教材回归5 立体几何与空间向量-【红对勾讲与练】2026年高考数学二轮复习讲义

教材回归5 立体几何与空间向量 知识》回归 3.直观图与斜二测画法 1.柱、锥、台、球体的表面积和体积 (1)空间几何体的直观图的画法常采用斜二测 画法.斜二测画法的规则为“平行要保持，横长、 侧面展 几何体 表面积 体积 竖长不变，纵长减半” 开图 (2)任何一个平面图形的面积S与它的斜二测 直棱柱长方形 S=2S底+S侧 V=S帐·h 画法得到的直观图的面积S'之间的关系 圆柱 长方形 S=2πr2+2πrl V=xr2h 由若干 将 棱锥 个三角 S=S帐十S侧 V- 4.平行、垂直关系的转化示意图 形构成 线线线面平行的判定线面面面平行的判定面面 1 平行线面平行的性质平行 平行 圆锥 扇形 S=πr2十πrl V- xrh 面面平行的性质 由若干 线面垂直的性质 V= 棱台 个梯形S=S上+S下十S侧 线线线面垂直的判定线面面面垂直的判定面面 构成 √SS下+Sr)h 垂直 垂直面面垂直的性质垂直 5.用空间向量证明平行、垂直 S=π(r2+r2+V= 圆台 扇环 3(2十 设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面a, r'l+rl) r'r+r2)h B的法向量分别为u=(a2,b2,c2),v=(a3,b3, S=4xr V=4 c3).则有 (1)线面平行 2.外接球、内切球问题 l∥a或lCa台→a⊥u台a·u=0台a1a2+ (1)长方体的外接球的直径等于体对角线长， b1b2+c1c2=0. 正方体的内切球的直径等于正方体的棱长， (2)线面垂直 (2)正四面体的外接球与内切球的球心重合， l⊥a台a∥u台a=ku台→a1=ka2,b1=kb2,c1= R外接球：T内切球=3：1. kc2. (3)直棱柱的外接球球心为上、下底面的外心 (3)面面平行 连线的中点。 a∥B台u∥v台→u=入v台a2=入ag,b2=入b3,c2= (4)棱锥中若有三条侧棱两两垂直，一般补成 λC3· 长方体. (4)面面垂直 (5)棱锥中若有一条侧棱垂直于底面，一般补 a⊥B台u⊥v台9u·v=0台a2a3+b2b3+ 成直棱柱，如图 C2c3=0. 6.用向量法求空间角 (1)直线11，l2的夹角0满足cos0= (其中a,b分别是直线l1,l2的方 向向量) (2)直线l与平面a的夹角0满足sin0= (6)三棱锥中，若对棱相等，一般补成长方体， (其中a是直线l的方向向量，n 使三棱锥的棱为长方体的面对角线！ 是平面a的法向量). (7)棱锥中若没有侧棱垂直于底面，一般找两 (3)平面a与平面B的夹角0满足cos0= 个面，再找这两个面的外心，过外心作面的垂 (其中n1,n2分别是平面a,B的 线，两垂线的交点即为外接球球心. 法向量). 150 2对勾讲与练·高三二轮数学 对点》训练 C.若l⊥m,l⊥n,则m∥n 1.某件方形炉摆件可近似看作台体，高约 D.若m∥a,n∥a,则m∥n 6.5cm,上底面与下底面为相似长方形，下底 5.(多选)如图，在棱长为1的正方体 面的长约13cm,宽约6.5cm,若上底面的长 ABCD-AB1C1D1中，M,N分别为棱CD1, 和宽均为下底面长和宽的0.8倍，则该台体的 C1C的中点，则 () D 体积约为（参考数据：√4569.76=67.6，结果 保留一位小数) ( A A.446.7cm B.520.8cm3 D C.580.2cm3 D.640.5cm 2.在长方体ABCD-A1B,C1D1中，AB=3,BC= 2,AA1=1,则点D到平面BCD1的距离为 A.直线BN与MB,是异面直线 ( B.直线MN与AC所成的角是T A.1 B.3 C.直线MN⊥平面ADN C.To D.30 D.BM⊥DN 2 10 6.(多选)如图，三棱柱ABC-A1B,C1的底面 3.