第1章 第5讲 基本不等式的应用(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

第5讲　基本不等式的应用

课标要求　1.掌握基本不等式及其常见变形．　2.会求与基本不等式有关的恒(能)成立问题．　3.掌握基本不等式在实际问题中的应用．

考点一　基本不等式的变形应用

　(多选)(2020·新高考Ⅰ卷)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　)

A．a2＋b2≥    B．2a－b>

C．log2a＋log2b≥－2    D．＋≤

【解析】　因为a＋b＝1，得≥()2＝，即a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时取得等号，故A正确；

因为a＋b＝1，a>0，b>0，所以a＋1＝2a＋b>b，所以a－b>－1，所以2a－b>2-1＝，故B正确；

因为a＋b＝1≥2，所以ab≤，log2a＋log2b＝log2ab≤log2＝－2，当且仅当a＝b＝时取等号，故C错误；

因为a＋b＝1≥2，所以2≤1，(＋)2＝a＋b＋2≤2，所以＋≤，当且仅当a＝b＝时取等号，故D正确，故选ABD．

【答案】　ABD

真题源于教材人教B版必修第一册P79例6.已知a，b∈R.求证：

(1)(a＋b)2≥4ab；

(2)2(a2＋b2)≥(a＋b)2.

相似度　两题在核心考点、解题工具和思路上有不少相似之处，均以基本不等式为主要工具，通过对不等式进行“两边加减项”“结合已知条件代换”等推导结论．

变式点　真题变式的核心要保留定值关系(或可转化为定值的关系)，通过“改变约束关系(‘等量’到‘不等量’或增加参数)”“结合实际场景”或“引入新知识点”等进行变式．

[变式]　(多选)已知正实数a，b满足a＋b＝1，则下列不等式中正确的是(　　)

A．ab≤    B．2a2＋2b2≥1

C．a(b＋1)<1    D．＋≥5

解析：选ABC．对于A，ab≤()2＝，当且仅当a＝b＝时取等号，所以A正确；对于B，因为≤，所以a2＋b2≥＝，即2a2＋2b2≥1，当且仅当a＝b＝时取等号，所以B正确；对于C，由题意知，a，b∈(0，1)，所以ab<b，即a(b＋1)<b＋a＝1，所以C正确；对于D，＋＝＋＝＋＋2≥2＋2＝2＋2，

当且仅当即时等号成立，所以＋的最小值为2＋2，所以D错误．

【感悟进阶】　基本不等式的常见变形

(1)ab≤()2≤.

(2)≤≤≤(a>0，b>0).

　(2025·北京卷)已知a＞0，b＞0，则(　　)

A．a2＋b2＞2ab    B．＋≥

C．a＋b＞    D．＋≤

解析：选C．对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，故A错误；对于B，D，取a＝，b＝，此时＋＝2＋4＝6＜＝8＝，＋＝2＋4＝6＞＝4＝，故B，D错误；对于C，由基本不等式可得a＋b≥2＞，故C正确．

考点二　与基本不等式有关的恒(能)成立问题

　(1)已知a>0，b>0，若不等式≤恒成立，则m的最大值为(　　)

A．4    B．6

C．8    D．9

(2)(2026·湖州联考)已知正实数x，y满足3x＋y＝1，若不等式＋≤m有解，则实数m的取值范围是________．

【解析】　(1)因为a>0，b>0，≤恒成立，即m≤＝＝＋＋2恒成立，即m≤(＋＋2)min，又因为＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b时取等号，所以m≤4，所以m的最大值为4.

(2)因为正实数x，y满足3x＋y＝1，所以＋＝＋＝＋＋1≥2 ＋1＝2＋1，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号，所以＋的最小值为2＋1.因为不等式＋≤m有解，所以m≥2＋1，即实数m的取值范