教材回归6 概率与统计-【红对勾讲与练】2026年高考数学二轮复习讲义

对点》训练 1.某件方形炉摆件可近似看作台体，高约 6.5cm,上底面与下底面为相似长方形，下底 面的长约13cm,宽约6.5cm,若上底面的长 和宽均为下底面长和宽的0.8倍，则该台体的 体积约为（参考数据：√4569.76=67.6，结果 保留一位小数) () A.446.7cm B.520.8cm C.580.2cm D.640.5cm 2.在长方体ABCD-A1B,C1D1中，AB=3,BC= 2,AA1=1,则点D到平面BCD1的距离为 () A.1 B.3 C.10 D.30 2 10 3.如图，在二面角的棱上有两个点A,B,线段 AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内， 并且都垂直于棱AB,若AB=1,AC=2,BD= 3,CD=2√2，则这个二面角的大小为() A.30° B.45° C.60° D.90° 4.(多选)设m,n,l是三条不同的直线，a,B是两 个不同的平面，下列命题中为假命题的是 A.若m∥n,nCB,则m∥B B.若a∥3，mCa,则m∥3 教材回归6 知识》回归 1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中 有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不 同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有种不 同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完 成这件事共有V= 种不同的方法. C.若l⊥m,l⊥n,则m∥n D.若∥a,n∥a,则m∥n 5.（多选)如图，在棱长为1的正方体 ABCD-AB1C1D1中，M,N分别为棱CD1, CC的中点，则 () D M A D A.直线BN与MB,是异面直线 B.直线MN与AC所成的角是T C.直线MN⊥平面ADN D.BM⊥DN 6.（多选)如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面 ABC是边长为2的正三角形，∠CAA1= ∠BAA1=60°，下列说法正确的有() B A.若AC1⊥A1B,则AA1=√2 B.直线AA,与平面ABC所成角的正弦值为 C.若点A1在底面ABC内的射影为△ABC的 中心，则AA1=2 D.若三棱锥A1ABC1的体积为2，则三棱柱 ABC-A,B1C1的体积为6 概率与统计 3.排列 (1)排列的定义：从n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一 列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个排列. (2)排列数的定义：从n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫 做从n个不同元素中取出m个元素的排列数， 用符号A:表示. (3)排列数公式：A”= 第二部分教材回归 151 (4)全排列：把n个不同的元素全部取出的一个 排列，叫做n个元素的一个全排列，A”= .排列数公式写 n 成阶乘的形式为A:一一m)！,我们规定 01 = 4.组合 (1)组合的定义：从n个不同元素中取出 n(n≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个组合 (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫 做从n个不同元素中取出m个元素的组合数， 用符号Cw表示. (3)组合数的公式：C=A n! Amm!(n-m)！ n(m-1)n-2)(-m+1D,由于0！=1， m! 所以C。= (4)组合数的性质：①C=Cm;②C+1=CW十 C 5.二项式定理 (a+b)"= (n∈N"). 这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做 (a十b)”的二项展开式，其中各项的系数 C(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数.