课时规范练4基本不等式专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦基本不等式的应用逻辑，通过分层训练构建“概念理解-条件判断-综合应用”的方法体系，强化数学推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例对点练|3考点4题|直接应用“一正二定三相等”条件，变形配凑求最值，“1”代换证明不等式|从基本不等式定义到应用条件，再到变形拓展，形成“概念-条件-应用”链条| |素能综合练|10题|结合函数单调性分析最值，不等关系的充分必要条件判断，三元不等式推导|融合函数、几何、逻辑推理，体现知识横向联系与纵向深化|

课时规范练4　基本不等式 典例对点练 考点一　直接应用基本不等式求最值 1.(多选题)(2025·河南郑州期末)下列结论中成立的有(　　) A.若a,b∈R,则a10+b10≥2a5b5 B.若x≠0,则x2+≥2 C.若≥2,则必有a>0,b>0 D.若a∈R,则有a2+9≥6a 2.(2026·安徽合肥模拟)已知x>0,y>0,x+3y=6,则xy的最大值为(　　) A.3 B.6 C.9 D.12 考点二　利用基本不等式分析不等关系 3.已知3·2a=4·3b=1,则下列选项正确的是(　　) A.a>b>-1 B.b>a>-1 C.a<b<-1 D.b<a<-1 考点三　利用基本不等式证明不等式 4.已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,求证:(-1)(-1)(-1)≥8. 素能综合练 5.已知x,y是非零实数,则的最小值为(　　) A.6 B.12 C.2 D.4 6.(2025·广东汕头一模)已知a>0,b>0,a+b=4,则ab的最大值为(　　) A.1 B.2 C.4 D.不存在 7.(2025·北京顺义期中)已知a>0,b>0,则“a+b>2”是“ab>1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.下列不等式中,正确的是(　　) A.a+≥4 B.a2+b2≥4ab C.x2+≥2 D. 9.如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么(　　) A.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一 B.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一 C.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一 D.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一 10.(2026·江苏连云港模拟)若直角三角形的面积为72,则两条直角边的和的最小值是(　　) A.5 B.10 C.24 D.20 11.(2021·全国乙,文8)下列函数中最小值为4的是(　　) A.y=x2+2x+4 B.y=|sin x|+ C.y=2x+22-x D.y=ln x+ 12.(多选题)(2025·河北石家庄期末)下列结论正确的是(　　) A.当x>0且x≠1时,ln x+≥2 B.当x>0时,≥2 C.当x≥2时,x+的最小值为2 D.当0<x≤2时,x-无最小值 13.(2025·山东潍坊期中)不等式a2+≥4中,等号成立的条件是　　　　.  14.(2025·江西南昌期中)若a>0,b>0,c>0,则a+b+c　　　 .(用“>”“<”“≥”或“≤”填空) 参考答案 课时规范练4　基本不等式 1.ABD　解析 由基本不等式可知,若≥2成立,则有>0,>0,因此a>0,b>0或a<0,b<0,故选项C不成立,其余选项均成立. 2.A　解析 因为x>0,y>0,x+3y=6,则x+3y=6≥2,所以xy≤3,当且仅当x=3y=3,即x=3,y=1时,等号成立,故xy的最大值为3. 3.C　解析 由3·2a=4·3b=1得2a=,3b=,即a=-log23<-1,b=-log34<-1.又log23-log34=>0, 所以a<b<-1.故选C. 4.证明 因为a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,所以由基本不等式得,(-1)·(-1)(-1)==8,当且仅当a=b=c=时,等号成立. 5.A　解析 ≥2=6,当且仅当,即|y|=|x|>0时,等号成立,所以的最小值为6. 6.C　解析 由基本不等式得ab≤()2=4,当且仅当a=b=2时,等号成立. 7.B　解析 若a=1.5,b=0.6,满足a+b>2,但ab<1,若a>0,b>0,ab>1,则a+b≥2>2,即a+b>2,所以“a+b>2”是“ab>1”的必要不充分条件.故选B. 8.C　解析 对于选项A,当a<0时,a+<4,故A错误;对于选项B,a2+b2≥2ab,故B错误;对于选项C,由基本不等式得x2+≥2,当且仅当x2=时,等号成立,故C正确;对于选项D,当a=1,b=2时,,故D错误.故选C. 9.A　解析 由已知及均值不等式可得ab≤()2=()2=4,当且仅当a=b=2时,等号成立,c+d≥2=2=4,当且仅当c=d=2时,等号成立,因此由不等式的性质可得ab≤c+d,当且仅当a=b=c=d=2时,等号成立.故选A. 10.C　解析 设直角三角形的两条直角边长为a,b,则a>0,b>0,直角三角形的面积为ab=72,故ab=144,则两条直角边的和a+b≥2=2=24,当且仅当a=b=12时,等号成立,故两条直角边的和的最小值是24. 11.C　解析 A项,y=(x+1)2+3,故ymin=3,故该项不符合题意; B项,设t=|sin x|,则y=t+,t∈(0,1].因为函数y=t+在区间(0,1]上单调递减,所以当t=1时,y取最小值,且ymin=1+=5,该项不符合题意; C项,y=2x+22-x=2x+,设t=2x,则t>0,于是y=t+≥2=4,当且仅当t=2,即x=1时等号成立.所以该项符合题意. D项,因为当x∈(0,1)时,ln x<0,所以存在x使y<0,故该项不符合题意. 12.BD　解析 对于A,当0<x<1时,ln x<0,则ln x+<0,故A错误;对于B,当x>0时,>0,由基本不等式可得≥2=2,当且仅当x=1时,等号成立,故B正确;对于C,因为函数y=x+在区间[2,+∞)上单调递增,所以当x≥2时,x+的最小值为2+,故C错误;对于D,因为函数y=x,y=-在区间(0,2]上均单调递增,故当0<x≤2时,x-无最小值,故D正确.故选BD. 13.a=±　解析 由基本不等式可知a2+≥2=4,当且仅当a2=,即a=±时,等号成立. 14.≥　解析 由于a>0,b>0,c>0,所以a+b≥2,b+c≥2,a+c≥2,故2a+2b+2c≥2+2+2,故a+b+c≥,当且仅当a=b=c时,等号成立. 1 学科网（北京）股份有限公司 $