第2章 第6讲 幂函数与指、对数式的运算(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学高考复习讲义聚焦幂函数图象与性质、指数幂及对数运算等核心考点，按定义-性质-运算-综合应用的逻辑梳理知识体系。通过课标解读、概念辨析、考点例题精讲、真题改编训练等环节，帮助学生构建知识网络，突破运算技巧与性质应用难点。 资料以数学思维和数学语言为导向，设计分层训练与方法总结，如幂函数考点通过图象规律分析培养几何直观，指数对数运算强调推理与符号转化技巧。设置基础判断、能力提升、综合应用三级练习，配合即时方法归纳，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第6讲　幂函数与指、对数式的运算 课标要求　1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律．　2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．　3.理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，了解对数在化简运算中的作用． 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数y＝xα的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(0，0)和(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．根式与有理数指数幂 (1)根式 ①如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根； ②式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数； ③()n＝a．当n为奇数时， ＝ a；当n为偶数时，＝|a|＝ (2)有理数指数幂 概念 正分数指数幂：a＝ a＞0，m，n∈N*，n＞1 负分数指数幂：a－＝＝ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 运算性质 aras＝ar＋s a＞0，b＞0，r，s∈Q (ar)s＝ars (ab)r＝arbr 3.对数 概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝loga_N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数 性质 对数式与指数式的互化： ax＝N⇔x＝loga_N(a>0，且a≠1) 负数和0没有对数 1的对数是0：loga1＝0 底数的对数是1:_logaa＝1 对数恒等式：alogaN＝N 运算 性质 loga(MN)＝loga_M＋loga_N a>0，且a≠1，M>0，N>0 loga＝loga_M－loga_N logaMn＝nloga_M(n∈R) 换底公式 logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1) 常用结论　 1．幂函数y＝xα的图象在第一象限内的变化规律 (1)直线x＝1的右侧，图象由上至下，指数α由大到小； (2)y轴和直线x＝1之间，图象由上至下，指数α由小到大． 2．换底公式的变形 (1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1)； (2)logambn＝logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R). (3)logab·logbc＝logac(a，b均大于0且不等于1，c>0). 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝2x是幂函数．(　　) (2)＝－4.(　　) (3)log2x2＝2log2x.(　　) (4)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　) (5)若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 2．(必修第一册P91练习T1改编)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，)，则f(4)＝(　　) A． B．4 C． D． 解析：选A．设f(x)＝xα，因为f(x)的图象过点(2，)，所以f(2)＝2α＝，解得α＝－1，所以f(4)＝4-1＝. 3．(必修第一册P122例1改编)若a＝(a＞0且a≠1)，则loga＝(　　) A． B．2 C． D．5 解析：选C．由a＝，得loga＝，所以loga()2＝，所以2loga＝，所以loga＝. 4．(用结论)若幂函数y＝x-1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1＜m＜0＜n＜1 B．－1＜n＜0＜m＜ C．－1＜m＜0＜n＜ D．－1＜n＜0＜m＜1 解析：选D．幂函数y＝xα，当α＞0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0＜α＜1时，图象上凸，所以0＜m＜1；当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．由结论结合题中函数图象可知，－1＜n＜0.综上可知，－1＜n＜0＜m＜1. 5．计算：(1)log345－log35＝________； (2)＋－(－1)0＝________． 解析：(1)log345－log35＝log3＝log39＝log332＝2. (2)()-2＋(2)－(－1)0＝72＋()－1＝49＋－1＝. 答案：(1)2　(2) 考点一　幂函数的图象与性质 　(多选)已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)·xm2－6在(0，＋∞)上单调递增，则以下说法正确的是(　　) A．