式中的 叫做二项展开式的通项，用T+1表 示，即通项为展开式的第k十1项：Tk+1= 6.二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项 式系数相等，即 (2)增减性与最大值：对于(a十b)”,其二项展 开式中各项的二项式系数为C,当k<”十] 2 时，C随k的增加而增大；由对称性知，二项式 系数的后半部分，C随k的增加而减小.当n是 偶数时，中间的一项C取得最大值；当n是奇 数时，中间的两项C和C,相等，且同时取得 最大值. (3)各二项式系数的和 (a十b)”的二项展开式中，各二项式系数的和 等于 ,即C9+C,+C%+…+C%+…十 C%= 152红勾讲与练·高三二轮数学 偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式 系数的和，即C,+C?十C+…=C。十C?+ C”十…= 7.概率的计算公式 (1)古典概型的概率计算公式 事件A包含的样本点个数 P(A)=样本空间包含的样本点个数 (2)互斥事件的概率计算公式 P(A UB)= (3)对立事件的概率计算公式 P(A)=1- (4)相互独立事件的概率计算公式 P(AB)= (5)条件概率公式 P(BIA)= P(AB) P(A)' (6)概率的乘法公式 P(AB)= (7)全概率公式 P(B)= (A1,A2,…,Am是一组两两互斥的事件，A1U A2U…UAm=2) (8)贝叶斯公式 P(A,|B)= P (A)P(B I A.) P(B) P(A)P(B A) (i=1,2,…,n). ∑P(AE)P(B|A) (9)n重伯努利试验的概率计算公式 P(X=k)= 8.统计中四个数据特征 (1)众数：①在样本数据中，出现次数最多的那 个数据. ②频率分布直方图中，众数的估计值是最高矩 形的底边中点的横坐标. (2)中位数：在样本数据中，将数据按从小到大 (或从大到小)的顺序排列，位于中间的那个数 据.如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据 的平均数作为中位数. (3)平均数：样本数据的算术平均数，即x= (4)方差与标准差：反应样本数据的离散程度. 方差：s2=[(x1-x)2+(x2-x)2+…+ (xw-x)2]. 标准差：s= [,-)+(x-x)+…+z.-x]. n 9.离散型随机变量 (1)离散型随机变量的分布列的两个性质 ①p;≥0(i=1,2,…,n); ②p1十p2十…十pm= (2)均值公式 E(X)= x:卫 i=1 (3)均值的性质 ①E(aX+b)= ②若X~B(n,p),则E(X)= ③若X服从两点分布，则E(X) (4)方差公式 D(X)=(x1-E(X))2p1十(x2-E(X))2· p2十…十(xm-E(X)2pm=】 E(X):,标准差为D(X). (5)方差的性质 ①D(aX+b)= ②若X~B(n,p),则D(X)= ③若X服从两点分布，则D(X) 10.正态分布 若随机变量X服从正态分布，则记为X~ N(μ，o2). 满足正态分布的三个基本概率的值是 (1)P(H-o≤X≤H+o)≈ (2)P(u-2o≤X≤h+2o)≈ (3)P(4-3o≤X≤H+3o)≈ 11.一元线性回归模型 (1)经验回归方程y=bx+a,其中 (x,-x)y.- ∑(x-)2 a 点(x,y)一定在经验回归直线上 (2)样本相关系数r具有如下性质： ①|r|≤ ②|r|越接近1，成对样本数据的线性相关程 度越 ③丨r|越接近0，成对样本数据的线性相关程 度越 12.独立性检验 利用随机变量X2= n(ad-bc)2 、(其中n=a十 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d b+c+d)的取值推断分类变量X和Y是否独 立的方法称为X2独立性检验. 对点》训练 1.某科技小组有6名学生，其中男生4名，女生2 名，现从中选出3名去参观展览，则至少有一名 女生入选的不同选法种数为 () A.12B.16 C.18 D.24 2.有4名大学生将前往3处场地A,B,C开展志愿 服务工作.若要求每处场地都要有志愿者，每名 志愿者都必须参加且只能去一处场地，则在甲 去场地A的条件下，场地B有且只有1名志愿 者的概率为 () A b.0 1 Cn 3 D.5 3.