第1章 第2讲 常用逻辑用语(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习讲义聚焦常用逻辑用语专题，覆盖充分条件、必要条件、充要条件的意义及关系，全称量词与存在量词命题的否定等核心考点，按“定义梳理-关系判定-命题应用”逻辑架构知识，通过课标要求明确、表格对比命题真假与条件关系、方法点拨（如集合关系判定充要条件）、真题讲解（2025天津卷等）及分层练习，系统帮助学生突破难点。 讲义突出数学思维与数学语言培养，如用“集合法”分析充要条件时结合集合包含关系推理，通过全称命题否定的符号化训练强化表达，设置母题探究（如由必要条件求参数范围）和对点训练，配合常用结论总结，确保学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第2讲　常用逻辑用语 课标要求　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．　2.理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系．　3.理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对全称量词命题和存在量词命题进行否定． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．充分条件、必要条件与充要条件 命题真假 “若p，则q” 为真命题 “若p，则q” 为假命题 “若p，则q”和“若q，则p”都是真命题 推出关系 p⇒q pq p ⇔ q 条件关系 p是q的充分条件，q是p的必要条件 p不是q的充分条件，q不是p的必要条件 p是q的充分必要条件，简称充要条件 点拨　(1)A是B的充分不必要条件 ⇔ A⇒B且BA； (2)A的充分不必要条件是B ⇔ B⇒A且AB. 2．全称量词命题和存在量词命题 (1)全称量词命题形式：“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”； 存在量词命题形式：“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”． (2)“∀x∈M，p(x)”的否定：∃x∈M，¬p(x)， “∃x∈M，p(x)”的否定：∀x∈M，¬p(x)． 提醒　命题p与命题¬p的真假性相反． 1．命题“∃x＞1，x2－x＜1”的否定是(　　) A．∃x＞1，x2－x≥1　 B．∃x≤1，x2－x≥1 C．∀x＞1，x2－x≥1 D．∀x≤1，x2－x≥1 解析：选C.由存在量词命题的否定为全称量词命题知，原命题的否定为∀x＞1，x2－x≥1. 2．(2025·天津卷)设x∈R，“x＝0”是“sin 2x＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.充分性：当x＝0时，sin 2x＝sin 0＝0，故充分性成立；必要性：当sin 2x＝0时，2x＝kπ(k∈Z)，得x＝(k∈Z)，x的可能取值为0，±，±π，…，故必要性不成立． 3．(多选)已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x>1}，则(　　) A．∃x∈A，x∈B B．∃x∈B，x∉A C．∀x∈A，x∉B D．∀x∈B，x∈A 解析：选AD.集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x>1}，所以BA，结合选项知A，D正确． 4．(必修第一册P23T4改编)设α：－1≤x＜3，β：x＜a，若α是β的充分条件，则实数a的取值范围是________． 解析：设A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|x＜a}．因为α是β的充分条件，所以A⊆B，所以a≥3. 答案：[3，＋∞) 5．若“∀x∈R，x2－ax－2a>0”是假命题，则实数a的取值范围是________________. 解析：由题意得，∃x∈R，x2－ax－2a≤0为真命题，所以Δ＝a2＋8a≥0，解得a∈(－∞，－8]∪[0，＋∞). 答案：(－∞，－8]∪[0，＋∞) 常用结论 1.充分条件、必要条件与对应集合之间的关系：设非空集合A＝{x|x满足条件p}，非空集合B＝{x|x满足条件q}， (1)若p是q的充分条件，则A⊆B；(2)若p是q的充分不必要条件，则AB； (3)若p是q的必要不充分条件，则BA；(4)若p是q的充要条件，则A＝B. 2.p是q的充分条件等价于¬q是¬p的充分条件，即p⇒q等价于¬q⇒¬p. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 题型一　充分条件、必要条件的判定 [例1] (1)(2026·豫西北教研联盟质检)下列选项中，p是q的充要条件的是(　　) A．已知非零向量a，b，c，p：a·c＝b·c，q：a＝b B．已知x∈R，p：x2＋2x－3＜0，q：0＜x＜1 C．在△ABC中，p：A＞B，q：sin A＞sin B D．