m＝3 B．函数f(x)在(－∞，0)上单调递增 C．函数f(x)是偶函数 D．函数f(x)的图象关于原点对称 【解析】　因为幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)·x m2－6在(0，＋∞)上单调递增， 所以解得m＝3，所以f(x)＝x3，x∈R.所以f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，故f(x)为奇函数，函数图象关于原点对称，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增． 【答案】　ABD 【感悟进阶】　(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． 　1.如图所示是函数y＝x(m，n∈N*且互质)与y＝x的图象，则(　　) A．m，n是奇数，且<1 B．m是偶数，n是奇数，且>1 C．m是偶数，n是奇数，且<1 D．m，n是偶数，且>1 解析：选C．函数y＝x＝的图象关于y轴对称，故m为偶数，n为奇数．当x∈(0，1)时，y＝x的图象在y＝x的图象的上方，当x∈(1，＋∞)时，y＝x的图象在y＝x的图象的下方，故<1. 2．已知a＝2，b＝3，c＝25，则(　　) A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 解析：选A．由题意得b＝3＜4＝2＝a，a＝2＝4＜4＜5＝25＝c，所以b＜a＜c. 考点二　指数幂的运算 　化简下列各式： (1)＋2-2×－(0.01)0.5； (2)÷(a，b>0)； (3)×＋8×－. 【解】　(1)原式＝1＋×()－()＝1＋×－＝1＋－＝. (2)原式＝÷() ＝÷(a-1-b－-1) ＝a＋b－÷(a－b－) ＝ab÷(ab)＝a-1b-1＝ab－. (3)原式＝()×1＋2×2－()＝2. 【感悟进阶】　 　1.已知ab＝－5，则a＋b的值是(　　) A．2 B．0 C．－2 D．±2 解析：选B．由题意知ab＜0，a＋b＝a＋b＝a＋b＝a·＋b·，由于ab＜0，故＝－，则原式＝0. 2．已知a－a＝，则a＋a＝________． 解析：因为( a－a)2＝a＋a-1－2＝(a＋a)2－4＝5，所以(a＋a)2＝9.又因为a＋a＞0，所以a＋a＝3. 答案：3 考点三　对数式的运算 　计算下列各式： (1)log381－log98×log23－2log23＋lg ＋lg ； (2)； (3)log23×log38＋()log34. 【解】　(1)原式＝log334－log32×log23－3＋lg ＝4－－3＋＝0. (2)原式＝＝＝1. (3)原式＝×＋3log34＝3＋3log32 ＝3＋2＝5. 【感悟进阶】　对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数的运算性质化简、合并． (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数的真数的积、商、幂的运算． 　1.(2026·临沂模拟)已知实数x，y满足log2(log3x)＝log3(log2y)＝1，则x＋y＝(　　) A．11 B．12 C．16 D．17 解析：选D．因为log2(log3x)＝log3(log2y)＝1，所以log3x＝2，log2y＝3，所以x＋y＝32＋23＝9＋8＝17. 2．计算：4log43＋log2－log169＝________． 解析：原式＝3＋log46－log43＝3＋log42＝3＋＝. 答案： 考点四　指数式与对数式的综合应用 　(1)已知2m＝9n＝6，则＋的值为(　　) A． B．3 C．1 D．2 (2)(2025·北京卷)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N(单位：小时)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(单位：小时)(　　) A．2 B．4 C．20 D．40 【解析】　(1)因为2m＝9n＝6，则m＝log26，n＝log96，所以＝log62，＝log69， 因此＋＝log62＋log69 ＝log6(2×9)＝1. (2)由题意得训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时，即k·log2(1.024×109)－k·log2106＝k·log21 024＝10 k＝20，解得k＝2，则T＝2 log2N.所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加2 log2(4.096×109)－2 log2(1.024×109)＝2 log24＝4(小时). 【答案】　(1)C　(2)B 【感悟进阶】　利用指数、对数运算解决实际问题时需认清所给函数模型、变量、参数，利用待定系数法确定参数的值，然后解决问题． 　1.果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去的新鲜度h与其采摘后时间t(天)满足的函数关系式为h＝m·at.若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%.那么这种水果采摘后失去40%新鲜度的时间为(　　) A．25天 B．30天 C．35天 D．40天 解析：选B．依题意，得 解得m＝，a10＝2，当h＝40%时，40%＝·at，即40%＝·a10·at-10，解得at-10＝4＝(a10)2＝a20，于是得t－10＝20，解得t＝30，所以这种水果采摘后30天失去40%新鲜度． 2．已知logab＋4logba＝4，则的值为________． 解析：因为logab＋4logba＝4，所以logab＋＝4，可得(logab)2－4logab＋4＝0，即(logab－2)2＝0，所以logab＝2，即a2＝b，所以＝＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $