第1章 第4讲 基本不等式 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

1．已知x>0，y>0，且x＋2y＝2，则xy(　　)

A．有最大值为1    B．有最小值为1

C．有最大值为    D．有最小值为

解析：选C．因为x>0，y>0，x＋2y＝2，

所以x＋2y≥2，

即2≥2，xy≤，当且仅当x＝2y，

即x＝1，y＝时，等号成立．

所以xy有最大值，最大值为.

2．若x>－3，则2x＋的最小值是(　　)

A．2＋6    B．2－6

C．2    D．2＋2

解析：选B．由x>－3，可得x＋3>0，2x＋＝2(x＋3)＋－6≥2－6＝2－6，当且仅当2(x＋3)＝，即x＝－3＋时取等号，所以2x＋的最小值为2－6.

3．已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为(　　)

A．36    B．4  

C．16    D．9

解析：选D．由题意，得(1＋x)＋(1＋2y)＝6，1＋x＞1，1＋2y＞1，所以(1＋x)(1＋2y)≤[]2＝9，当且仅当即时取等号．

4．(2025·安徽师范大学附属中学模拟)已知x＞0，y＞0，2x＋y＝2，则＋的最小值为(　　)

A．4    B．2   

C．    D．

解析：选A．由题可知x＋＝1，所以＋＝(＋)(x＋)＝1＋1＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝，y＝1时取等号．

5．(2026·福安月考)已知5m2n2＋n4＝1，则m2＋n2的最小值为(　　)

A．    B．  

C．    D．

解析：选C．由5m2n2＋n4＝1，可得n≠0，则m2＝(－n2).m2＋n2＝(＋4n2)≥×2＝，当且仅当4n2＝，即n2＝，m2＝时取等号，故m2＋n2的最小值为.

6．(2026·齐鲁名校大联考)设正实数a，b满足a＋2b＝1，则的最小值为(　　)

A．    B．17

C．8＋4    D．16

解析：选C．由题意知＝＝＝＋＋8≥2＋8＝8＋4，当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成

立．因此的最小值为8＋4.

7．(2026·石家庄质检)已知x∈(0，4)，则f(x)＝＋的最小值为(　　)

A．    B．  

C．    D．

解析：选D．由x∈(0，4)，得4－x∈(0，4).

f(x)＝＋＝(＋)(x＋4－x)

＝(17＋＋)

≥(17＋2)＝，

当且仅当＝，即x＝时等号成立，所以f(x)的最小值为.

8．(多选)(2026·湖北重点中学联考)已知正实数x，y满足x＋y＝2，则＋的可能取值为(　　)

A．8    B．9   

C．10    D．11

解析：选CD．因为x＋y＝2，所以＋＝x＋＋y＋＝2＋＋.

因为x＞0，y＞0，所以＋＝(x＋y)·(＋)＝(10＋＋)≥(10＋2)＝8，当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立，所以＋≥10，结合选项可知选CD．

9．(多选)已知a>0，b>0，若a＋2b＝1，则(　　)