如图，在二面角的棱上有两个点A,B,线段 ABC是边长为2的正三角形，∠CAA,= AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内， ∠BAA1=60°，下列说法正确的有() 并且都垂直于棱AB,若AB=1,AC=2,BD= 3,CD=2√2，则这个二面角的大小为( A.30 B.45° A.若AC1⊥A1B,则AA1=√2 C.60 D.90 4.(多选)设m,n,l是三条不同的直线，a,3是两 B.直线AA,与平面ABC所成角的正弦值为5 个不同的平面，下列命题中为假命题的是 C.若点A1在底面ABC内的射影为△ABC的 ( 中心，则AA1=2 A.若m∥n,nCB,则m∥β D.若三棱锥A1ABC1的体积为2，则三棱柱 B.若a∥3，mCa,则m∥3 ABC-A1B1C1的体积为6 教材回归6 概率与统计 知识》回归 3.排列 1.分类加法计数原理 (1)排列的定义：从n个不同元素中取出 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中 m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一 有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不 列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 同的方法，那么完成这件事共有N= 个排列 种不同的方法 (2)排列数的定义：从n个不同元素中取出 2.分步乘法计数原理 (m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不 做从n个不同元素中取出m个元素的排列数， 同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完 用符号A表示. 成这件事共有N= 种不同的方法. (3)排列数公式：A” 第二部分教材回归 1513. 3依题意，n十1 1 ,则数列 2 是以，为公比的等比数列，因此 =·（）八以=故 选B. 4.ABD S=5a1十10d=0,解得 a5=a1+4d=6, a1=-6,所以an=a1+(n-1)d= d=3, n(a1十am) 3n 9,S。 2 3n2-15 2 ,A,B,D正确；S2=-9, S4=一6，C错误.故选ABD. 5.BD 由a1a4=243可得a2a3=243, 结合a2十a3=36,故a2,a3是方程 x2一36x十243=0的两个实数根，由 于{an〉单调递增，故a2<a3,因此 a2=9,a3=27,故q=3,故A错 误；S5=a1 十a2十a3十a4十a5=3十 9+27 +81+243=363,故B正 确：S1=1 =3,S2 =a1 +a2 12,S3=a1 十a2+a8=39,故 S1S3≠S,因此{Sn}不是等比数列， 故C错误；am=3”,.log3am=n,故 logsa 是公差为1的等差数列，故D 正确.故选BD. 6.BCD 由S+1=Sm+2am+1,可 得Sw+1Sm=a+1 =2a。十1，则 a+1十1=2(am+1),所以数列{am十 1}是以a1十1=2为首项，2为公比的 等比数列，A错误，B正确；所以Q。十 1=2X2,得am=2"一1，C正确；显 2” 然 2 anam十l (2"-1)(2+1-1) 1 1 2 1 2”-1 2+ -1 2 -1 1 22 1 22-1a2a3 22-1 23-1 2" 1 1 ,上式累加 ama十1 2-1 2+1-1 1 可得T,=1一 2+1-11 ,不等式T。 1022 1 1022 即 1023 等价于1一 2 -1 2 023 2+1-1<1023,即2+1<1024，其中 2=512,219=1024,所以正整数n的 最大值为8，D正确.故选BCD. 教材回归5 立体几何与空间向量 知识回归 6.(1)cos(a,b> (2)cos(a,n) (3)Lcos<n1,n2〉 对点训练 1.A 由题意可知，下底面面积S1≈ 13×6.5=84.5(cm),上底面的长约 为13×0.8=10.4(cm),宽约为6.5× 0.8=5.2(cm),上底面面积S2≈ 10.4×5.2=54.08(cm),高h≈ 6.5cm.所以由台体的体积公式得其 体积V≈ 3×6.5×(84.5+54.08+ √/84.5×54.08)= ×6.5×(84.5+ 1 54.08+67.6)= 1 ×6.5×206.18 3 446.7(cm3).故选A. 3362随闪讲与练·高三二轮数学 2.D由题意，以D为原点，DA,DC, DD1所在直线分别为x轴、y轴、x轴 建立如图所示的空间直角坐标系， D A 、B 因为AB=3,BC=2,AA1=1,所以 D(0,0,0),B(2,3,0),C(0,3,0) D1(0,0,1),则D1C=(0,3,-1), D1B=(2,3,-1),D1D=(0,0, 一1)，不妨设平面BCD1的法向量为 n=（xy2), D1C·n=3y-z=0, 所以Di.n=2x+3y-:三0. 不妨令y=1,则x=0,之=3， 即平面BCD1的一个法向量为n= (0,1,3),所以点D到平面BCD,的距 1n·D1D 3 3w√/10 离d= n /10 10 故选D. 3.C设这个二面角的大小为Q,由题意 得，CD=CA十AB+BD,∴.CD2= CA2+AB2+BD2+21CA|·BD|· cos(π-Q),.(22)2=4+1+9-2× 1 2X3 Xcosa,解得cosa=2.a= 60°，.这个二面角的大小为60°.故 选C. 4.ACD若m∥n,nC3,则m∥3或 mC3,A错误；若a∥B,mCa,则 m∥B,B正确；若l⊥m,l⊥n,则m∥ n或异面或相交，C错误；若m∥a, n∥a,则m∥n或异面或相交，D错 误.故选ACD. 5.ABD由于BNC平面BBC,C, MB1∩平面BB1C,C=B1,B1在 BN,故直线BN与MB1是异面直线， 故A正确；如图，连接CD1,AD1, D M C B、 D.- ::C B 因为M,N分别为棱C1D1,C1C的中 点，所以MN∥CD1,所以直线MN与 AC所成的角即为直线CD1与AC所 成的角，又因为△ACD1是等边三角 形，所以直线CD1与AC所成的角为 三，故直线MN与AC所成的角是 故B正确；如图，连接DM,假设直线 MN⊥平面ADN, D M C A B D -c A 因为DNC平面ADN,所以MN⊥ DN,而MN= 2DN= 2 ,DM= 2 ,这三边不能构成直角三角形，所以 DN与MN不垂直，故假设错误，故C 错误；如图，连接MC, M B 因为DC=CC1,∠DCN=∠CC1M, NC=MC1,所以△DCN≌△CC1M, 则∠CDN+∠DCM=∠C,CM+ ∠DCM=90°，即DN⊥CM,又因为 BC⊥平面DC1,DNC平面DC1,所 以BC⊥DN,因为BC∩CM=C,所 以DN⊥平面BCM,又因为BMC平 面BCM,所以DN⊥BM,故D正确. 故选ABD. 6.ACD 0设AA,=a,AB=b,AC =c, 由题意可得|b|=|c|=2,b·c= |b|c|cos60°=2，a·b=a·c= |a·2·cos60°=|a|,由题图可得 ACi=AC+AA:=c+a.AB=AB- AA1=b-a,由AC1⊥A1B,得AC1· A1B=0,即(c+a)·(b-a)=c·b a·c十a·b-a|2=0,化简可得2- |a|2=0,解得AA1=|a|=√2，故 A正确；由题意取BC的中点D,连接 AD,过A1作AO⊥平面ABC,垂足 为O,连接A,C,OB,OC,如图， B B 由题意可知AA1=AA1,AB AC,∠BAA1=∠CAA1,则 △BAA1≌△CAA1,所以A1B A1C,因为A1O⊥平面ABC,OB, OCC平面ABC,所以A,O⊥OB, A1O⊥OC,因为AB=A1C,A1O= A,O,所以Rt△AOB≌Rt△A1OC, 所以OB=OC,可得O∈AD,所 以∠A1AD为直线AA1与平面ABC 所成的角，由A可得AA1=a,AD = (A店+AC)=号(b十c),在等边 2 2 △ABC中，易知|AD|=|AB1. sin60°=√3，则cos∠A1AD AA:.AD a…2b+c |AA|·AD 1a1·√3 a·b十a·c |a+a|3 .