手机电池随着日常使用寿命缩短，是消耗品，某 种型号手机的电池寿命（单位：年）服从正态 分布，使用寿命不少于3年的概率为0.8，使用 寿命多于5年的概率为0.2.某人买了该型号手 机，则手机电池使用寿命不少于4年的概率为 () A.0.8 B.0.7 C.0.5 D.0.2 4.通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳 绳，得到列联表，并由义2= n(ad-bc)2 a+b)c+d)(a十c)(6+计算得X≈ 7.822,参照附表，下列结论正确的是 ( Q 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x 2.7063.841 6.6357.87910.828 A.根据小概率值a=0.005的独立性检验，我们 认为爱好跳绳与性别无关 B.根据小概率值a=0.001的独立性检验，我们 认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误 的概率不超过0.001 C.根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们 认为爱好跳绳与性别无关 D.在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们 认为爱好跳绳与性别无关 5.(多选)已知二项式(3x一1) 的展开式中各 项的系数和为64，则 ( ) 第二部分教材回归 153 A.n=6 B.展开式中所有奇数项的二项式系数和为32 C.展开式中的常数项为540 D.展开式中二项式系数最大的项为第四项 6.(多选)已知A,B,C为随机事件，则下列结论 中不正确的是 A.P(AB)-P(AP(B) B.P(B UC A)=P(BA)+P(CA) C.P(2|A)=1(A三2) D.P(A|B)≥P(AB) 7.(多选)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑 球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先 从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1, A2和A3表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑 球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取 出的球是红球.则下列结论中正确的是() APB)=号 B.P(BIA:)=1I 4 C.事件B与事件A1相互独立 D.A1,A2,A3两两互斥 8.(多选)已知由样本数据(x:y:)(i=1,2,3,, 8)组成的一个样本，得到经验回归方程为= 2x一0.4，且x=2,去除其中两个点A(一2,7) 和B(2,一7)后，得到新的经验回归方程y bx+a的b=3,则下列说法正确的是（附：样本 点(xy:)的残差e:=y:一y,) () A.相关变量x,y具有正相关关系 B.去除点A,B后的经验回归方程为y=3x一 3.2 C.去除点A,B后，随x值增加相关变量y值的 增加速度变小 D.去除点A,B后，样本点(4,8.9)的残差为0.1 9.(多选)关于随机变量的期望与方差，以下说法 正确的是 () 教材回归7 知识》回归 1.直线方程的五种形式 (1)点斜式： (直线过点 P,(x。,yo),且斜率为k,不包括y轴和平行于 y轴的直线). 154红团勾讲与练·高三二轮数学 A.设X为随机变量，a,b为常数，则E(aX十 6)=aE(X)+6,D(ax+b)=aD(X) B.若X一B(m,p),则EX)与试验次数无关 D(X) C.若X~N(4,o2),则E(X)=4,D(X)=o D.两点分布中，设成功的概率为p,则当p=2 时，方差最大 10.(多选)某高中在数学史知识答题比赛结束 后，对参赛的2000名考生的成绩进行统计， 可得到如图所示的频率分布直方图，其中分 组的区间为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70， 80),[80,90),[90,100],若同一组中数据用 该组区间中点值作为代表值，则下列说法中 正确的是 () 频率 组距 0.030 0.020 0.015 0.010 0.005 0 405060708090100成绩/分 A.考生参赛成绩的平均分约为72.5分 B.考生参赛成绩的第75百分位数约为81.5分 C.成绩在区间60,70)内的频率为0.2 D.用比例分配的分层随机抽样从该校学生中 抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间 [70,80)应抽取30人 11.(多选)甲、乙、丙、丁四名射击运动员各射击6 次，记录每次射击命中的环数（均取整数，最低 为1，最高为10)，根据统计结果，可以判断一 定命中了10环的是 () A.甲：平均数为8，极差为7 B.乙：中位数为8，平均数为7 C.丙：平均数为8，方差为2 D.丁：中位数为8，众数只有7 解析几何 (2)斜截式：y=kx+b(b为直线在y轴上的截距， 且斜率为k,不包括y轴和平行于y轴的直线). (3)两点式： (直线过点 P1(x1y1),P2(x2y2),且x1≠x2y1≠y2 不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线).A0= 2 X2= 25 2 因为 3 3 A,O⊥平面ABC,ADC平面ABC, 所以AO ⊥AD,由B可知 cos∠A1AD = 3 ,在Rt△A1OA中， AO AA= =2,故C正确； cos∠A1AD 设，点C1到平面ABB1A1的距离为h, △ABA1的面积为S△ABA1,则三棱锥 A-ABC,的体积V 1 S△ABA1 3 h=2,平行四边形ABB1A1中，易知 △A1BB1的面积S△A1BB1=S△ABA1, 则三棱锥C1-A1BB1的体积V,= 3S△4，助，·h=V=2,所以三棱柱 1 ABC-A1B1C1的体积V=3V:=6,故 D正确.故选ACD. 教材回归6 概率与统计 知识回归 1.m+n 2.m×n 3.(3)n(n-1)(n-2)…(n-m+1) (4)n×(n-1)×(n-2)×·×3×2× 1n!1 4.(3)1 5.C%a”+Caw-lb'+…+C%a"b+…十 Cwb”Ca"-bCa"*b 6.(1)C=Cm(3)2”2 2m-1 7.(2)P(A)P(B)(3)P(A) (4)P(A)P(B)(6)P(A)P(BA) (7)∑P(A)P(B|A:) (9)Cp(1-p)”-,k=0,1,2,…,n 8.(3)(x1+x2 十…十xn) n 9.(1)②1 (2)x1p1+x2p2+…+xwpw (3)①aE(X)+b②np③p (5)①a2D(X)②np(1-p) ③p(1-p) 10.(1)0.6827 (2)0.9545 (3)0.9973 xiyi-nx y 11.(1) =」 y-bx ∑x-n i=1 (2)①1②强 ③弱 对点训练 1.B分两类：一类是选1名女生，则有 CC种不同选法；另一类是选2名女 生，则有CC!种不同选法，所以不同选 法种数为CC+CC=16.故选B. 2.A设事件A为“甲去场地A”,事件B 为“场地B有且只有1名志愿者”.若甲 去场地A,当剩下3名大学生分别前往 场地A,B,C,有A=6(种) 案，当剩 下3名大 学生只去场地B,C时，有 CA=6(种)方案，共有12种不同方 案.若甲去场地A,且场地B有且只有1 名志愿者，当场地C有2名志愿者时， 有C×1=3(种)方案，当场地B,C各 有1名志愿者时，有CA=6(种)方 案，共有9种不同方案.所以P(B A)= n(AB)9 3 n(A)-12 =年故选A 3.C因为P(≥3)=0.8，所以P( 3)=0.2=P(>5.因为3十5=4， 2 所以P(5≥4)=0.5.故选C. 4.A零假设为H。:爱好跳绳与性别无 关.X2≈7.822<7.879=x0.05, .根据小概率值a=0.005的独立性 检验，没有充分证据推断H。不成立， 因此可以认为爱好跳绳与性别无关， A正确；X2≈7.822<10.828= x。o1,∴.根据小概率值a=0.001的独 立性检验，没有充分证据推断H。不成 立，因此可以认为爱好跳绳与性别无 关，但无法判断这个结论犯错误的概 率是否超过0.001，B错误；X≈ 7.822>3.841=x0.05,∴.根据小概率 值a=0.05的独立性检验，我们认为 爱好跳绳与性别有关，C错误；，X2心 7.822>6.635=x0.1,.