2.5直线与圆、圆与圆的位置关系课时过关练习-2024-2025学年高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册

2.5直线与圆、圆与圆的位置关系课时过关练习-2024-2025学年高二数学上学期人教A版2019 一、单选题 1．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．已知圆：与圆：相交于，两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知圆及圆，则与圆都相切的直线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．若圆与圆有公切线，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知点是圆上的两个动点，点是直线上动点，且，下列说法正确的是（   ） A．圆上恰有一个点到直线的距离为 B．长的最小值为 C．四边形面积的最小值为2 D．直线恒过定点 7．已知圆，过轴上的点作直线与圆交于A，B两点，若存在直线使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知直线与圆，点，在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，，当取最小值时，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若直线与曲线有两个不同的公共点，则实数k的值可能是（   ） A． B． C． D． 10．已知直线的方程为，圆的方程为，则下列结论正确的是（   ） A．直线恒过定点 B．圆的半径为12 C．直线与圆恒有两个交点 D．圆心到直线距离的最大值为 11．已知圆和圆，以下结论正确的是（   ） A．若和只有一个公共点，则 B．若，则和关于直线对称 C．若和外离，则 D．若，则和内含 三、填空题 12．已知圆：，圆：，其中，.若两圆外切，则的取值范围为 . 13．由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为 . 14．设直线与圆交于A，B两点，对于任意的实数，在轴上存在定点，使得的平分线在轴上，则的值为 . 四、解答题 15．已知圆与圆． (1)若圆与圆相外切，求的值． (2)若，试求： ①圆与圆所得的公共弦长； ②经过两圆与圆的交点且与轴相切的圆的方程． 16．已知直线过定点，根据下列条件求直线的方程． (1)若直线与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为16； (2)若直线与圆相切，求直线的方程． 17．已知在中，，，． (1)求的外接圆的标准方程； (2)过点作的外接圆的切线，求该切线方程． 18．已知过点的直线与圆O：相交于A，B两点. (1)若弦的长度为，求直线的方程； (2)在x轴正半轴上是否存在定点Q，无论直线如何运动，x轴都平分?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 19．现定义：若圆上一动点，圆外一定点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆的“上进点”．若点同时是圆和圆的“上进点”，则称为圆“”的“牵连点”．已知圆． (1)若点为圆的“上进点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状； (2)已知圆，且均为圆“”的“牵连点”． （ⅰ）求直线的方程； （ⅱ）若圆是以线段为直径的圆，直线与交于两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一点，使得（和分别为直线和的斜率）恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A A B D B C ABD ACD 题号 11 答案 BD 1．D 【分析】根据直线与圆相切得圆心到直线的距离即为圆的半径，由此可求得结果. 【详解】因为点为圆心到直线的距离为， 所以圆的半径为，圆的方程为. 故选：D. 2．A 【分析】两圆作差即可求得公共弦的方程. 【详解】圆，圆的方程可以化简为，，将两圆方程相减，得，即直线的方程为. 故选:A. 3．A 【分析】求出，再求出点到直线的最大距离和最小距离，求出最大面积和最小面积即可. 