所 2√3|a 25|a 3 以直线AA,与平面ABC所成角的正 弦值为 3,故B错误：由题意取BC的 中点D,连接AD,过A1作A,O⊥平 面ABC,垂足为O,如图， B B 则，点O为等边△ABC的中心，易知 AO= 2 2W3 2 ×2 因为 3 3 A,O⊥平面ABC,ADC平面ABC, 所以A1O⊥AD,由B可知 os∠A,AD=,在R△A,OA中， √5 AO AA= cos∠A1AD =2,故C正确： 设点C到平面ABB1A1的距离为h, △ABA,的面积为S△ABM,则三棱锥 A1ABC1的体积V1= 3 S△ABA1 h=2,平行四边形ABB1A1中，易知 △A1BB1的面积S△A1BB1=S△ABA1: 则三棱锥C1-A,BB,的体积V2= 3S△4照，·h=V=2,所以三棱柱 1 ABC-A1B1C,的体积V=3V2=6,故 D正确.故选ACD. 教材回归6 概率与统计 知识回归 1.m+n 2.m×n 3.(3)n(n-1)(n-2)…(n-m+1) (4)n×(n一1)×(n-2)×…×3×2× 1n!1 4.(3)1 5.Ca"十Ca"1b+…十Ca"*b+…十 Cb”Ca"-bCa"*b 6.(1)Cw=Cg"(3)2”2” 7.(2)P(A)P(B)(3)P(A) (4)P(A)P(B)(6)P(A)P(BA) (7)∑P(A:)P(B1A:) (9)C0p*(1-p)"-t,k=0,1,2,…,n 8.(3)1(x1十x2十…+x） 9.(1)②1 (2)x1p1十x2pg+…+xnpn (3)①aE(X)+b②np③p (5)①a2D(X)②np(1-p) ③p(1-p) 10.(1)0.6827 (2)0.9545 (3)0.9973 xy:一nxy 11.(1) =1 y-bx i-l (2)①1②强 ③弱 对点训练 1.B分两类：一类是选1名女生，则有 CC子种不同选法；另一类是选2名女 生，则有CC种不同选法.所以不同选 法种数为CC+CC=16.故选B. 2.A设事件A为“甲去场地A”,事件B 为“场地B有且只有1名志愿者”.若甲 去场地A,当剩下3名大学生分别前往 场地A,B,C,有A=6(种) 案，当剩 下3名大学生只去场地B,C 时，有 CA号=6（种）方案，共有12种不同方 案.若甲去场地A,且场地B有且只有1 名志愿者，当场地C有2名志愿者时， 有C×1=3(种)方案，当场地B,C各 有1名志愿者时，有CA=6(种)方 案，共有9种不同方案.所以P(B A)= n(AB)9 n(A) =12 二故选A 3 3.C因为P(ξ≥3)=0.8，所以P(ξ< 3)=0.2=P(>5.因为3十5=4， 2 所以P(ξ≥4)=0.5.故选C. 4.A零假设为H。:爱好跳绳与性别无 关..X2≈7.822<7.879=x0.005, .根据小概率值a=0.005的独立性 检验，没有充分证据推断H。不成立， 因此可以认为爱好跳绳与性别无关， A正确；X2≈7.822<10.828 x。.o01,∴.根据小概率值a=0.001的独 立性检验，没有充分证据推断H。不成 立，因此可以认为爱好跳绳与性别无 关，但无法判断这个结论犯错误的概 率是否超过0.001，B错误：X2 7.822>3.841=x0.5.根据小概率 值α=0.05的独立性检验，我们认为 爱好跳绳与性别有关，C错误：，X2≈ 7.822>6.635=xo.1.在犯错误的 概率不超过0.01的前提下，我们认为 爱好跳绳与性别有关，D错误.故选A. 5.ABD令x=1,得2"=64，解得n 6,故A正确；展开式中所有奇数项的 二项式系数和为2=32，故B正确；由 上得二项式为(3x-上)，常数项为 3 误；最大的二项式系数为C,即第四项 的二项式系数最大，故D正确.故 选ABD. 6.AB当事件A,B为相互独立事件时， P(AB)=P(A)P(B),故A错误；当 事件B,C为互斥事件时，P(BUC| A)=P(B|A)十P(C|A),故B错 误：易得C正确：P(AB)=P习 P(AB),故D正确.