直线l1：ax＋2y＋6＝0，l2：x＋(a－1)y＋3＝0，p：l1∥l2，q：a＝2 (2)(2025·北京卷)已知函数f(x)的定义域为D，则“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|＞M”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】　(1)若a·c＝b·c，则(a－b)·c＝0，即(a－b)⊥c，不一定有a＝b；若a＝b，则a·c＝b·c，所以p是q的必要不充分条件，A错误；p：x2＋2x－3＜0，即－3＜x＜1，q：0＜x＜1，所以p是q的必要不充分条件，B错误；根据三角形中大角对大边，大边对大角，得A＞B ⇔ a＞b，由正弦定理得，a＞b ⇔ sin A＞sin B，所以A＞B ⇔ sin A＞sin B，所以p是q的充要条件，C正确；若l1∥l2，则解得a＝－1，所以p是q的既不充分也不必要条件，D错误． (2)因为函数f(x)的定义域为D，若函数f(x)的值域为R，则对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|＞M，充分性成立； 若对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|＞M，f(x)的值域不一定是R，必要性不成立，故“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|＞M”的充分不必要条件． 【答案】　(1)C　(2)A 【素养小结】　充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断． (2)集合法：根据p，q成立时对应集合之间的关系进行判断． 注意　(1)分清条件与结论；(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断；(3)直接判断比较困难时，可举反例说明． [对点训练] 1.(2026·泰安模拟)已知a，b为空间中两条直线，α为平面，a⊄α，b⊂α，则a⊥b是a⊥α的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.由线面垂直的判定定理可得，直线a要垂直于平面α内两条相交的直线才能得到a⊥α，所以a⊥b是a⊥α的必要不充分条件． 2．(2026·长沙模拟)在四边形ABCD中，若＝＋，则“⊥”是“四边形ABCD是菱形”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 解析：选D.在四边形ABCD中，由＝＋，可得四边形ABCD为平行四边形，若⊥，则平行四边形ABCD的对角线互相垂直，所以平行四边形ABCD为菱形，反之也成立，故“⊥”是“四边形ABCD是菱形”的充要条件． 题型二　充分条件、必要条件的探究与应用 [例2] 已知命题p：实数x满足a<x<4a，a>0，命题q：实数x满足2<x<4. (1)若a＝1，则p是q的什么条件？ (2)若p是q的必要条件，求实数a的取值范围． 【解】　(1)若a＝1，则p：1<x<4，q：2<x<4，记集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|2<x<4}．因为BA，所以p是q的必要不充分条件． (2)由题意，p：a<x<4a，a>0，q：2<x<4，记集合A＝{x|a<x<4a，a>0}，集合B＝{x|2<x<4}，因为p是q的必要条件，所以B⊆A，即所以1≤a≤2. 所以实数a的取值范围为[1，2]. 母题探究1　本例(2)变为“是否存在实数a，使p是q的充分条件”？ 解：假设存在实数a，使p是q的充分条件，记集合A＝{x|a<x<4a，a>0}，集合B＝{x|2<x<4}，则A⊆B，即此方程组无解，所以不存在实数a，使p是q的充分条件． 母题探究2　本例(2)变为“若q的一个必要条件是¬p”，求实数a的取值范围． 解：若q的一个必要条件是¬p，则q⇒¬p，记集合A＝{x|a<x<4a，a>0}，集合B＝{x|2<x<4}，则B⊆∁RA，且∁RA＝{x|x≤a或x≥4a，a>0}，所以a≥4或0<4a≤2，所以实数a的取值范围为(0，]∪[4，＋∞). 【素养小结】　(1)探求充分条件、必要条件的两种方法 ①直接根据充分条件、必要条件的定义判断． ②先求出结论成立的充要条件，再将充要条件对应的范围缩小即得该结论成立的一个充分不必要条件；将充要条件对应的范围扩大即得该结论成立的一个必要不充分条件． (2)由充分条件、必要条件求参数 ①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系，然后根据集合间的关系列出关于参数的不等式(组)求解． ②要注意区间端点值的检验． [对点训练] 1.若x∈R，下列选项中，使“x2＜1”成立的一个必要不充分条件为(　　) A．－2＜x＜1 B．－1＜x＜1 C．0＜x＜2 D．－1＜x＜0 解析：选A.