第1章 第4讲 基本不等式(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习讲义围绕基本不等式专题，覆盖证明过程、最值问题、恒成立问题及实际应用等核心考点，按“概念-方法-应用”逻辑梳理知识，通过课标要求明确、知识点精讲（如“一正二定三相等”条件）、题型分类（配凑法、常数代换法等）、真题训练等环节，帮助学生构建解题框架，突破应用难点。 讲义特色在于融合数学思维与实际应用，如通过配凑法例题引导学生变形构造“积定”，培养逻辑推理能力，结合柯西不等式拓展解题工具。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合素养小结即时反馈，确保高效突破考点。为教师提供系统复习路径，助力学生提升应考技巧，把控复习节奏。

第4讲　基本不等式 课标要求　1.了解基本不等式的证明过程．　2.掌握基本不等式，并会用基本不等式解决简单的最值问题及相关的恒成立问题．　3.掌握基本不等式在实际问题中的应用． 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件是a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数． 2．利用基本不等式求最值 已知x＞0，y＞0，则 (1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值． (2)若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2． 记忆口诀：两正实数的和定积最大，积定和最小． 提醒　应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略其中某个条件，就会出错． 1．已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝2，则ab的最大值为(　　) A． B． C．1 D． 解析：选A.因为a＞0，b＞0，2a＋b＝2，根据基本不等式可得2a＋b＝2≥2，所以ab≤，当且仅当2a＝b＝1时，ab取最大值. 2．已知x>1，则x＋的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C.因为x>1，所以x－1>0，所以x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时等号成立，故x＋的最小值为3. 3．(多选)下列代数式中最小值为2的是(　　) A．x－ B．2x＋2－x C．x2＋ D．＋ 解析：选BC.选项A中，函数y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上是单调递增的，无最小值，不符合题意；选项B中，2x＋2－x≥2＝2，当且仅当x＝0时，等号成立，满足题意；选项C中，x2＋≥2＝2，当且仅当x＝±1时，等号成立，满足题意；选项D中，＋≥2＝2，当且仅当＝时，等号成立，但此方程无实数解，不符合题意． 4．(必修第一册P48练习T1改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________． 解析：设矩形场地的长为x m，宽为y m，则x＋y＝10，所以矩形场地的面积S＝xy≤＝25，当且仅当x＝y＝5时取等号，故矩形场地的最大面积为5×5＝25 m2. 答案：25 m2 5．已知实数x，y满足x2＋y2＝1，则x＋y的最大值为________． 解析：由重要不等式≤＝，得≤，即－≤x＋y≤，当x＝y＝时，右边等号成立，所以x＋y的最大值为. 答案： 常用结论 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)＋≥2(ab>0)； (3)()2≥ab(a，b∈R)；(4)≥()2(a，b∈R). 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 题型一　利用基本不等式求最值 考向1　配凑法 [例1] (1)已知a>1，则2a＋的最小值是(　　) A．2＋6 B．2＋4 C．4＋4 D．4＋6 (2)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时，x的值为________． 【解析】　(1)由题意得a－1>0，2a＋＝2a＋＝2a＋4＋＝2(a－1)＋＋6≥2＋6＝4＋6，当且仅当2(a－1)＝，即a＝＋1时，等号成立，所以2a＋的最小值是4＋6. (2)因为0<x<1，所以－3<－3x<0，所以1<4－3x<4，所以x(4－3x)＝(3x)(4－3x)≤()2＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，等号成立，故所求x的值为. 【答案】　(1)D　(2) 【素养小结】　利用配凑法求最值，最主要的是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式． 