． 3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 类别 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1，或x＞x2} {x|x≠－} R ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 提醒　对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形． 1．(必修第一册P53T1改编)不等式＞0的解集是(　　) A． B． C． D． 解析：选D.由＞0，得＞0，解得x＜或x＞，所以原不等式的解集是. 2．若不等式x2＋x＋m＜0的解集为∅，则实数m的取值范围是(　　) A．m＞ B．m≥ C．m＜ D．m≤ 解析：选B.不等式x2＋x＋m＜0的解集为∅，则需满足Δ＝1－4m≤0，解得m≥. 3．(多选)已知关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集M中有且仅有2个整数，则实数m的值可以是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选AB.函数f(x)＝x2＋5x＋m的图象开口向上，其对称轴为直线x＝－， 因为x2＋5x＋m<0的解集M中有且仅有2个整数，因此－2∈M，－3∈M，其他的整数都不属于集合M， 由题易得即解得4≤m<6，显然选项A，B满足，C，D不满足． 4．(2025·上海卷)不等式＜0的解集为__________． 解析：由＜0，可化为(x－3)(x－1)＜0，解得1＜x＜3，则所求不等式的解集为{x|1＜x＜3}． 答案：{x|1＜x＜3} 5．已知不等式x2＋2ax＋b＜0的解集为{x|－2＜x＜3}，则实数ab＝________． 解析：因为x2＋2ax＋b＜0的解集为{x|－2＜x＜3}，故x2＋2ax＋b＝0的两个解为－2，3，故－2a＝－2＋3，b＝－2×3， 故a＝－，b＝－6，故ab＝3. 答案：3 常用结论 1.分式不等式的解法 (1)>0(<0) ⇔ f(x)g(x)>0(<0)；(2)≥0(≤0) ⇔ 2.|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 (1)|ax＋b|≤c ⇔ －c≤ax＋b≤c；(2)|ax＋b|≥c ⇔ ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 题型一　一元二次不等式的解法 考向1　不含参数不等式的解法 [例1] (1)不等式－x2－2x＋3＜0的解集为(　　) A．{x|－3＜x＜1} B．{x|－1＜x＜3} C．{x|x＜－3或x＞1} D．{x|x＜－1或x＞3} (2)不等式－2＜x2－3x≤10的解集为________________________． 【解析】　(1)由题意有x2＋2x－3＞0，方程x2＋2x－3＝0有两个根，即－3和1，则x2＋2x－3＞0的解集为{x|x＜－3或x＞1}，即不等式－x2－2x＋3＜0的解集为{x|x＜－3或x＞1}． (2)原不等式等价于不等式组 即 由①得x＞2或x＜1，由②得－2≤x≤5. 故原不等式的解集为{x|－2≤x＜1或2＜x≤5}． 【答案】　(1)C　(2){x|－2≤x＜1或2＜x≤5} 【素养小结】　解不含参数的一元二次不等式的步骤 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式． (3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实数根． (4)写：写出不等式的解集． 考向2　含参数不等式的解法 [例2] 解关于x的一元二次不等式ax2－(a＋1)x＋1＞0(a∈R). 【解】　因为ax2－(a＋1)x＋1＞0是关于x的一元二次不等式，所以a≠0. ax2－(a＋1)x＋1＝(ax－1)(x－1)＞0. 当a＜0时，＜1，(x－1)＜0，解得＜x＜1；当0＜a＜1时，＞1，(x－1)＞0，解得x＜1或x＞；当a＝1时，＝1，(x－1)2＞0，解得x≠1；当a＞1时，0＜＜1，(x－1)＞0，解得x＜或x＞1. 综上，当a＜0时，不等式的解集为；当0＜a＜1时，不等式的解集为；当a＝1时，不等式的解集为{x|x≠1}；当a＞1时，不等式的解集为. 【素养小结】　解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一元一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式； (2)判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系； (3)确定方程无根时，可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集． [对点训练] 1.不等式－2x2＋3x＋5＞0的解集为________． 解析：不等式－2x2＋3x＋5＞0等价于(2x－5)(x＋1)＜0，解得－1<x<，则原不等式的解集为. 答案： 2．解关于x的不等式：x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R). 解：将不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)变形为(x－a)(x－a2)>0. 当(x－a)(x－a2)＝0时，x1＝a，x2＝a2. 