第1章 第4讲 基本不等式 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦基本不等式求最值，以“条件构造-方法迁移”为主线，系统整合配凑、乘1、换元等技巧，构建“原理-变式-综合”三层逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1,10|直接应用基本不等式（正定等条件）|从基本不等式概念出发，掌握“和定积最大”“积定和最小”原理| |配凑技巧|2,11|拆项配凑创造定值条件|通过代数变形构建应用环境，培养运算能力| |乘1法|4,8|“1”的代换转化乘积形式|建立等式与不等式联系，发展推理意识| |换元法|7,13|整体换元简化变量关系|通过代换实现问题转化，提升模型观念| |综合应用|9,14|多变量最值综合处理|整合方法解决交叉问题，强化数学思维系统性|

1．已知x>0，y>0，且x＋2y＝2，则xy(　　) A．有最大值为1 B．有最小值为1 C．有最大值为 D．有最小值为 解析：选C．因为x>0，y>0，x＋2y＝2， 所以x＋2y≥2， 即2≥2，xy≤，当且仅当x＝2y， 即x＝1，y＝时，等号成立． 所以xy有最大值，最大值为. 2．若x>－3，则2x＋的最小值是(　　) A．2＋6 B．2－6 C．2 D．2＋2 解析：选B．由x>－3，可得x＋3>0，2x＋＝2(x＋3)＋－6≥2－6＝2－6，当且仅当2(x＋3)＝，即x＝－3＋时取等号，所以2x＋的最小值为2－6. 3．已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为(　　) A．36 B．4 C．16 D．9 解析：选D．由题意，得(1＋x)＋(1＋2y)＝6，1＋x＞1，1＋2y＞1，所以(1＋x)(1＋2y)≤[]2＝9，当且仅当即时取等号． 4．(2025·安徽师范大学附属中学模拟)已知x＞0，y＞0，2x＋y＝2，则＋的最小值为(　　) A．4 B．2 C． D． 解析：选A．由题可知x＋＝1，所以＋＝(＋)(x＋)＝1＋1＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝，y＝1时取等号． 5．(2026·福安月考)已知5m2n2＋n4＝1，则m2＋n2的最小值为(　　) A． B． C． D． 解析：选C．由5m2n2＋n4＝1，可得n≠0，则m2＝(－n2).m2＋n2＝(＋4n2)≥×2＝，当且仅当4n2＝，即n2＝，m2＝时取等号，故m2＋n2的最小值为. 6．(2026·齐鲁名校大联考)设正实数a，b满足a＋2b＝1，则的最小值为(　　) A． B．17 C．8＋4 D．16 解析：选C．由题意知＝＝＝＋＋8≥2＋8＝8＋4，当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立．因此的最小值为8＋4. 7．(2026·石家庄质检)已知x∈(0，4)，则f(x)＝＋的最小值为(　　) A． B． C． D． 解析：选D．由x∈(0，4)，得4－x∈(0，4). f(x)＝＋＝(＋)(x＋4－x) ＝(17＋＋) ≥(17＋2)＝， 当且仅当＝，即x＝时等号成立，所以f(x)的最小值为. 8．(多选)(2026·湖北重点中学联考)已知正实数x，y满足x＋y＝2，则＋的可能取值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 解析：选CD．因为x＋y＝2，所以＋＝x＋＋y＋＝2＋＋. 因为x＞0，y＞0，所以＋＝(x＋y)·(＋)＝(10＋＋)≥(10＋2)＝8，当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立，所以＋≥10，结合选项可知选CD． 9．(多选)已知a>0，b>0，若a＋2b＝1，则(　　) A．ab的最大值为 B．a2＋b2的最小值为1 C．＋的最小值为8 D．a2＋4b2的最小值为 解析：选ACD．对于A，由基本不等式可得a＋2b＝1≥2，解得ab≤，当且仅当即a＝，b＝时，等号成立，所以A正确； 对于B，a2＋b2＝(1－2b)2＋b2＝5b2－4b＋1＝5(b－)2＋，当b＝，a＝时，a2＋b2取到最小值，所以B错误； 对于C，由＋＝(a＋2b)(＋)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当即a＝，b＝时，等号成立，所以C正确； 对于D，a2＋4b2＝(a＋2b)2－4ab＝1－4ab≥，由A知，当且仅当a＝，b＝时，等号成立，所以D正确． 10．已知x＞0，y＞0，＋y＝2，则的最大值为________． 解析：由于x＞0，y＞0，且＋y＝2，所以＝·y≤()2＝1，当且仅当＝y＝1时，等号成立，故的最大值为1. 答案：1 11．若a＞0，b＞0，则＋＋b的最小值为 ________．　 解析：因为a＞0，b＞0，所以＋＋b≥2＋b＝＋b≥2，当且仅当a＝b＝时，等号同时成立，所以＋＋b的最小值为2. 答案：2 12．写出一个关于a与b的等式，使＋是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为________． 解析：该等式可为a2＋b2＝1，证明如下：＋＝(＋)(a2＋b2)＝1＋9＋＋≥10＋2＝16，当且仅当b2＝3a2时取等号，所以＋是一个变量，且它的最小值为16. 答案：a2＋b2＝1(答案不唯一) 13．已知正数x，y满足＋＝1，则x＋y的最小值为________． 解析：令x＋2y＝m>0，2x＋y＝n>0，则＋＝1，m＋n＝(x＋2y)＋(2x＋y)＝3(x＋y)，所以x＋y＝＝(m＋n)·(＋)＝×(2＋＋)≥(2＋2)＝，当且仅当＝，即m＝2，n＝2时等号成立，此时x＝y＝，故x＋y的最小值为. 答案： 14．(2025·辽宁名校联盟调研)设min P表示数集P中最小的数，若4b＞a＞b＞0，则min{，，a(4b－a)，4b(a－b)}的最大值为________． 解析：设min{，，a(4b－a)，4b(a－b)}＝t，则≥t，≥t，a(4b－a)≥t，4b(a－b)≥t，因为4b＞a＞b＞0，所以a(4b－a)≤()2＝4b2，4b(a－b)≤4()2＝a2，当且仅当a＝2b时两个不等式同时取等号，所以4t≤＋＋4b2＋a2＝(＋a2)＋(＋4b2)，又(＋a2)＋(＋4b2)≥2＋2＝4，当且仅当a＝1，b＝时取等号，所以4t≤4，则t≤1，故min{，，a(4b－a)，4b(a－b)}的最大值为1. 答案：1 学科网（北京）股份有限公司 $