考向2　常数代换法 [例2] (1)(2026·石家庄模拟)已知x∈(0，4)，则f(x)＝＋的最小值为(　　) A． B． C． D． (2)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝2，则＋的最小值为________． 【解析】　(1)x∈(0，4)，－x∈(－4，0)，4－x∈(0，4)，f(x)＝＋＝(x＋4－x)＝(17＋＋)≥(17＋2)＝，当且仅当＝，即x＝时，等号成立． (2)由已知可得，a＋1＋b＝3，则＝1， 则＋＝ ＝ ＝＋2 ≥×2＋2＝＋2. 当且仅当＝，且a＋b＝2，a＞0，b＞0， 即a＝3－4，b＝－3＋6时，等号成立． 所以＋的最小值为＋2. 【答案】　(1)D　(2)＋2 【素养小结】　常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求＋的最值”的问题，先将＋转化为(＋)·，再用基本不等式求最值． 考向3　消元法或换元法 [例3] 已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________． 【解析】　方法一(消元法)：由x＋3y＋xy＝9，得x＝，所以x＋3y＝＋3y＝＝＝＝3(1＋y)＋－6≥2－6＝6， 当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1，x＝3时取等号，所以x＋3y的最小值为6. 方法二(换元法)：由已知得9－(x＋3y)＝xy＝·x·3y≤·()2， 当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号． 所以(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0， 令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0， 得t≥6，即x＋3y的最小值为6. 【答案】　6 【素养小结】　利用消元法、换元法求最值的方法 (1)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，然后利用基本不等式求最值． (2)换元法：求较复杂的式子的最值时，通常利用换元法将式子恰当变形，简化式子，再利用基本不等式求解． [对点训练] 1.已知0＜x＜，则函数y＝x(1－3x)的最大值为(　　) A． B． C． D． 解析：选A.当0＜x＜时，y＝x(1－3x)＝·3x·(1－3x)≤·＝，当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立，所以当0＜x＜时，函数y＝x(1－3x)的最大值为. 2．(2025·上海卷)设a，b>0，a＋＝1，则b＋的最小值为________． 解析：因为a，b为正数，且＋a＝1，所以＋b＝(＋b)(＋a)＝＋1＋1＋ab＝2＋(＋ab)≥2＋2＝2＋2＝4，当且仅当＝ab，即b＝2，a＝时取等号，则b＋的最小值为4. 答案：4 3．已知正实数x，y满足xy＋2x＋y－3＝0，则x＋y的最小值为________． 解析：方法一：由xy＋2x＋y－3＝0，可得(x＋1)(y＋2)＝5，所以x＋y＝(x＋1)＋(y＋2)－3≥2－3＝2－3，当且仅当x＋1＝y＋2＝，即x＝－1，y＝－2时，等号成立，所以x＋y的最小值为2－3. 方法二：由xy＋2x＋y－3＝0，可得y＝＝－2，则x＋y＝x＋－2＝(x＋1)＋－3≥2－3，当且仅当x＋1＝，即x＝－1，y＝－2时，等号成立，所以x＋y的最小值为2－3. 方法三：令x＋y＝t(t＞0)，则y＝t－x，代入xy＋2x＋y－3＝0，并整理得x2－(t＋1)x＋3－t＝0，由判别式Δ＝(t＋1)2＋4(t－3)≥0，得t≥2－3，或t≤－3－2(舍去)，当t＝2－3时，可得x＝－1，y＝－2，符合题设，所以x＋y的最小值为2－3. 答案：2－3 题型二　与基本不等式有关的恒成立问题 [例4] (2026·济南月考)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，若＋≥m＋4恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A． B．(－∞，1] C．(－∞，5] D．(－∞，10] 【解析】　因为x＞0，y＞0，且x＋y＝1，则x＋1＋y＝2，所以＋＝[(x＋1)＋y]＝(5＋＋)≥(5＋2)＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，所以＋的最小值为，因为＋≥m＋4恒成立，所以m＋4≤，解得m≤1， 所以实数m的取值范围是(－∞，1]. 【答案】　B 【素养小结】　(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解； (2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式后求解； (3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关式子成立的条件，从而求得参数的值或范围． [对点训练] 已知a＞b＞c，n∈N*，且＋≥恒成立，则n的最大值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选B.