当a<0时，a<a2，所以原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}； 当a＝0时，a＝a2＝0，所以原不等式的解集为 {x|x≠0}； 当0<a<1时，a>a2，所以原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}； 当a＝1时，a＝a2＝1，所以原不等式的解集为{x|x≠1}； 当a>1时，a<a2，所以原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}． 综上所述，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}； 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}； 当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}． 题型二　几类重要的不等式的解法 [例3] (多选)下列选项中，正确的是(　　) A．不等式(x2－4x－5)(x2＋1)>0的解集为{x|x<－1或x>5} B．不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2} C.不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D．不等式－x≤1的解集为{x|0≤x≤2} 【解析】　A选项，因为x2＋1≥1，所以不等式等价于x2－4x－5>0，即(x＋1)(x－5)>0，解得x>5或x<－1，所以原不等式的解集是{x|x<－1或x>5}，A正确；B选项，≤1 ⇔ －1≤0 ⇔ ≤0 ⇔ ⇔ －3≤x<2，B正确；C选项，|x－2|≥1 ⇔ x－2≥1或x－2≤－1，即x≥3或x≤1，C错误；D选项，原不等式等价于即解得0≤x≤2，所以原不等式的解集为{x|0 ≤x≤2}，故D正确． 【答案】　ABD 【素养小结】　(1)分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进行限制，转化为不等式组． (2)解高次不等式的基本思路：先因式分解，再用穿根法． (3)解无理不等式，关键在于将其转化为有理不等式(组)求解，变形应为同解变形． [对点训练] 1.(2026·北京段考)不等式||>的解集是(　　) A．(0，2) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞) 解析：选A.根据题意可知，若≥0，可得||＝恒成立，不等式无解，故<0，即x(x－2)<0，且x≠0，解得0<x<2. 综上，该不等式的解集是(0，2). 2．已知集合A＝{x|≤2}，B＝{x|x>}，则A∩B＝(　　) A．(，1] B．[3，4] C．[1，4] D．(，3] 解析：选B.由不等式≤2可得不等式组解得A＝{x|－1≤x≤0或3≤x≤4}．所以A∩B＝{x|－1≤x≤0或3≤x≤4}∩{x|x＞}＝{x|3≤x≤4}，即A∩B＝[3，4]. 题型三　三个“二次”间的关系 [例4] (多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则(　　) A．a>0 B．a＋b＋c>0 C．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6} D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为(－∞，－)∪(，＋∞) 【解析】　因为关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，所以a>0，A正确； －2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得 则所以a＋b＋c＝－6a<0，B错误；不等式bx＋c>0可化为－ax－6a>0，得x<－6，C正确；不等式cx2－bx＋a<0可化为－6ax2＋ax＋a<0，即6x2－x－1>0，解得x<－或x>，D正确． 【答案】　ACD 【素养小结】　“三个二次”之间的关系及其应用 (1)一元二次方程的根就是对应二次函数的零点，也就是对应一元二次不等式解集的端点值． (2)对于不等式ax2＋bx＋c>0，若其解集为(－∞，m)∪(n，＋∞)，则a>0且方程ax2＋bx＋c＝0的两根为m，n，且m<n；若其解集为(m，n)，则a<0且方程ax2＋bx＋c＝0的两根为m，n，且m<n. [对点训练] 1.已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的最小值为0，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋4)，则实数c的值为(　　) A．9 B．8 C．6 D．4 解析：选D.因为f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的图象开口向上，最小值为0，所以Δ＝a2－4b＝0，所以b＝，则f(x)＝x2＋ax＋＝，因为f(x)＜c的解集为(m，m＋4)，所以m，m＋4是方程f(x)－c＝0的两个不相等的实数根，即m，m＋4是x2＋ax＋－c＝0的两个不相等的实数根，所以m＋m＋4＝－a，则m＝，所以c＝f(m)＝＝＝4. 2．已知关于x的一元二次不等式x2－bx＋2b－3＜0的解集为(x1，x2)，＋＜2，则b的取值范围是________________． 解析：因为x2－bx＋2b－3＜0的解集为(x1，x2)，则x2－bx＋2b－3＝0的两根为x1，x2，则 所以 解得b＜或b＞6. 答案：(－∞，)∪(6，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $