第1章 第4讲 基本不等式(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

第4讲　基本不等式

 

课标要求　1.了解基本不等式的证明过程．　2.掌握基本不等式，并会用基本不等式解决简单的最值问题及相关的恒成立问题．　3.掌握基本不等式在实际问题中的应用．

 

1．基本不等式：≤

(1)基本不等式成立的条件是a>0，b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．

2．利用基本不等式求最值

已知x＞0，y＞0，则

(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．

(2)若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2．

记忆口诀：两正实数的和定积最大，积定和最小．

提醒　应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略其中某个条件，就会出错．

1．已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝2，则ab的最大值为(　　)

A．     B．     

C．1     D．

解析：选A.因为a＞0，b＞0，2a＋b＝2，根据基本不等式可得2a＋b＝

2≥2，所以ab≤，当且仅当2a＝b＝1时，ab取最大值.

2．已知x>1，则x＋的最小值为(　　)

A．1     B．2     

C．3     D．4

解析：选C.因为x>1，所以x－1>0，所以x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时等号成立，故x＋的最小值为3.

3．(多选)下列代数式中最小值为2的是(　　)

A．x－     B．2x＋2－x

C．x2＋     D．＋

解析：选BC.选项A中，函数y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上是单调递增的，无最小值，不符合题意；选项B中，2x＋2－x≥2＝2，当且仅当x＝0时，等号成立，满足题意；选项C中，x2＋≥2＝2，当且仅当x＝±1时，等号成立，满足题意；选项D中，＋≥2＝2，当且仅当＝时，等号成立，但此方程无实数解，不符合题意．

4．(必修第一册P48练习T1改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．

解析：设矩形场地的长为x m，宽为y m，则x＋y＝10，所以矩形场地

的面积S＝xy≤＝25，当且仅当x＝y＝5时取等号，故矩形场地的最大面积为5×5＝25 m2.

答案：25 m2

5．已知实数x，y满足x2＋y2＝1，则x＋y的最大值为________．

解析：由重要不等式≤＝，得≤，即－≤x＋y≤，当x＝y＝时，右边等号成立，所以x＋y的最大值为.

答案：

 

 

 

题型一　利用基本不等式求最值

考向1　配凑法

[例1] (1)已知a>1，则2a＋的最小值是(　　)

A．2＋6     B．2＋4

C．4＋4     D．4＋6

(2)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时，x的值为________．

【解析】　(1)由题意得a－1>0，2a＋＝2a＋＝2a＋4＋＝2(a－1)＋＋6≥2＋6＝4＋6，当且仅当2(a