第1章 第5讲 基本不等式的应用(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学高考复习讲义聚焦基本不等式的应用，覆盖变形应用、恒成立问题、实际应用三大核心考点，按“基础变形—综合应用—实际建模”逻辑架构知识点。通过考点梳理（如常见变形公式）、方法指导（“1”的代换等技巧）、真题训练（新高考Ⅰ卷等真题及变式），帮助学生突破难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以真题变式和分层练习为特色，如将教材例题变式为含参数的不等量问题，培养学生数学眼光。在恒成立问题中，通过“不等式转化求最值”策略训练逻辑推理，落实数学思维。设置实际应用案例（如设备盈利计算），引导学生用数学语言表达现实问题，提升建模能力，为教师把控复习节奏、学生高效备考提供有力支持。

第5讲　基本不等式的应用 课标要求　1.掌握基本不等式及其常见变形．　2.会求与基本不等式有关的恒(能)成立问题．　3.掌握基本不等式在实际问题中的应用． 考点一　基本不等式的变形应用 　(多选)(2020·新高考Ⅰ卷)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　) A．a2＋b2≥ B．2a－b> C．log2a＋log2b≥－2 D．＋≤ 【解析】　因为a＋b＝1，得≥()2＝，即a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时取得等号，故A正确； 因为a＋b＝1，a>0，b>0，所以a＋1＝2a＋b>b，所以a－b>－1，所以2a－b>2-1＝，故B正确； 因为a＋b＝1≥2，所以ab≤，log2a＋log2b＝log2ab≤log2＝－2，当且仅当a＝b＝时取等号，故C错误； 因为a＋b＝1≥2，所以2≤1，(＋)2＝a＋b＋2≤2，所以＋≤，当且仅当a＝b＝时取等号，故D正确，故选ABD． 【答案】　ABD 真题源于教材人教B版必修第一册P79例6.已知a，b∈R.求证： (1)(a＋b)2≥4ab； (2)2(a2＋b2)≥(a＋b)2. 相似度　两题在核心考点、解题工具和思路上有不少相似之处，均以基本不等式为主要工具，通过对不等式进行“两边加减项”“结合已知条件代换”等推导结论． 变式点　真题变式的核心要保留定值关系(或可转化为定值的关系)，通过“改变约束关系(‘等量’到‘不等量’或增加参数)”“结合实际场景”或“引入新知识点”等进行变式． [变式]　(多选)已知正实数a，b满足a＋b＝1，则下列不等式中正确的是(　　) A．ab≤ B．2a2＋2b2≥1 C．a(b＋1)<1 D．＋≥5 解析：选ABC．对于A，ab≤()2＝，当且仅当a＝b＝时取等号，所以A正确；对于B，因为≤，所以a2＋b2≥＝，即2a2＋2b2≥1，当且仅当a＝b＝时取等号，所以B正确；对于C，由题意知，a，b∈(0，1)，所以ab<b，即a(b＋1)<b＋a＝1，所以C正确；对于D，＋＝＋＝＋＋2≥2＋2＝2＋2， 当且仅当即时等号成立，所以＋的最小值为2＋2，所以D错误． 【感悟进阶】　基本不等式的常见变形 (1)ab≤()2≤. (2)≤≤≤(a>0，b>0). 　(2025·北京卷)已知a＞0，b＞0，则(　　) A．a2＋b2＞2ab B．＋≥ C．a＋b＞ D．＋≤ 解析：选C．对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，故A错误；对于B，D，取a＝，b＝，此时＋＝2＋4＝6＜＝8＝，＋＝2＋4＝6＞＝4＝，故B，D错误；对于C，由基本不等式可得a＋b≥2＞，故C正确． 考点二　与基本不等式有关的恒(能)成立问题 　(1)已知a>0，b>0，若不等式≤恒成立，则m的最大值为(　　) A．4 B．6 C．8 D．9 (2)(2026·湖州联考)已知正实数x，y满足3x＋y＝1，若不等式＋≤m有解，则实数m的取值范围是________． 【解析】　(1)因为a>0，b>0，≤恒成立，即m≤＝＝＋＋2恒成立，即m≤(＋＋2)min，又因为＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b时取等号，所以m≤4，所以m的最大值为4. (2)因为正实数x，y满足3x＋y＝1，所以＋＝＋＝＋＋1≥2 ＋1＝2＋1，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号，所以＋的最小值为2＋1.因为不等式＋≤m有解，所以m≥2＋1，即实数m的取值范围是{m|m≥2＋1}． 【答案】　(1)A　(2){m|m≥2＋1} 【感悟进阶】　利用基本不等式解题的策略 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解． (2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式后求解． (3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关式子成立的条件，从而求得参数的值或范围． 　已知x>0，y>0，且x＋2y＝xy，若不等式x＋2y≥m2－2m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．[－2，4] B．(－2，4) C．(－∞，－2]∪[4，＋∞) D．(－∞，－2)∪(4，＋∞) 解析：选A．x＋2y＝xy可化为＋＝1，则x＋2y＝(x＋2y)(＋)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即x＝2y＝4时，等号成立，即x＋2y的最小值为8，因为x＋2y≥m2－2m恒成立，所以m2－2m≤8，解得－2≤m≤4，则实数m的取值范围是[－2，4]. 考点三　基本不等式的实际应用 　(2026·甘肃联考)某企业2025年年初花费64万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为30万元，设备使用x(x∈N*)年后该设备的维修保养费用为x2＋4x万元，盈利总额为y万元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值(年平均盈利额＝盈利总额÷使用年数). 【解】　(1)根据题意，y＝30x－64－(x2＋4x)＝－x2＋26x－64，故y关于x的函数关系式为y＝－x2＋26x－64(x∈N*). (2)由(1)知盈利总额y＝－x2＋26x－64(x∈N*)，则年平均盈利额W＝＝26－(x＋)(x∈N*)，因为x＋≥2＝16，当且仅当x＝8时取等号，所以W≤26－16＝10万元， 故该设备使用8年后年平均盈利额取得最大值，最大值为10万元. 【感悟进阶】　利用基本不等式解决实际应用问题的思路 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解． 　(2026·天津月考)某同学为纪念话剧《一元钱》在南开首演一百一十周年设计了一座“和静庄舞台”．如图为“和静庄舞台”的平面示意图，四边形ABCD与EFGH为两个共中心但不一定等大的正方形，位于中间的八边形区域(即两个正方形的公共部分)为舞台，阴影部分的五个等腰直角三角形为贵宾席，其余三个等腰直角三角形区域组成后台区域．试问：当贵宾席面积(即五个阴影等腰直角三角形面积总和)为定值P时，舞台面积的最大值为(　　) A．P B．4P C．(2＋2)P D．4P 解析：选B．设EFGH上的贵宾席的两个等腰直角三角形的直角边边长为x，ABCD上的贵宾席的三个等腰直角三角形的直角边边长为y，所以x2＋y2＝P，即2x2＋3y2＝2P，且正方形EFGH的边长为2x＋y，所以舞台面积S＝(2x＋y)2－2x2＝2x2＋4xy＋2y2≤2x2＋(2x2＋4y2)＋2y2＝2(2x2＋3y2)＝4P，当且仅当即x＝2，y＝时，等号成立，此时S≤4P. 学科网（北京）股份有限公司 $