在犯错误的 概率不超过0.01的前提下，我们认为 爱好跳绳与性别有关，D错误，故选A. 5.ABD令x=1,得2”=64，解得n 6,故A正确；展开式中所有奇数项的 二项式系数和为2=32，故B正确；由 上得二项式为(3x一)，常数项为 =一540，故C错 误；最大的二项式系数为C,即第四项 的二项式系数最大，故D正确，故 选ABD. 6.AB当事件A,B为相互独立事件时， P(AB)=P(A)P(B),故A错误；当 事件B,C为互斥事件时，P(BUC A)=P(BIA)+P(C|A),故B错 误；易得C正确；P(A|B)= (AB)≥ P(B) P(AB),故D正确.故选AB 5 7.BD由已知可得，P(A1)= 10=2 2 1 3 P(A:)=0=5PA:)=0 4 P(BA)= 5,P(B1A:)= 1 4 P(B|A:)=由全概率公式可得， P(B)=P(AB)+P(A,B)+ P (A;B)=P(A)P (B I A)+ P(A2 )P(B I A:)P(A3)P(B I 5 1 .4 3 4 A:)=2×+5×+0×i 2,故A错误：由上可知P(B1A,) 9 ,故B正确：由上可知P(A,B) 4 5 5 P(A)P(B IA)= 22 9 9 PA)P(B)=2X22=4≠ P(A1B),故C错误；由已知可得，A1, A:,A?两两互斥，故D正确.故选BD. 8.ABD由经验回归方程知，相关变量 x·y具有正相关关系，A正确；去除点 A,B后，新的均值分别为工=2X8 6 8 3·”=（2×2一0.4)×8=4.8， 6 代入5=3x+,有3×号+a=4.8, 则a=一3.2，故去除点A,B后的经验 回归方程为y=3x一3.2，B正确；显然 去除，点A,B后，随x值增加相关变量y 值的增加速度变大，C错误；将x=4代 入y=3.x-3.2,得y=12-3.2= 8.8,故残差为8.9一8.8=0.1，D正 确.故选ABD. 9.ABD根据期望和方差的性质可知， E(aX+b)=aE(X)+6,D(ax+ b)=a2D(X),故A正确；若X E(X) B(n,p),则 np D(X) np(1-p) 1一，与试验次数n无关，故B正确； 1-p 若X~N(μ，o),则E(X) = D(X)=o,故C错误；方差D(X)= p(1一p)≤ [p+(1-p)] =1,当 4 1 且仅当力=1一力，即力=2时，等号 1 成立，所以当力=2时，方差最大，故 D正确，故选ABD. 10.AC由题中频率分布直方图可知考 生的平均成绩x=45×0.05+55× 0.15+65×0.2+75×0.3+85× 0.2+95×0.1=72.5(分)，故A正 确；因为0.05+0.15+0.2+0.3= 0.7<0.75,0.05+0.15+0.2+ 0.3+0.2=0.9>0.75,可知第75百 分位数位于[80,90)内，所以第75百 分位数为80+ 0.75-0.7 0.02 82.5(分)，故B错误；成绩在区间[60， 70)内的频率为0.020×10=0.2，故 C正确；在区间[70,80)应抽取200× 0.3=60(人)，故D错误.故选AC 11.ACD对于A,如果最高命中9环，由 极差可知，最低为2环，因为平均数为 8,所以总和为48环，48一9一2=37， 其他4次最高为36环，所以甲一定命 中了10环；对于B,若6次出现的环数 为3,6,8,8,8,9，满足中位数为8，平 均数为7，所以乙不一定命中了10环； 对于C,若丙没有命中10环，则当丙 命中3次7环，3次9环时，方差最大， 此时方差为1，所以丙一定命中了10 环；对于D,因为中位数为8，所以6次 出现的环数按从小到大顺序排列可 能为a,b,7,9,c,d或a,b,8,8,c,d或 a,b,6,10c,d,对于a,b,7,9,c,d, 因为众数只有7，所以c,d 不能都是 9,故d=10,对于a,b,8,8,c,d,不符 合众数只有7，对于a,b,6,10,c,d, 也不符合众数只有7，所以丁一定命 中了10环.故选ACD 教材回归7 解析几何 知识回归 1.(1)y-yo=k(z-zo) (3)y-y1 = x一Z1 一y1 x2一x1 2.(1)①k1 =k2②k1k2=一1 4.(1)(x a） 2+（y-b)2=r (2)x+y+Dx+Ey+F=0(D*+ E2-4F>0) 5.(2)d 2vr-d 6.2a >2a a b a (士a, 0),(0,±b) (士a,0) (0,0) (士c, 0) _2a 26 2a 26 e=1 b y=士 参考答案 337