不等式x2＜1等价于－1＜x＜1，设使“x2＜1”成立的一个必要不充分条件对应的集合为A，则(－1，1)是A的真子集，由此对照各项，可知只有A项符合题意． 2．已知p：x＞1或x＜－3，q：x＞a(a为实数).若¬q的一个充分不必要条件是¬p，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意得，¬p：－3≤x≤1，¬q：x≤a.因为¬q的一个充分不必要条件是¬p，所以{x|－3≤x≤1}{x|x≤a}，所以a≥1. 答案：[1，＋∞) 题型三　全称量词命题与存在量词命题 考向1　含量词命题的真假判断与否定 [例3] (1)(多选)下列说法正确的是(　　) A．若p：∃x∈R，x2＋1＞2x，则¬p：∀x∈R，x2＋1＜2x B．若p：∀x，y∈R，x2＋y2≥0，则¬p：∃x，y∈R，x2＋y2＜0 C．∃x∈R，＜x＋1为真命题 D．∀x∈R，x3＞0为真命题 (2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x.则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 【解析】　(1)对于A，p：∃x∈R，x2＋1＞2x的否定是¬p：∀x∈R，x2＋1≤2x，故A错误；对于B，p：∀x，y∈R，x2＋y2≥0的否定是¬p：∃x，y∈R，x2＋y2＜0，故B正确；对于C，∃x∈R，＜x＋1，例如当x＝1时，1＜1＋1成立，故C正确；对于D，当x≤0时，x3≤0，因此对∀x∈R，x3＞0不成立，故D错误． (2)通解：因为∀x∈R，|x＋1|≥0，所以命题p为假命题，所以¬p为真命题．令x3＝x，所以x3－x＝0，所以x(x2－1)＝0，即x(x＋1)(x－1)＝0，解得x＝－1或x＝0或x＝1，所以∃x>0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，所以¬q为假命题，所以¬p和q都是真命题． 优解(特殊值法)：在命题p中，当x＝－1时，|x＋1|＝0，所以命题p为假命题，¬p为真命题．在命题q中，因为立方根等于本身的实数有－1，0，1，所以∃x>0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，¬q为假命题，所以¬p和q都是真命题． 【答案】　(1)BC　(2)B 【素养小结】　(1)全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 全称量词命题 ①要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；②要判断一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可 存在 量词命题 要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一存在量词命题就是假命题 (2)对含量词命题的否定，一是改变量词，二是否定结论． 考向2　含量词命题的应用 [例4] (1)已知命题p：∀x∈R，x2＋x＋a≠0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．a≤ B．a＜ C．a＜－或a＞0 D．a≤－或a≥0 (2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅，若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，则m的取值范围是________． 【解析】　(1)因为命题p是假命题，所以∃x∈R，x2＋x＋a＝0为真命题，可得Δ＝1－4a≥0，解得a≤. (2)若命题p为真，则B⊆A. 又B≠∅，所以解得2≤m≤3，故m∈[2，3]. 【答案】　(1)A　(2)[2，3] 【素养小结】　由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与¬p的关系，转化成由¬p的真假求参数的范围． [对点训练] 1.(2025·安阳名校联考)已知命题p：∃a，b∈R，使得a2＜b2成立，则下列说法正确的是(　　) A.¬p：∀a，b∈R，a2＞b2，为假命题 B．¬p：∀a，b∈R，a2≥b2，为假命题 C．¬p：∀a，b∈R，a2＞b2，为真命题 D．¬p：∀a，b∈R，a2≥b2，为真命题 解析：选B.已知命题p是真命题，则¬p：∀a，b∈R，a2≥b2，且是假命题． 2．若命题“∃x∈(－1，3)，x2－2x－a≤0”为真命题，则a的最小整数值是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．3 解析：选A.由题意，∃x∈(－1，3)，a≥x2－2x，令h(x)＝x2－2x，x∈(－1，3)，因为函数h(x)＝x2－2x在(－1，1)上单调递减，在(1，3)上单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝1－2＝－1，所以a≥－1.所以a的最小整数值是－1. 学科网（北京）股份有限公司 $