【详解】解：因为直线分别与轴，轴交于A，B两点， 所以,，所以， 又因为圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以点到直线的最大距离为，最小距离为， 所以的最大面积是；的最小面积为. 故选：A. 4．A 【分析】先根据圆的一般方程得出圆心和半径，再判断圆与圆的位置关系得出两圆内切即可得出切线个数. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆的标准方程为，圆心，半径， 所以，圆内切，所以与圆都相切的直线只有1条． 故选：A． 5．B 【分析】根据公切线的数量判断两圆位置关系，结合圆心距和半径列出不等式，求解即可. 【详解】由题意知圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 假设圆与圆没有公切线， 此时两圆内含，所以圆心距，即，解得， 所以当圆与圆有公切线时，实数的范围是， 故选：B. 6．D 【分析】利用圆心到直线的距离可判断A；利用圆的性质可得切线长，利用点到直线的距离可判断B；由题可得四边形的面积，可判断C；由题可知点在以为直径的圆上，利用两圆方程可得直线的方程，即可判断D. 【详解】A.由题意得，圆心，半径， ∴圆心到直线的距离为， ∵， ∴圆上有两个点到直线的距离为，选项A错误. B. 如图， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，有最小值， 当，即为圆心到直线的距离时，， ∴，选项B错误. C. 由题意得，， ∴四边形面积为：， 由选项B可知，选项C错误. D.设， ∵是圆的切线， ∴点在以为直径的圆上. ∵， ∴以为直径的圆为， 整理得， 与圆方程相减得直线方程为： ， 由得，即直线恒过定点，选项D正确. 故选：D. 7．B 【分析】有直线过圆心时，最大，构造不等式，即可求解. 【详解】    结合图像易知对于给定的点，当直线过圆心时，最大，最小，此时有最大值，又，所以，所以，即，解得. 故选：B. 8．C 【分析】由切线长公式知当时，最小，结合点到直线距离公式求得的最小值，然后作关于直线的对称点，可知当点为直线与的交点时，最小，由对称知此时与重合，从而易得最小值． 【详解】，所以当时，最小， 由点到直线的距离公式可得此时 ， 过作直线的对称点，再连接，与直线的交点即为所找的点， 由于关于直线对称，，与关于直线对称， 因此与就是同一条直线，即点就是点， 所以的最小值等于， 故选：C． 9．ABD 【分析】分析可知曲线C表示圆的上半部分，根据图形结合直线与圆的位置关系运算求解. 【详解】由，得， 可知曲线C表示圆的上半部分．    且直线过定点， 当直线过点时，； 当直线与圆相切时，，解得或． 由图可知，k的取值范围是． 故选：ABD. 10．ACD 【分析】将直线方程变形为，令，即可求出直线过定点坐标，即可判断A，根据圆的方程判断半径，从而判断B，求出圆心与直线过定点的距离，即可判断C、D. 【详解】因为直线的方程为， 即，令，解得， 所以直线恒过定点，不妨设定点为，故A正确； 圆的方程为，则圆心，半径，故B错误； 因为，所以点在圆内，所以直线与圆恒有两个交点，故C正确； 当且仅当时，圆心到直线距离的最大值为，故D正确. 故选：ACD 11．BD 【分析】求两圆圆心距与半径和、差，根据圆与圆的位置关系的等价条件判断可得. 【详解】圆的圆心为，半径为. 圆的圆心为，半径为. 则两圆圆心距. A项，当时，，两圆内切， 和只有一个公共点，故A错误； B项，当时，两个圆的半径相等，圆心关于直线对称， 则和关于直线对称，故B正确； C项，若圆和圆外离，则， 即，解得，故C错误； D项，当，， 所以，所以两圆内含，故D正确. 故选：BD. 12． 【分析】根据两圆外切得到，从而将转化为点与形成直线的斜率，从而得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】圆和圆外切， 则，整理得到， 表示圆的点与形成直线的斜率， 易知直线斜率存在，设直线方程为，即， 所以，解得. 故答案为： 13．/ 【分析】先确定圆的圆心和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线距离，结合得取得最小值时取得最小值和的最小值为即可求解. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 因为，所以当取得最小值时，取得最小值， 而的最小值为，所以. 故答案为：. 