故选AB. 5 7.BD由已知可得，P(A)= 102 2 1 3 P(A2)= 10 5 ,P(A)= 10 5 4 P(B A)= ,P(B|A2)= 11 11 4 P(BA:)=由全概率公式可得， P(B)=P(AB)+P(A2B)+ P(A:B)=P(A)P(B A)+ P(A2 )P(B I A:)P(A3)P(B 5 43 4 22,故A错误：由上可知P(BA,) 9 ,故B正确：由上可知P(A,B) 4 P(A1)P(B1A)=2×i=22' 1 55 9 9 P(A)P(B)=2×22=4≠ P(A1B),故C错误；由已知可得，A,, A,A,两两互斥，故D正确.故选BD 8.ABD由经验回归方程知，相关变量 x,y具有正相关关系，A正确；去除点 A,B后，新的均值分别为工=2X8 6 3=〔2×2一0.4)义8=4.8 8 6 代入y=3x+a,有3× 8+a=4.8, 则a=一3.2，故去除点A,B后的经验 回归方程为y=3x一3.2，B正确；显然 去除点A,B后，随x值增加相关变量y 值的增加速度变大，C错误；将x=4代 入y=3x-3.2,得y=12-3.2= 8.8,故残差为8.9一8.8=0.1，D正 确.故选ABD. 9.ABD根据期望和方差的性质可知， E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+ b)=a2D(X),故A正确；若X~ E(X) B(n,p),则 np D(X) np(1-p) 1,与试验次数n无关，故B正确： 1一p 若X~N(μ，o),则E(X)=, D(X)=o2,故C错误；方差D(X)= p(1-p)≤ [p+(1-p)] =1,当 4 4 且仅当力=1一p,即b=2时，等号 1 成立，所以当p=2时，方差最大，故 D正确.故选ABD. 10.AC由题中频率分布直方图可知考 生的平均成绩x=45×0.05+55× 0.15+65×0.2+75×0.3+85× 0.2+95×0.1=72.5(分)，故A正 确；因为0.05+0.15+0.2+0.3= 0.70.75,0.05+0.15+0.2+ 0.3十0.2=0.9>0.75，可知第75百 分位数位于[80,90)内，所以第75百 分位数为80+ 0.75-0.7 0.02 82.5(分)，故B错误；成绩在区间[60， 70)内的频率为0.020×10=0.2，故 C正确：在区间[70,80)应抽取200× 0.3=60(人)，故D错误.故选AC 11.ACD对于A,如果最高命中9环，由 极差可知，最低为2环，因为平均数为 8,所以总和为48环，48一9一2=37， 其他4次最高为36环，所以甲一定命 中了10环；对于B,若6次出现的环数 为3,6,8,8,8,9，满足中位数为8，平 均数为7，所以乙不一定命中了10环； 对于C,若丙没有命中10环，则当丙 命中3次7环，3次9环时，方差最大， 此时方差为1，所以丙一定命中了10 环；对于D,因为中位数为8，所以6次 出现的环数按从小到大顺序排列可 能为a,b,7,9 c,d或a,b,8,8,c,d或 a,b,6,10,c,9 1,对于a,b 7,9,c,d, 因为众数只有7，所以c 不能都是 9,故d=10,对于a,b,8,8,c,d,不符 合众数只有7，对于a,b,6,10,c,d, 也不符合众数只有7，所以丁一定命 中了10环.故选ACD. 教材回归7 解析几何 知识回归 1.(1)y-yo=k(x-xo) (3)y-y1= x一x1 x2-工1 2.(1)①k1=k2②k1k2=-1 4.(1)(x -a)2+(y-b)2=r2 (2)x2+y+Dx+Ey+F=0(D2+ E2一4F>0) 5.(2)d+ 12 2√r2-d 6.2a >2a b a (士a 0),(0,土b) (土a,0) (0,0) (士c, 0) 2a 2b 2a 2b e=1 b y=士 一 参考答案 337