第1章 第2讲 常用逻辑用语(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

第2讲　常用逻辑用语

 

课标要求　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．　2.理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系．　3.理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对全称量词命题和存在量词命题进行否定．

 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

 

1．充分条件、必要条件与充要条件

点拨　(1)A是B的充分不必要条件 ⇔ A⇒B且BA；

(2)A的充分不必要条件是B ⇔ B⇒A且AB.

2．全称量词命题和存在量词命题

(1)全称量词命题形式：“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”；

存在量词命题形式：“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．

(2)“∀x∈M，p(x)”的否定：∃x∈M，¬p(x)，

“∃x∈M，p(x)”的否定：∀x∈M，¬p(x)．

提醒　命题p与命题¬p的真假性相反．

 

1．命题“∃x＞1，x2－x＜1”的否定是(　　)

A．∃x＞1，x2－x≥1　 B．∃x≤1，x2－x≥1

C．∀x＞1，x2－x≥1     D．∀x≤1，x2－x≥1

解析：选C.由存在量词命题的否定为全称量词命题知，原命题的否定为∀x＞1，x2－x≥1.

2．(2025·天津卷)设x∈R，“x＝0”是“sin 2x＝0”的(　　)

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件

C．充要条件     D．既不充分也不必要条件

解析：选A.充分性：当x＝0时，sin 2x＝sin 0＝0，故充分性成立；必要性：当sin 2x＝0时，2x＝kπ(k∈Z)，得x＝(k∈Z)，x的可能取值为0，±，±π，…，故必要性不成立．

3．(多选)已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x>1}，则(　　)

A．∃x∈A，x∈B     B．∃x∈B，x∉A

C．∀x∈A，x∉B     D．∀x∈B，x∈A

解析：选AD.集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x>1}，所以BA，结合选项知A，D正确．

4．(必修第一册P23T4改编)设α：－1≤x＜3，β：x＜a，若α是β的充分条件，则实数a的取值范围是________．

解析：设A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|x＜a}．因为α是β的充分条件，所以A⊆B，所以a≥3.

答案：[3，＋∞)

5．若“∀x∈R，x2－ax－2a>0”是假命题，则实数a的取值范围是________________.

解析：由题意得，∃x∈R，x2－ax－2a≤0为真命题，所以Δ＝a2＋8a≥0，解得a∈(－∞，－8]∪[0，＋∞).

答案：(－∞，－8]∪[0，＋∞)

 

 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

题型一　充分条件、必要条件的判定

[例1] (1)(2026·豫西北教研联盟质检)下列选项中，p是q的充要条件的是(　　)

A．已知非零向量a，b，c，p：a·c＝b·c，q：a＝b

B．已知x∈R，p：x2＋2x－3＜0，q：0＜x＜1

C．在△ABC中，p：A＞B，q：sin A＞sin B

D．直线l1：ax＋2y＋6＝0，l2：x＋(a－1)y＋3＝0，p：l1∥l2，q：a＝2

(2)(2025·北京卷)已知函数f(x)的定义域为D，则“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|＞M”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件