14．3 【分析】将直线与圆的方程联立，将问题转化为，然后根据韦达定理求解. 【详解】设，由题得，即， 整理得，又， 所以，整理得， 由联立得， 所以，代入①并整理得， 此式对任意的都成立，所以. 故答案为：3 【点睛】关键点点睛：本题考查的是直线与圆的综合问题，关键是把轴是这句话转化为，进而利用韦达定理求解，在利用韦达定理的求解的过程中，运用了设而不求的思想. 15．(1) (2)①  ②或 【分析】（1）求出两圆的圆心距，再由两圆外切的性质求出. （2）①求出两圆公共弦所在的直线方程，利用圆的弦长公式求出弦长；②求出直线的方程，设出圆心坐标，借助①中弦长及切线建立方程求解. 【详解】（1）圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为，则， 由圆与圆相外切，得，所以. （2）①当时，圆，，圆与圆相交， 两圆方程相减得，点到直线距离为， 所以圆与圆所得的公共弦长为； ②直线的方程为，即， 依题意，过两圆与圆的交点的圆的圆心在直线上，设圆心， 点到直线距离，圆的半径为， 由轴与圆相切，得，整理得， 解得或，当时，点，半径为1，方程为； 当时，点，半径为5，方程为， 所以圆的方程为或. 16．(1)或； (2)或. 【分析】（1）利用直线的截距式方程，结合给定的点及三角形面积求解. （2）按直线的斜率存在与否分类，借助点到直线距离公式求解即得. 【详解】（1）依题意，设直线的横纵截距分别为，则直线的方程为， 则有，由三角形面积，联立解得或， 所以直线的方程为或. （2）依题意，圆的圆心，半径为1， ①当直线斜率不存在时，直线方程为，此时与圆相切，符合题意； ②当直线斜率存在时，设直线点斜式方程为，即， 由直线与圆相切，得，解得，此时直线方程为， 所以直线的方程为或. 17．(1) (2) 【分析】（1）将三顶点代入圆的标准方程，解出即可； （2）由两直线垂直得到斜率关系，再由点斜式得到直线方程即可； 【详解】（1）设的外接圆的标准方程为， 则 解得 故的外接圆的标准方程为． （2）由（1）得外接圆的圆心为，半径为5． 因为，所以切线的斜率为， 故所求切线方程为，即． 18．(1)或. (2)存在， 【分析】（1）分斜率存在与否进行分析，结合弦长公式.列方程求解，可得答案； （2）分斜率存在与否进行分析，联立方程，利用韦达定理，结合斜率与倾斜角的关系，可得答案. 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 不妨得，，则，与题意不符，舍去. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 由弦长公式得圆心到直线的距离为， 所以，解得， 故直线的方程为或. （2） 当直线轴时，直线的方程为， 不妨得，，此时x轴平分. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，. 联立，得，， 所以，. 若x轴平分，则，即， 即，则，即， 解得. 综上，当点Q为时，能使得x轴平分恒成立. 19．(1)轨迹方程为，点的轨迹是以为圆心、为半径的圆． (2)（ⅰ）；（ⅱ）存在， 【分析】（1）由“上进点”的定义知C是圆的“上进点”，则，（其中是圆的半径），由此得点的轨迹. （2）（ⅰ）由“牵连点”的定义知，若均为圆“”的“牵连点”，则均同时为圆与圆的“上进点”，所以应为圆、圆的“上进点”所成的两轨迹（圆）的交点，由此可求直线的方程； （ⅱ）先求出圆的方程，设，假设轴上存在点，使得. 则，联立结合韦达定理可求解. 【详解】（1）因为点为圆的“上进点”，所以，即， 所以的轨迹方程为， 所以点的轨迹是以为圆心、为半径的圆． （2）（ⅰ）∵为圆“”的“牵连点”，∴同时为圆与圆的“上进点”， 由为圆的“上进点”，得，所以， 即点在圆上， 由为圆的“上进点”，得点在圆上； ∴点是圆和的交点． 因为均为圆“”的“牵连点”， 所以直线即为圆和的公共弦所在直线， 两圆方程相减可得， 故直线的方程为． （ⅱ）设的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为3． 直线的方程为，与联立得的中点坐标为， 点到直线的距离为，则， 所以圆的方程为． 假设轴上存在点满足题意，设． 则，即，整理得． 将，代入上式可得， 整理得①， 联立可得， 所以，代入（1）并整理得， 此式对任意的都成立，所以. 故轴上存在点，使得恒成立. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$