因为a＞b＞c，则a－c＞0，a－b＞0，b－c＞0，又n∈N*，＋≥恒成立，即n≤＋恒成立，又＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即2b＝a＋c时取等号，所以n≤4，即n的最大值为4. 题型三　基本不等式的实际应用 [例5] 某厂家拟2026年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝4－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(每件产品年平均成本按元来计算). (1)求k的值； (2)该厂家2026年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【解】　(1)由题意知，当m＝0时，x＝2，则2＝4－k，解得k＝2. (2)由(1)可得x＝4－.所以每件产品的销售价格为1.5×元，所以2026年的利润y＝1.5x×－8－16x－m＝36－－m(m≥0).因为当m≥0时，m＋1＞0，所以＋(m＋1)≥2＝8，当且仅当＝m＋1，即m＝3时，等号成立．所以y≤－8＋37＝29，所以m＝3时，ymax＝29(万元).故该厂家2026年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，为29万元． 【素养小结】　利用基本不等式解决实际问题的策略 (1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值； (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围； (3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． [对点训练] (2026·天津月考)某同学为纪念话剧《一元钱》在南开首演一百一十周年设计了一座“和静庄舞台”．如图为“和静庄舞台”的平面示意图，四边形ABCD与EFGH为两个共中心但不一定等大的正方形，位于中间的八边形区域(即两个正方形的公共部分)为舞台，阴影部分的五个等腰直角三角形为贵宾席，其余三个等腰直角三角形区域组成后台区域．试问：当贵宾席面积(即五个阴影等腰直角三角形面积总和)为定值P时，舞台面积的最大值为(　　) A．P B．4P C．(2＋2)P D．4P 解析：选B.设EFGH上的贵宾席的两个等腰直角三角形的直角边边长为x，ABCD上的贵宾席的三个等腰直角三角形的直角边边长为y，所以x2＋y2＝P，即2x2＋3y2＝2P，且正方形EFGH的边长为2x＋y，所以舞台面积S＝(2x＋y)2－2x2＝2x2＋4xy＋2y2≤2x2＋(2x2＋4y2)＋2y2＝2(2x2＋3y2)＝4P，当且仅当即x＝2，y＝时，等号成立，此时S≤4P. 　　　　　　柯西不等式 1．二维形式的柯西不等式：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立． 2．三维形式的柯西不等式：(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，当且仅当＝＝时，等号成立． 3．已知和式定值求积式最值，或者已知积式定值求和式最值，一般用基本不等式；已知和式定值，求和式(倒数和、平方和、根式和)的最值，或者已知积式(需要因式分解确定)定值，求另一个齐次积式定值，通常用柯西不等式．即结构形式改变时用基本不等式，结构形式不变时用柯西不等式． [典例] (1) 已知a＞1，b＞，且2a＋b＝3，则＋的最小值为(　　) A．1 B． C．9 D． (2) 已知x，y，z∈R，且x－2y＋2z＝5，则(x＋5)2＋(y－1)2＋(z＋3)2的最小值是________． 【解析】　(1) 因为2a＋b＝3，所以4(a－1)＋(2b－1)＝1，由柯西不等式得＋＝[4(a－1)＋(2b－1)]≥(2＋1)2＝9，当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立． (2) 由于x－2y＋2z＝5，故[(x＋5)2＋(y－1)2＋(z＋3)2][12＋(－2)2＋22]≥[(x＋5)＋(－2)(y－1)＋2(z＋3)]2＝(x－2y＋2z＋13)2＝324，所以(x＋5)2＋(y－1)2＋(z＋3)2≥36，当且仅当＝＝，即时取等号． 【答案】　(1)C　(2)36 [尝试训练] 1.已知x，y，z∈(0，＋∞)，且＋＋＝1，则x＋＋的最小值为(　　) A．5 B．6 C．8 D．9 解析：选D.x＋＋＝·≥(·＋·＋·)2＝9，当且仅当x＝3，y＝6，z＝9时，等号成立，即x＋＋的最小值为9. 2．已知x，y，z∈R，且2x＋y－z＝2，则x2＋y2＋z2的最小值是________． 解析：由柯西不等式可得x2＋y2＋z2＝[22＋12＋(－)2](x2＋y2＋z2)≥(2x＋y－z)2＝，当且仅当＝＝，即x＝，y＝，z＝－时，等号成立，故x2＋y2＋z2的最小值是. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $